Ogled vira Akcija (fizika)

{{short description|fizikalna količina z razsežnostjo energija · čas}}
{{infopolje Fizikalna količina
| name        = {{ubl|akcija|napor|nuja}}
| image       = Least action principle.svg
| caption     = Na vseh možnih prihodnjih [[pot]]eh je tista, ki ji sledi sistem, takšna za katero je akcija [[ekstrem]]na ([[minimum]] ali [[maksimum]]). [[Načelo najmanjše akcije]] v [[konfiguracijski prostor|konfiguracijskem prostoru]], <math> \mathbf{q} \!\, </math> je [[konfiguracijski vektor]] ([[n-terica]] [[posplošene koodinate|posplošenih koordinat]]). Pot, ki jo ubere sistem (rdeča), ima [[stacionarna točka|stacionarno]] akcijo (<math> \delta \mathcal{S} = 0 \!\, </math>) pri majhnih spremembah konfiguracije sistema (<math> \delta \mathbf{q} \!\, </math>).{{r|penr_2007}}
| unit        = [[joule]] · [[sekunda]] (<math> \mathrm{J} \cdot \mathrm{s} \!\, </math>)
| otherunits  = <math> \mathrm{J} \cdot \mathrm{Hz}^{-1} \!\, </math> <br /> [[erg]] · [[sekunda]] (<math> \mathrm{erg} \cdot \mathrm{s} \!\, </math>)
| symbols     = <math> \mathcal{S} \!\, </math>, <math> S \!\, </math>
| baseunits   = <math> \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \!\, </math>
| dimension   = <math> \mathsf{L}^{2} \cdot \mathsf{M} \cdot \mathsf{T}^{-1} \!\, </math>
| extensive   = [[skalar]]na [[ekstenzivna količina]]
| conserved   = 
| derivations = <math> \mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int L(\mathbf{q}(t), \; \dot{\mathbf{q}}(t), \; t) \, \mathrm{d} t \!\, </math>
}}
'''Ákcija''' (tudi '''napòr''' ali '''núja''') je v [[fizika|fiziki]] kot [[skalar]]na [[fizikalna količina|količina]] atribut [[dinamika|dinamike]] [[fizikalni sistem|fizikalnega sistema]] in opisuje kako se je sistem spreminjal v [[čas]]u. Je matematični [[funkcional]] določena kot časovni [[integral]] [[Lagrangeeva funkcija|Lagrangeeve funkcije]] <math> L \!\, </math> med začetno lego <math> x(t_{1}) \!\, </math> v času <math> t_{1} \!\, </math> in izbrano končno lego <math> x(t_{2}) \!\, </math> v času <math> t_{2} \!\, </math>:

: <math> \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L \left( x(t),  \frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}, t \right) \, \mathrm{d}t \!\, . </math>

Akcija je ena izmed osnovnih fizikalnih količin, ki je vključena v sodobno formulacijo večine osnovnih [[fizikalna teorija|fizikalnih teorij]] na vseh osnovnih področjih fizike, hkrati pa ima velik pomen v [[teoretična fizika|teoretični fiziki]]. Morda je manj pomembna na sorazmerno bolj uporabnih področjih, čeprav se tudi tam pogosto uporablja. Enako se uporablja v [[kvantna fizika|kvantni]], [[klasična fizika|klasični]] in [[relativistična fizika|relativistični fiziki]].

V [[Lagrangeeva formulacija gibalnih enačb|Lagrangeevi formulaciji gibalnih enačb]] se poišče [[tir]] [[telo (fizika)|telesa]] tako, da se poišče takšno [[pot]], pri kateri ima akcija <math> \mathcal{S} \!\, </math> [[stacionarna točka|stacionarno točko]] ([[minimum]] ali [[prevoj]]). Ta pogoj je znan kot [[načelo najmanjše akcije]] oziroma v drugi formulaciji kot [[Hamiltonovo načelo]]. V [[klasična mehanika|klasični mehaniki]] načelo najmanjše akcije predpostavlja, da fizikalni sistem vedno sledi poti z najmanjšo akcijo.

