Prirodan broj

Prirodni brojevi su svi celi brojevi veći od nule.

Skup prirodnih brojeva se obeležava velikim latiničnim slovom N={1,2,3,..}.

Skup prirodnih brojeva spx₀ada u prebrojive skupove. Često se skupu prirodnih brojeva pridodaje i 0 i taj skup se označava sa N₀.

Sabiranje prirodnih brojeva

Neka su dati konačni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja zbir (sumu) brojeva a i b, koji su sumandi (adendi, pribrojnici). Računska operacija koju pri tom obavljamo je sabiranje (adicija). Za sabiranje prirodnih brojeva važi

Zakon zatvorenosti a+b je prirodan broj
zakon komutacije a+b=b+a
zakon asocijacije (a+b)+c=a+(b+c)
zakon trihotonomije a=b ili a+c=b a=b+d Za a + c=b =>a < b,za a = b + d => a > b
zakon kancelacije skračivanja

ako je a+c=b+c onda je a=b

Teorema 1

a=b <= > a+c= b+c.

Pod a₁+ a₂ + a₃, podrazunjevamo (a₁+ a₂)+ a₃. Pod a₁ + a₂+ a₃ + a₄ podrazunjevamo (a₁ + a₂ + a₃ )+ a₄ . uopštano je a₁+ a₂+ a₃+....+ a_n= (a₁+ a₂+...+ a_m)+(.. a_(m+1+...+ + a_n).

Teorema 2 a < b=> a+c< b+c

dokaz

a < b < => a+d=b< => a+d +c= b+c< => (a+c)+d = b+c< => a+c<b+c.

Teorema 3

(a < b & b<c) => a<c

Množenje prirodnih brojeva

Neka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnožnik) brojeva a i b koji su faktori (činioci) . Proizvod označavamo sa ab.

Za množenje prirodnih brojeva važi

Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj
zakon komutacije ab= ba
zakon asocijacije (ab)c=a(bc)
zakon kancelacije skračivanja ako je ac=bc onda je a=b
zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje

(a+b)c=ac +bc.

Broj b+b+b+....+b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b . .. Teorema 4

a = b => ac=bc a < b => ac < bc

Arhimedova teorema

Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b.

Oduzimanje prirodnih brojeva

Od broja a oduzeti broj b znači naći broj d takav da je a = b+d.

Broj a je razlika ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.

Očigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.

Primjer 2-3 nije iz N

Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva

Podijeliti broj a brojem b znači naći broj q takav da je a = bq. N. Broj a je kvocijent ili količnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.

U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.

Primjer

5 / 3 nije iz N

Algebarske operacije

Posmatrajmo operacije sabiranja i množenja u skupu N. Očito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa

(a,b)→ a + b i analogno

a(a,b)→ab.

Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S. Za algebarske operacije vrijedi

Zakon komutacije ako je a*b=b*a
Zakon asocijacje ako je a*(b*c)= a*b)*c

Ovi zakoni ne moraju važiti uvijek.

(a,b)= 2a + 2b

a*b= 2a+2b= 2b + 2a= b*a

(a*b)*c = (2a+2b)*c= 2(2a + 2b) + 2c= 4a+4b+2c

a*(b*c)= 2a+2(2b+2c) = 2a+4b + 4c

tj ne važi asocijativnost.

Neka su date dvije operacije * i ○ kažemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi a*(b○c)=(a*b) ○(a*c).

Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.

Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom slučaju sa elementima skupa možemo računati.

Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo grupoid. Uređen par (S,*) koji čini neprazni skup S i algebarska operacija * definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S* ) grupoid i e iz S onda je

e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a
e desnii neutralni element u odnosu na operaciju* akoje a*e=a
e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a*e=a.

Neutralni element za operaciju množenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N₀ je e=0.

Grupoid može biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo polugrupa.Polugrupa može imati inverzni element.

x je desni inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x = e
x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju * akoje x * a = e
x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x =x * a = e

Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni ewlement.

Polugrupa (S, *) s dvostrukim inverznim elementom ima najviše jedan inverzni element

Dokaz

x₁= x₁ * e = x₁ (a * x₀) = (x₁ * a )* = x₀