Pravilo derivacije proizvoda

Oblasti u matematičkoj analizi

Fundamentalna teorema Limes funkcije Kontinuitet Vektorska algebra Tenzor Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Implicitna diferencijacija Taylorova teorema Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala Neodređeni integral Određeni integral Višestruki integral Nepravi integrali Parcijalna integracija Integracija metodom substitucije Trigonometrijska substitucija

U matematici, pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (takođe se naziva i Leibnizov zakon; pogledajte članak derivacija), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija.

Zakon glasi:

$(fg)'=gf'+fg'\,$

ili direktno po Leibnizu:

${d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}.$

Otkriće od strane Leibniza

Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu, koji ga je dokazao koristeći diferencijale. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći: Neka su u(x) i v(x) dvije diferencijabilne funkcije od x. Tada je diferencijal od uv

$d(uv)\,$	$=(u+du)(v+dv)-uv\,$
	$=u(dv)+v(du)+(du)(dv)\,$

Pošto je (du)(dv) izanemarivo, Leibniz je zaključio da je

$d(uv)=v(du)+u(dv)\,$

što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx, dobit ćemo

${\frac {d}{dx}}(uv)=v\left({\frac {du}{dx}}\right)+u\left({\frac {dv}{dx}}\right)$

koje se može napisati i kao

$(uv)'=vu'+uv'.\,$

Dokaz

Dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja.

Pretpostavimo

$h(x)=f(x)g(x),\,$

i da su i f ig diferencijabilne u fiksnom broju x. Tada je

$h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)$

Sada razlika

$f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)$

predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.

Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika

$f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)$

Zbog toga, izraz (1) jednak je

$\lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)$

Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak

$\left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)$

Sada

$\lim _{w\to x}f(x)=f(x)\,$

jer f(x) ostaje konstanta kao w → x;

$\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)$

jer je g diferencijabilna u x;

$\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)$

jer je f diferencijabilna u x;

Na kraju je

$\lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,$

jer je g neprekidna u x. Kako znamo da je g neprekidna u x? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.

Zaključujemo da je izraz (5) jednak

$f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,$

Povezano

• Pravilo izvoda količnika
• Pravilo izvoda složene funkcije
• Parcijalna integracija
• Diferencijal (analiza)
• Derivacija (apstraktna algebra)