Akcija <math> \mathcal{S} \!\, </math> je funkcional ([[funkcija]], definirana v prostoru matematičnih funkcij, v tem primeru <math> x(t) \!\, </math>.) Če delujejo [[konservativna sila|konservativne sile]], izbira razlike [[kinetična energija|kinetične]] in [[potencialna energija|potencialne energije]] za Lagrangeevo funkcijo privede do [[gibalna enačba|gibalnih enačb]], enakovrednih [[Newtonovi zakoni gibanja|Newtonovim zakonom gibanja]]. V splošnem ima akcija za različne poti različne vrednosti.{{r|good_1993}}

[[razsežnostna analiza|Razsežnost]] akcije je [[energija|[energija]]] · [[čas|[čas]]] ali [[gibalna količina|[gibalna količina]]] · [[dolžina|[dolžina]]]] (<math> (\mathsf{L} \cdot \mathsf{M} \cdot \mathsf{T}^{-1}) \cdot \mathsf{L} \!\, </math>), njena [[izpeljane enote SI|izpeljana]] [[mednarodni sistem enot|enota SI]] je [[joule]] · [[sekunda]] (<math> \mathrm{J} \cdot \mathrm{s} \!\, </math>), oziroma [[kilogram]] [[kvadratni meter]] na [[sekunda|sekundo]] (<math> \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \!\, </math>).{{r|steh_1993}} To je enaka enota kot za [[vrtilna količina|vrtilno količino]] in podobno kot za [[Planckova konstanta|Planckovo konstanto]] <math> h \!\, </math>. V fizikalnem smislu je akcija [[faza valovanja|faza]] kvantnega [[snovno valovanje|»verjetnostnega valovanja«]], oziroma točneje, je sorazmerna s to fazo (zaradi drugačne razsežnosti v tradicionalnih sistemih fizikalnih [[merska enota|enot]] (vključno s SI)): <math> \mathcal{S} = \hbar \varphi \!, </math> – s konstantnim razsežnostnim koeficientom Planckovo konstanto.

V [[kvantna mehanika|kvantni mehaniki]], v formuliranju teorije v smislu [[popotni integral|popotnih integralov]], fizikalni sistem istočasno sledi vsem možnim potem, [[verjetnostna amplituda]] sledenja določeni poti pa je določena z akcijo te poti. Če je značilna akcija veliko večja od Planckove konstante, potem prevladuje [[amplituda]] klasične poti z najmanjšo akcijo – s tem kvantna mehanika postane klasična.

Če je akcija zapisana za nek sistem, potem to načeloma določa tako njegovo klasično obnašanje (torej obnašanje sistema v klasičnem približku) kot njegovo kvantno obnašanje. Prvi je prek načela najmanjše (stacionarne) akcije, drugi pa preko Feynmanovega popotnega integrala. Hkrati je sama akcija zapisana na enak način, v enaki obliki, tako za klasični kot za kvantni primer, zaradi česar je zelo priročno orodje (za kvantizacijo prek Feynmanovega integrala je načeloma potrebno le poznati akcijo, definirano za navadne klasične poti, torej zapisano na enak način kot za klasično rabo).

== Uvod ==
{{glavni|Hamiltonovo načelo}}

[[Hamiltonovo načelo]] pravi, da se lahko diferencialne enačbe gibanja za ''poljubni'' fizikalni sistem reformulirajo kot enakovredna [[integralska enačba]]. Zato obstajata dva različna pristopa za formuliranje dinamičnih modelov.

Ne velja le za klasično mehaniko enega [[telo (fizika)|telesa]] ([[delec|delca]]), ampak tudi za [[polje (fizika)|klasična polja]] kot sta na primer [[elektromagnetno polje|elektromagnetno]] in [[gravitacijsko polje]]. Hamiltonovo načelo so razširili na [[kvantna mehanika|kvantno mehaniko]] in [[kvantna teorija polja|kvantno teorijo polja]] – formulacija prek [[popotni integral|popotnega integrala]] kvantne mehanike še posebej rabi ta koncept, kjer fizikalni sistem [[naključnost|naključno]] sledi eni od možnih poti, pri čemer je faza verjetnostne amplitude za vsako pot določena z zanjo ustrezno akcijo.{{r|aber_2004}}

=== Rešitev diferencialne enačbe ===

Empirični zakoni so pogosto izraženi kot [[diferencialna enačba|diferencialne enačbe]], ki opisujejo, kako se fizikalne količine, kot sta na primer lega in gibalna količina, [[zvezna funkcija|nenehno]] spreminjajo s [[čas (fizika)|časom]], [[prostor]]om ali njuno posplošitvijo. Glede na začetne in robne pogoje za razmere je »rešitev« teh empiričnih enačb ena ali več [[funkcija (matematika)|funkcij]], ki opisujejo obnašanje sistema in se imenujejo ''enačbe gibanja''.

=== Minimizacija integrala akcije ===

''Akcija'' je del alternativnega pristopa pri iskanju takih enačb gibanja. Klasična mehanika predpostavlja, da je pot, ki ji dejansko sledi fizikalni sistem, tista, za katero je ''akcija najmanjša'' ali na splošno stacionarna. Z drugimi besedami, akcija ustreza [[variacijski račun|variacijskemu]] načelu – načelu najmanjše akcije (glej tudi spodaj). Akcija je definirana z [[integral]]om, klasične enačbe gibanja sistema pa je mogoče izpeljati z minimiziranjem vrednosti tega integrala.

