Einsteinova sumačná konvencia

Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je v matematike a fyzike, špeciálne v oblasti lineárnej algebry, spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein v roku 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

$y=c_{i}x^{i}\$

automaticky znamená

$y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}.$

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov

Ak máme priestor s metrickým tenzorom $g_{ij}$, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

$g^{ac}g_{cb}:=\delta _{b}^{a},$

kde $\delta _{b}^{a}$ je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak $a=b$ a rovný 0, ak $a\neq b$). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

$\sharp _{g}\,:\quad \alpha _{a}\mapsto \alpha ^{a}:=g^{ab}\alpha _{b}$

$\flat _{b}\,:\quad v^{a}\mapsto v_{a}:=g_{ab}v^{b}$

Veličinám $v_{a},v^{a}$ sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora $v$. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore $g_{ab}=\delta _{ab}$, čísla $v_{a}$ a $v^{a}$ sú rovnaké, pre každé $v$. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Zápis vektorov a kovektorov

V každom vektorovom priestore $V$si možno zvoliť bázu. Ak $\dim V=n$, tak báza má $n$ bázových prvkov $e_{i}$ a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent $v^{i}$. Zapisuje sa teda

$v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}=v^{i}e_{i}=\left({\begin{array}{c}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{array}}\right)$

K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor $V^{\ast }$ lineárnych zobrazení $V\to \mathbb {R}$ (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza $e^{i}$. Je to zobrazenie, pre ktoré platí

$\langle e^{i},e_{j}\rangle :=e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}.$

Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako

$\alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e^{i}=\alpha _{i}e^{i}=\left(\alpha _{1}\,\alpha _{2}\,\cdots \,\alpha _{n}\right)$

Bežné operácie

Operácie s vektormi

Skalárny súčin dvoch vektorov $u,v$možno zapísať ako

$h(u,v)=h_{ij}u^{i}v^{j}$,

kde $h_{ij}$ je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene

$h(u,v)=u_{i}v^{i}=u^{i}v_{i}$

Vektorový súčin v E3 dvoch vektorov možno zapísať ako

$(u\times v)_{i}=\varepsilon _{ijk}u^{j}v^{k}$,

kde $\varepsilon _{ijk}$ je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor, $\varepsilon _{123}=1$.

Veľkosť vektora v priestore s metrickým tenzorom $g_{ij}$ sa počíta ako

$\|v\|={\sqrt {g_{ij}v^{i}v^{j}}}={\sqrt {v_{i}v^{i}}}$.

Operácie s operátorom $\nabla$

$\nabla$ (nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami

$\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\left(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right),$

ktoré budeme označovať ako $\partial _{i}$. Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať

$\left({\textrm {grad}}\,h\right)_{i}=\left(\nabla h\right)_{i}=\partial _{i}h$

$\left({\textrm {rot}}\,{\textbf {A}}\right)_{i}=\left(\nabla \times {\textbf {A}}\right)_{i}=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}A_{k}$

${\textrm {div}}\,{\textbf {A}}=\nabla \cdot {\textbf {A}}=\partial _{i}A_{i}$

$\triangle {\textbf {A}}=\partial _{i}\partial _{i}{\textbf {A}}$

Maticové operácie

Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

Maticové násobenie

$({\textbf {A}}\cdot {\textbf {B}})_{j}^{i}=A_{k}^{i}B_{j}^{k}$

Stopa matice

${\textrm {Tr}}{\textbf {A}}=A_{i}^{i}$

Matematické aplikácie

Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v E3. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:

${\textbf {e}}_{i}\cdot {\textbf {e}}_{j}=\delta _{ij}$ (ortonormovanosť bázy)

${\textbf {e}}_{i}\times {\textbf {e}}_{j}=\varepsilon _{ijk}{\textbf {e}}_{k}$ (pravotočivosť bázy)

$\varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{jki}=\varepsilon _{kij}$ (vyplýva z antisymetričnosti Levi-Civitovho tenzora)

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{mnk}=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}$ (Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

${\textbf {a}}\times \left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)=\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right){\textbf {b}}-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}\right){\textbf {c}}\,$

