Центрированные многоугольные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Центрированные многоугольные числа — класс плоских -угольных фигурных чисел (), получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный -угольник с точками вершин, каждая сторона содержит две точки (см. рисунок). Далее снаружи строятся новые слои -угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем)[1].

Примеры построения центрированных многоугольных чисел:

Треугольные Квадратные Пятиугольные Шестиугольные

Из построения видно, что центрированные многоугольные числа получаются как частичные суммы следующего ряда: (например, центрированные квадратные числа, для которых образуют последовательность: ) Этот ряд можно записать как , откуда видно, что в скобках — порождающий ряд для классических треугольных чисел. Следовательно, каждая последовательность центрированных -угольных чисел, начиная со 2-го элемента, может быть представлена как где — последовательность треугольных чисел. Например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1, порождающий ряд для них имеет вид: [2]

Общая формула[2] для -го центрированного -угольного числа :

Сводная таблица

[править | править код]
Число углов k Тип числа Начало последовательности Ссылка на OEIS
3 Центрированные треугольные числа 1, 4, 10, 19, 31, … A005448
4 Центрированные квадратные числа 1, 5, 13, 25, 41, … A001844
5 Центрированные пятиугольные числа 1, 6, 16, 31, 51, … A005891
6 Центрированные шестиугольные числа 1, 7, 19, 37, 61, … A003215
7 Центрированные семиугольные числа 1, 8, 22, 43, 71, … A069099
8 Центрированные восьмиугольные числа 1, 9, 25, 49, 81, … A016754
9 Центрированные девятиугольные числа 1, 10, 28, 55, 91, … A060544
10 Центрированные десятиугольные числа 1, 11, 31, 61, 101, … A062786

и так далее.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
  • Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.