To preprosto načelo zagotavlja globok vpogled v fiziko in je pomemben koncept v moderni teoretični fiziki.

== Variacija ==

: <math> \Delta \mathcal{S} = \int_{t_{0}}^{t_{1}} \left( L(x+\Delta x, \dot x + \Delta \dot x, t) - L(x, \dot x, t) \right) \, \mathrm{d} t =
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \left( \frac{\partial L}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial L}{\partial \dot x} \Delta \dot x \right) \, \mathrm{d} t \!\, </math>

: <math> \Delta \mathcal{S} = \int_{t_{0}}^{t_{1}} \left( \frac{\partial L}{\partial x } \Delta x + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}  \frac{\partial L}{\partial \dot x} \Delta \dot x \right) \ \mathrm{d} t \!\, . </math>

Pogoj za ekstrem akcije <math> \mathcal{S} \!\, </math> se lahko zapiše tudi s pogojem, da je variacija <math> \mathcal{S} \!\, </math> enaka nič <math> \Delta \mathcal{S} = 0 \!\, </math>:

: <math> 0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial L}{\partial {x}} \!\, . </math>

Posplošitev na večrazsežni sistem je preprosta in se dobi sistem enačb po komponentah vektorja <math> \vec{r} = \left \langle x,y,z \right \rangle \!\, </math> in <math> \vec{\dot{r}} = \left \langle \dot{x},\dot{y},\dot{z} \right \rangle \!\, </math>.

=== Zgled poševnega meta ===

V prostoru se definira funkcijo [[krajevni vektor|krajevnega vektorja]] <math> \vec r (t) \!\, </math>. Ob tem se uvede še sistem dveh funkciji in sicer funkcije kinetične energije <math> K(\vec{\dot r}) = \frac{m}{2} \left( \dot{x}^{2}+ \dot{y}^{2} \right) \!\, </math> in funkcije potencialne energije <math> U(\vec{\dot r}) = -mg\hat{y} \!\, </math>. Ve se da bo funkcija najmanjše akcije tako enaka sistemu teh dveh funkciji (energij):

: <math> L(\vec{r},\vec{\dot r}, t) = \frac{m}{2} \left( \dot{x}^{2} + \dot{y}^{2} \right) - mg\hat{y} \!\, . </math>

Predpostavi se naslednje: <math> m\ddot{x} = 0 \!\, </math>, <math> m\ddot{y} = -mg \!\, </math> (pospeška v <math> x \!\, </math> razsežnosti ni, na <math> y \!\, </math> vpliva le gravitacijski pospešek):

: <math> x(t) = v_{x_{0}} t + x_{0}, \qquad y(t) = v_{y_{0}}t - mg \frac{t^{2}}{2}+y_{0} \!\, . </math>

<math> x_{0} \!\, </math> in <math> y_{0} \!\, </math> predstavljata [[aditivna konstanta|aditivni konstanti]] integracije.

== Zgodovina ==

Izraz ''akcija'' so sprva definirali na več načinov:{{r|hand_2008}}

* [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]], [[Johann Bernoulli I.]] in [[Pierre-Louis Moreau de Maupertuis|Maupertuis]] so definirali ''akcijo'' za [[svetloba|svetlobo]] kot integral njene [[hitrost]]i (ali inverzne hitrosti) vzdolž njene dolžine poti.
* [[Leonhard Euler|Euler]] (in morda Leibniz) je definiral ''akcijo'' (imenoval jo je napor) za snovni delec kot integral njegove hitrosti vzdolž poti skozi prostor.
* Maupertuis je leta 1746 v enem članku ''Izpeljava zakonov gibanja in ravnovesja iz metafizičnega načela'' vpeljal več ''ad hoc'' in nasprotujočih definicij ''akcije'' kot potencialna energija, virtualna kinetična energija in kot mešanica količin, ki je zagotavljala [[izrek o gibalni količini|ohranitev gibalne količine]] pri [[trk]]ih.{{r|maup_1746}}{{r|wikivir0}}

Maupertuis je v delih iz leta 1740(?) in 1741–1746 prvi oblikoval načelo najmanjše akcije za mehaniko in predlagal, da je to univerzalni [[naravni zakon]], pri čemer je [[optika|optiko]] ([[Fermatovo načelo]] (načelo najmanjšega časa)) pojasnjeval v smislu akcije (uporabil je tisto, kar se danes običajno imenuje okrajšana akcija). Bil je nagnjen k teološki razlagi tega načela, ki je po njegovem mnenju pričalo o določeni popolnosti sveta, katerega je ustvaril bog. Izhajal je iz prepričanja, da naj bi narava služila nekemu namenu in naj bi vse naredila s čim manjšim naporom. Načelo naj bi bilo zelo splošno in naj bi povezovalo vse dele fizike. Zato ga je poskušal uporabiti za kar se da različne primere.

