Hamiltonova funkcia (fyzika)

Hamiltonova funkcia alebo hamiltonián je funkcia, ktorá charakterizuje stav fyzikálnej sústavy vo fázovom priestore pri daných fyzikálnych podmienkach. Je nazvaná podľa írskeho fyzika W. R. Hamiltona.

Hamiltonova funkcia $H$ je funkciou:

• zovšeobecnených hybností $p_{i}$
• zovšeobecnených súradníc $q_{i}$
• času $t$

Jej tvar je $H(p_{i},q_{i},t)=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$, kde $p_{i}$ je zovšeobecnená hybnosť, ${\dot {q}}_{i}$ zovšeobecnená rýchlosť a $L$ je Lagrangeova funkcia.

Prechod medzi Lagrangeovým a Hamiltonovým spôsobom zápis pohybových rovníc tvorí Legendrova transformácia. Z Hamiltonovej funkcie možno prejsť k Hamiltonovým kánonickým rovniciam, ktoré sú pohybovými rovnicami v Hamiltonovom formalizme.

Hamiltonova funkcia pre hmotný bod

• v karteziánskych súradniciach: $H={\frac {1}{2m}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+U(x,y,z)$
• v cylindrických súradniciach ($r$ - polomer, $\varphi$ uhol, $z$ súradnica na osi z): $H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}+p_{z}^{2}\right)+U(r,\varphi ,z)$
• v sférických súradniciach: $H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\vartheta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\right)+U(r,\vartheta ,\varphi )$