Pre $i$-tu zložku vektora vľavo dostávame $\left({\textbf {a}}\times \left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)\right)_{i}\,$ $=\varepsilon _{ijk}a_{j}\left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)_{k}$ $=\varepsilon _{ijk}a_{j}\varepsilon _{klm}b_{l}c_{m}\,$ $=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmk}a_{j}b_{l}c_{m}\,$ Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. $\left({\textbf {a}}\times \left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)\right)_{i}\,$ $=\left(\delta _{il}\delta {jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)a_{j}b_{l}c_{m}$ ${\stackrel {(1)}{=}}a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}$ $=\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right)b_{i}-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}\right)c_{i}$ V úprave (1) sme použili ortonormovanosť bázy, teda $\delta _{ij}v_{i}=v_{j}$. Dospeli sme k rovnosti dvoch vektorov v $i$-tej zložke. Index $i$ ale môže nadobúdať hociktorú z hodnôt 1,2,3, to znamená že vektory sa rovnajú v každej zložke. Tým dostávame dokazovanú identitu.

$\left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)\cdot \left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)=\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {d}}\right)-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {d}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {c}}\right)\,$

V Einsteinovej sumačnej konvencii dostávame pre tento skalárny súčin $\left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)\cdot \left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)\,$ $=\left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)_{i}\left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)_{i}$ $=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\varepsilon _{ilm}c_{l}d_{m},$ $=\varepsilon _{jki}\varepsilon _{lmi}a_{j}b_{k}c_{l}d_{m}\,$ Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. $\left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)\cdot \left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)\,$ $=\left(\delta _{jl}\delta {km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)a_{j}b_{k}c_{l}d_{m}$ $=a_{j}b_{k}c_{j}d_{k}-a_{j}b_{j}c_{k}d_{j}$ $=\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {d}}\right)-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {d}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {c}}\right)$

$\nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\textbf {A}}\right)-\triangle {\textbf {A}}\,$

Pre $i$-tu zložku vektora vľavo platí $\left(\nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}\right)_{i}\,$ $=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}\left(\nabla \times {\textbf {A}}\right)_{k}$ $=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}\varepsilon _{klm}\partial _{l}A_{m},$ Keďže $\varepsilon _{klm}$ je konštanta, možno ho vybrať pred operátor derivácie $\partial _{j}$. Ďalej využijeme "Davis-cupovú" identitu. $\left(\nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}\right)_{i}\,$ $=\left(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)\partial _{j}\partial _{l}A_{m}$ $=\partial _{j}\partial _{i}A_{i}-\partial _{j}\partial _{j}A_{i}$ Poradie derivácii možno zameniť, preto možno prvý člen ešte upraviť. $\left(\nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}\right)_{i}\,$ $=\partial _{i}\left(\nabla \cdot {\textbf {A}}\right)-\left(\triangle {\textbf {A}}\right)_{i}$ $=\left(\nabla \left(\nabla \cdot {\textbf {A}}\right)\right)_{i}-\left(\triangle {\textbf {A}}\right)_{i}$ Vidíme, že ľavá a pravá strana sa rovnajú vo všetkých zložkách. To znamená, že dokazovaná identita platí.

Fyzikálne aplikácie

Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

• Hookov zákon v tenzorovom tvare

$\sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl},$

kde $\sigma {ij}$ je tenzor napätia, $\varepsilon _{kl}$ tenzor deformácie a tenzor $c_{ijkl}$ je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má $3^{4}=81$ komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.

• Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy obsahujúca divergenciu tenzora sa dá pohodlne prepísať ako

$\varrho \left(\partial _{t}v_{i}+v_{i}\partial _{j}v_{j}\right)=\partial _{j}\sigma _{ij}+f_{i}$,

kde $\partial _{t}$ označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda $t$ neznamená voľný index.

• Christoffelove symboly (druhého druhu) sú definované pomocou metrického tenzora predpisom

$\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}\left(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}\right),$

kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.

• Riemannov tenzor krivosti sa vyjadruje cez Christoffelove symboly vzťahom

$R_{\,jkl}^{i}=\Gamma _{jl,k}^{i}-\Gamma _{jk,l}^{i}+\Gamma _{jl}^{m}\Gamma _{mk}^{i}-\Gamma _{jk}^{m}\Gamma _{ml}^{i}$

Referencie

• M. Fecko: Sylabus k prednáškam z teoretickej mechaniky: http://davinci.fmph.uniba.sk/~fecko1/teormech/primech13.pdf
• M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Vydavateľstvo Iris, Bratislava, 2008.