Še v času Maupertuisovega življenja je ta njegova dela podpiral in razvijal Euler, ki je razvil tudi variacijski račun in ta je omogočil najučinkovitejšo realizacijo prednosti načela.

[[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrange]] je nato v ''Analitični mehaniki'' (''Mécanique analytique''), objavljeni leta 1788, razvil uporabo načela najmanjše akcije v mehaniki z uporabo variacijskega računa in uvedbo [[posplošene koordinate|posplošenih koordinat]]. Leta 1795 je predstavil tudi metodo [[Lagrangeev množitelj|nedoločenih multiplikatorjev]], ki omogoča bistveno izboljšanje uporabe načela najmanjše akcije pri problemih z [[vez (klasična mehanika)|vezmi]].

Akcijo za hitro premikajoče se (»relativistične«) delce so popravili (v primerjavi s staro newtonsko-lagrangeevo različico, katere obseg so gibanja, veliko manjša od [[hitrost svetlobe|svetlobne hitrosti]]) na začetku 20. stoletja. Najprej je to izrecno javno izvedel [[Max Planck|Planck]] leta 1907.{{r|plan_1906}} V zvezi s tem se lahko omeni tudi dela [[Hermann Minkowski|Minkowskega]] (1907) in [[Max Born|Borna]] (1909).{{r|paul_1991}} Za [[prosti delec|prosti]] [[točkasti delec]] je imel obliko intervala (dolžine – [[lastni čas|lastnega časa]] – v [[prostor Minkowskega|prostor-času Minkowskega]]) vzdolž [[svetovnica|svetovnice]] (prostorskočasovni trajektoriji) delca z nasprotnim predznakom, kar je nadomestilo običajni newtonovski izraz v mehaniki hitrih delcev. Zato načelo najmanjše akcije za relativistične delce vodi do največjega možnega lastnega časa vzdolž trajektorije.

== Matematična definicija ==

Izraženo v matematičnem jeziku z uporabo variacijskega računa, razvoj fizičnega sistema (tj. kako sistem dejansko napreduje iz enega stanja v drugega) ustreza stacionarni točki (običajno minimumu) akcije.

V fiziki se pogosto uporablja več različnih definicij »akcije«.{{r|hand_2008}}{{r|gugg_1991}} Akcija je običajno časovni integral. Kadar pa se akcija nanaša na polja, se lahko integrira tudi prek prostorskih spremenljivk. V nekaterih primerih se akcija integrira vzdolž poti, ki ji sledi fizikalni sistem.

Akcija je običajno predstavljena kot časovni integral, ki poteka vzdolž poti sistema med začetnim časom in končnim časom razvoja sistema:{{r|hand_2008}}

: <math> \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L \left( x(t), \dot x(t), t \right) \, \mathrm{d} t \!\, . </math>

Tu se integrand <math> L \!\, </math> imenuje [[Lagrangeeva funkcija]], <math> \dot x(t) \!\, </math> pa je [[časovni odvod]] po <math> x(t) \!\, </math>. Da je integral akcije dobro definiran, mora biti pot časovno in prostorsko omejena.

== Akcija v klasični fiziki ==

V klasični fiziki ima izraz »akcija« več pomenov.

Z izpeljavo enačb gibanja s primerno izbiro koordinat (v splošnem [[kartezični koordinatni sistem|nekartezičnih]]) in z uporabo metode nedoločenih [[Lagrangeev množitelj|Lagrangeovih množiteljev]] je enostavno dobiti v priročni obliki enačbe gibanja za sisteme z vezmi, včasih brez reakcij vezi (kar lahko precej poenostavi enačbe).

Opozoriti je treba, da kljub vsej svoji osnovni pomembnosti koncept akcije ne zajema nekaterih primerov makroskopske mehanike – na primer, ne dovoljuje zapisati akcije v primeru prisotnosti poljubnih [[disipativna sila|disipativnih sil]] in s tem ne dovoljuje uporabe načela najmanjše akcije za njihov opis.

Klasična akcija je z modernega vidika količina, ki je sorazmerna s fazo kvantne [[valovna funkcija|valovne funkcije]] ustreznega delca ali sistema (v resnici je to faza, le merjena v drugih enotah, prav tako ni znan sorazmernostni koeficient znotraj klasične mehanike – to je v bistvu kvantna količina, z vidika klasične mehanike je pomembno le, da je zelo majhna). Sama klasična mehanika je [[valovna dolžina|kratkovalovna]] meja kvantne mehanike in jo je mogoče pridobiti iz nje s prehodom <math> \hbar / \mathcal{S} \rightarrow 0 \!\, </math>

=== Akcija (funkcional) ===

Najpogosteje se izraz uporablja za funkcional <math> \mathcal{S} \!\, </math>, ki ima za argument funkcijo časa in (za polja) prostora, in vrne skalar.{{r|penr_2007}}{{r|kibb_1973}} V klasični mehaniki je vhodna funkcija evolucija <math> \mathbf{q}(t) \!\, </math> sistema med dvema časoma <math> t_{1} \!\, </math> in <math> t_{2} \!\, </math>, kjer <math> \mathbf{q} \!\, </math> predstavlja [[posplošene koordinate]]. Akcija <math> \mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] \!\, </math> je definirana kot integral Lagrangeeve funkcije <math> L \!\, </math> za vhodno evolucijo med časoma:

: <math> \mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q}(t), \dot{\mathbf{q}}(t), t) \, \mathrm{d} t \!\, , </math>

kjer sta končni točki evolucije fiksni in definirani kot <math> \mathbf{q}_{1} = \mathbf{q}(t_{1}) \!\, </math> in <math> \mathbf{q}_{2} = \mathbf{q}(t_{2}) \!\,</math>. Po Hamiltonovem načelu je prava evolucija <math> \mathbf{q}_{\rm p}(t) \!\, </math> takšna evolucija, za katero je akcija <math> \mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] \!\, </math> stacionarna (minimum, [[maksimum]], prevoj ali [[sedlasta točka]]). To načelo vodi do enačbe gibanja v [[Lagrangeeva formulacija gibalnih enačb|Lagrangeevi mehaniki]].

=== Okrajšana akcija (funkcional)===
<!-- [[Symplectic action]] redirects here -->

Tudi okrajšana akcija je funkcional. Običajno je označena kot <math> \mathcal{S}_{0} \!\, </math>. Tukaj je vhodna funkcija ''pot'', ki ji sledi fizikalni sistem, ne glede na njegovo parametrizacijo po času. Pot [[planet]]nega [[tir]]a je na primer [[elipsa]], pot delca v konstantnem gravitacijskem polju pa [[parabola]] – v obeh primerih pot ni odvisna od tega kako hitro telo prečka pot. Okrajšana akcija <math> \mathcal{S}_{0} \!\, </math> je definirana kot integral posplošenih gibalnih količin vzdolž poti v posplošenih koordinatah:

: <math> \mathcal{S}_{0} = \int \mathbf{p} \cdot \mathrm{d} \mathbf{q} = \int p_{i} \, \mathrm{d} q_{i} \!\, . </math>

Konkretno povedano je to:

: <math> \mathcal{S}_{0} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathbf{p}(t) \cdot \dot{\mathbf{q}}(t) \, \mathrm{d} t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} p_{i}(t) \, \frac{\mathrm{d} q_{i}(t)}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d} t \!\, . </math>

V skladu z [[Maupertuisovo načelo|Maupertuisovim načelom]] je prava pot takšna pot pri kateri je okrajšana akcija <math> \mathcal{S}_{0} \!\, </math> stacionarna.

=== Hamiltonova glavna funkcija ===
{{glavni|Hamilton-Jacobijeva enačba}}

Hamiltonova glavna funkcija <math> S=S(q,t;q_{0},t_{0}) \!\, </math> je dobljena iz funkcionala akcije <math> \mathcal{S} \!\, </math> s fiksiranjem začetnega časa <math> t_{0} \!\,</math> in začetne končne točke <math> q_{0} \!\, </math>, pri čemer se zgornja časovna omejitev <math> t \!\, </math> in druga končna točka <math> q \!\, </math> spreminjata. Hamiltonova glavna funkcija zadošča Hamilton-Jacobijevi enačbi, formulaciji klasične mehanike. Zaradi podobnosti s [[Schrödingerjeva enačba|Schrödingerjevo enačbo]] Hamilton-Jacobijeva enačba zagotavlja verjetno najbolj neposredno povezavo s [[kvantna mehanika|kvantno mehaniko]].

=== Hamiltonova karakteristična funkcija ===

Ko se [[polna energija]] <math> E \!\, </math> ohrani, je Hamilton-Jacobijevo enačbo mogoče rešiti z aditivno ločitvijo spremenljivk:

: <math> S(q_{1}, \dots, q_{N}, t) = W(q_{1}, \dots, q_{N}) - E \cdot t \!\, , </math>

kjer se časovno odvisna funkcija <math> W(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{N}) \!\, </math> imenuje ''Hamiltonova karakteristična funkcija''. Fizikalni pomen te funkcije se razume tako, da se vzame njen skupni časovni odvod:

: <math> \frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial W}{\partial q_{i}} \dot q_{i} = p_{i} \dot q_{i} \!\, . </math>

To se lahko integrira, kar da:

: <math> W(q_{1}, \dots, q_{N}) = \int p_{i} \dot q_{i} \, \mathrm{d} t = \int p_{i} \, \mathrm{d} q_{i} \!\, , </math>

in kar je ravno okrajšana akcija.

=== Druge rešitve Hamilton-Jacobijevih enačb ===

Hamilton-Jacobijeve enačbe se pogosto rešujejo z aditivno ločitvijo spremednljivk – v nekaterih primerih se posamezni členi rešitve, npr. <math> S_{k}(q_{k}) \!\, </math>, tudi imenujejo »akcija«{{r|hand_2008}}

=== Akcija posplošene koordinate ===

To je ena sama spremenljivka <math> J_{k} \!\, </math> v [[koordinate akcija-kot|koordinatah akcija-kot]], definirana z integracijo ene posplošene gibalne količine okrog sklenjene poti v [[fazni prostor|faznem prostoru]], ki ustreza [[vrtenje|vrtenju]] ali [[nihanje|nihajočemu]] [[gibanje|gibanju]]:

: <math> J_{k} = \oint p_{k} \, \mathrm{d} q_{k} \!\, . </math>

Spremenljivka <math> J_{k} \!\, </math> se imenuje »akcija« posplošene koordinate <math> q_{k} \!\, </math> – ustrezna kanonična konjugirana spremenljivka z <math> J_{k} \!\, </math>, je njen »kot« <math> w_{k} \!\, </math>, zaradi razlogov, podrobneje opisanih v članku o koordinatah akcija-kot. Integracija je samo nad eno spremenljivko <math> q_{k} \!\, </math> in se zato razlikuje od integriranega [[skalarni produkt|skalarnega produkta]] v zgornjem integralu okrajšane akcije. Spremenljivka <math> J_{k} \!\, </math> je enaka spremembi <math> S_{k}(q_{k}) \!\, </math>, ko se <math> q_{k} \!\, </math> spreminja okrog sklenjene poti. Za več zanimivih fizikalnih sistemov je <math> J_{k} \!\, </math> konstanta ali pa se spreminja zelo počasi – zato se pogosto uporablja v izračunih [[teorija motenj|motenj]] in pri določanju [[adiabatska invarianta|adiabatskih invariant]].

=== Akcija za hamiltonski tok ===

Glej [[tavtološka ena-forma]] ([[Liouvillova forma]]).

== Euler-Lagrangeeve enačbe ==
{{glavni|Euler-Lagrangeeva enačba}}

V Lagrangeevi mehaniki je zahteva, da je integral akcije stacionaren pod majhnimi motnjami, enakovredna nizu diferencialnih enačb (imenovanih Euler-Lagrangeeve enačbe), ki jih je mogoče dobiti z uporabo [[variacijski račun|variacijskega računa]].

== Načelo akcije ==
{{glavni|načelo najmanjše akcije}}

=== Klasična polja ===
{{glej tudi|Einstein-Hilbertova akcija}}

Načelo akcije se lahko razširi, da se dobijo enačbe gibanja za polja, kot sta [[elektromagnetno polje|elektromagnetno]] ali [[gravitacijsko polje]].

Za newtonovsko [[teorija gravitacije|teorijo gravitacije]] se lahko akcija zapiše kot:

: <math> \mathcal{S} = \frac{1}{16\pi \kappa} \int (\nabla \varphi)^{2} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z \, \mathrm{d} t + \mathcal{S}_{m} \!\, , </math>

kjer je <math> \mathcal{S}_{m} \!\, </math> akcija »snovi«, torej vse razen [[gravitacija|gravitacije]], <math> \nabla \varphi \!\, </math> je trirazsežni [[gradient]] [[gravitacijski potencial|gravitacijskega potenciala]] (kar pomeni neskončno hitrost širjenja [[gravitacijska sila|gravitacijske sile]]). Ta količina očitno ni [[Lorentzeva kovariantnost|Lorentzeva invarianta]], zato se jo lahko, tako kot vso klasično mehaniko, razširi – približno – na primer počasnega gibanja (v primerjavi s svetlobno hitrostjo) in ne zelo močnih gravitacijskih polj (čeprav zato, ker bodo močna polja na splošno pospešila telesa do velikih hitrosti). Obstaja veliko teorij, ki so na tak ali drugačen način popravile to akcijo, da bi postala Lorentzeva invarianta (glej [[alternative splošni teoriji relativnosti]]), vendar je večina od njih zdaj le zgodovinskega pomena ali obratno, še niso dokazale svojih prednosti znanstveni skupnosti. Tudi nekatere obetavne teorije za opisovanje gravitacije (čeprav tudi precej daleč od končne potrditve), kot je na primer [[teorija strun]] in njene posplošitve, so prav tako precej kompleksne in ne zajemajo samo gravitacije, zato si zaslužijo ločeno obravnavo.

[[Einsteinove enačbe polja]] uporabljajo [[Einstein-Hilbertova akcija|Einstein-Hilbertovo akcijo]], ki jo omejuje [[variacijsko načelo]].

Variacijski načelo omogoča rešitev problema z uporabo variacijskega računa, nanašujočega se na iskanje funkcij, ki optimizirajo vrednosti količin, odvisnih od teh funkcij. Na primer, problem določanja oblike viseče [[veriga|verige]], obešene na obeh koncih – [[verižnica|verižnice]] – je mogoče rešiti z uporabo variacijskega računa. V tem primeru je rešitev funkcija, ki minimizira [[gravitacijska potencialna energija|gravitacijsko potencialno energijo]] verige.

[[trajektorija|Trajektorijo]] ([[pot]] v [[prostor-čas|prostor-času]]) telesa v gravitacijskem polju se lahko najde z načelom akcije. Za [[prosti pad|prosto padajoče]] telo je ta trajektorija [[geodetka]].

Za glavno (nekvantno) teorijo gravitacije sodobne fizike, [[splošna teorija relativnosti|splošno teorijo relativnosti]] velja Einstein-Hilbertova akcija:

: <math> \mathcal{S} = \frac{1}{16\pi \kappa} \int R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^{4} x + \mathcal{S}_m \!\, , </math>

kjer je <math> \kappa \!\, </math> [[gravitacijska konstanta]], <math> R = R_{\mu}^{\mu} \!\, </math> [[skalarna ukrivljenost]] ([[Riccijev skalar]]) prostor-časa, <math> g = |g_{\mu\nu}| \!\, </math> determinanta matrike komponent [[metrični tenzor|metričnega tenzorja]], <math> \mathcal{S}_m \!\, </math> pa akcija negravitacijskih polj (masivnih delcev,  elektromagnetnega polja itn.).

S spreminjanjem te akcije vzdolž prostorsko-časovne metrike <math> g_{ij} \!\, </math> (ki igra vlogo gravitacijskega potenciala, to je spremenljivk polja v tej teoriji), se Einsteinove enačbe polja (včasih imenovane tudi Einstein-Hilbertove enačbe polja) dobijo v obliki:

: <math> R_{\mu \nu } - \frac{R}{2} g_{\mu \nu } = \frac{8\pi \kappa} {c^{4}} T_{\mu \nu} \!\, </math>

Tako jih je leta 1915 prvič zapisal [[David Hilbert|Hilbert]], [[Albert Einstein|Einstein]] pa je šel po drugačni poti.

Člen enačbe, ki opisuje vir gravitacijskega polja (desna stran), je v tem primeru dobljen zaradi metrike <math> g_{\mu \nu} \!\, </math>, vzdolž katere se izvaja variacija, ki je vključena tudi v <math> \mathcal{S}_{m} = \int \mathcal{L} \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^{4} x \!\, </math> vsaj prek faktorja <math> \sqrt{-g} \!\, </math>, vključenega v izrazu za ([[štirirazsežni prostor|štirirazsežni]]) prostorninski element (tukaj je <math> \mathcal{L} \!\, </math> je gostota Lagrangeeve funkcije za »snov« – to je vsa negravitacijska polja, in <math> T_{\mu \nu} \!\, </math> njihov [[napetostni tenzor|tenzor energije in gibalne količine]]).

Akcijo za gravitacijsko polje splošne teorije relativnosti je mogoče prepisati tudi v drugi obliki, enakovredni tej, razen robnih pogojev (in če so robni pogoji iz nekega razloga nastavljeni na nič, potem v popolnoma enakovredni obliki) in ki pod integralom namesto tenzorja ukrivljenosti vsebuje konstrukcijo iz <math> \Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda} \!\, </math>, ki se jo lahko interpretira kot kvadrat [[jakost gravitacijskega polja|jakosti gravitacijskega polja]] – to je v podobni obliki, kot je akcija enostavnejših, [[skalarno polje|skalarnih]] in [[vektorsko polje|vektorskih polj]], kot je elektromagnetno.

Dopolnitev zgornje akcije z izrazom <math> \int \Lambda {\sqrt{-g}} \, \mathrm{d}^{4} x \!\, </math> se dobijo Einsteinove enačbe polja s členom <math> \Lambda \!\, </math>:

: <math> R_{\mu \nu } - \frac{R}{2} g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi \kappa}{c^{4}} T_{\mu \nu} \!\, . </math>

Popolnoma zadovoljiva kvantna teorija gravitacije, kolikor je znano, trenutno ne obstaja. Vendar številne teorije, ki lahko bolj ali manj zahtevajo to vlogo, dajejo običajno učinkovito Einstein-Hilbertovo akcijo v nizkoenergijski meji.

=== Ohranitveni zakoni ===

{{glavni|ohranitveni zakon}}

Posledice [[simetrija|simetrij]] v fizikalnem stanju je mogoče najti z načelom akcije, skupaj z [[Euler-Lagrangeeva enačba|Euler-Lagrangeevimi enačbami]], ki izhajajo iz njega. Zgled je [[izrek Noetherjeve]], ki pravi, da vsaki [[zvezna simetrija|zvezni simetriji]] v fizikalnem stanju ustreza [[ohranitveni zakon]] (in obratno). Ta globoka povezanost zahteva predpostavko načela akcije.{{r|aber_2004}}

=== Kvantna mehanika in kvantna teorija polja ===

{{glavni|kvantna mehanika|kvantna teorija polja}}

V kvantni mehaniki sistem ne sledi eni sami poti, katere akcija je stacionarna, ampak je njegovo obnašanje odvisno od vseh dovoljenih poti in vrednosti njihove akcije. Akcija, ki ustreza različnim potem, se uporabi za izračun [[popotni integral|popotnega integrala]], kar daje [[verjetnostna amplituda|verjetnostne amplitude]] različnih izidov.

Čeprav je v klasični mehaniki enakovredno Newtonovim zakonom gibanja, je načelo akcije primernejše za posplošitve in igra pomembno vlogo v moderni fiziki. Dejansko je to načelo ena od velikih posplošitev v fizikalni znanosti. Najbolje se ga razume v kvantni mehaniki, zlasti v formulaciji [[Richard Phillips Feynman|Feynmanovega]] [[popotni integral|popotnega integrala]], kjer izhaja iz [[destruktivna interferenca|destruktivne interference]] kvantnih amplitud.

Tudi [[Maxwellove enačbe]] je mogoče [[elektromagnetni tenzor|izpeljati kot pogoje stacionarne akcije]].

=== Posamezni relativistični delec ===

{{glavni|relativistična Lagrangeeva mehanika|teorija relativnosti}}

Kadar so relativistični učinki pomembni, je akcija [[točkasto telo|točkastega]] delca z [[masa|maso]] <math> m \!\, </math>, ki potuje po [[svetovnica|svetovnici]] <math> C \!\, </math>, parametrizirana z [[lastni čas|lastnim časom]] <math> \tau \!\, </math>:

: <math> S = - m c^{2} \int_{C} \, \mathrm{d} \tau \!\, . </math>

Če je namesto tega delec parametriran s koordinatnim časom <math> t \!\, </math> in se koordinatni čas giblje od <math> t_{1} \!\, </math> do <math> t_{2} \!\, </math>, potem ima akcija obliko:

: <math> S = \int_{t{1}}^{t_{2}} L \, \mathrm{d} t \!\, , </math>

kjer je Lagrangeeva funkcija enaka:{{r|land_1971}}

: <math>L = -mc^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \!\, . </math>

=== Moderne razširitve ===

Načelo akcije je mogoče še bolj posplošiti. Ni nujno na primer, da je akcija integral, ker so možne [[nekrajevna Lagrangeeva funkcija|nekrajevne akcije]]. Ni nujno tudi, da je konfiguracijski prostor [[funkcijski prostor]], glede na določene značilnosti, kot je na primer [[nekomutativna geometrija]]. Vendar je treba fizikalno osnovo za te matematične razširitve še eksperimentalno vzpostaviti.{{r|penr_2007}}

== Glej tudi ==

{{Div col}}
* [[variacijski račun]]
* [[funkcionalni odvod]]
* [[funkcionalni integral]]
* [[Hamiltonova mehanika]]
* [[Lagrangeeva funkcija]]
* [[Lagrangeeva mehanika]]
* [[mera (fizika)]]
* [[izrek Noetherjeve]]
* [[popotni integral]]
* [[načelo najmanjše akcije]]
* [[načelo največje entropije]]
* nekatere akcije:
** [[Nambu-Gotojeva akcija]]
** [[akcija Poljakova]]
** [[Bagger-Lambert-Gustavssonova akcija]]
** [[Einstein-Hilbertova akcija]]
{{Div col end}}

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="aber_2004">{{sktxt|Abers|2004}}.</ref>
<ref name="good_1993">{{sktxt|Goodman|1993|p=22}}.</ref>
<ref name="gugg_1991">{{sktxt|Guggenheim Lerner|Trigg|1991}}.</ref>
<ref name="hand_2008">{{sktxt|Hand|Finch|2008}}.</ref>
<ref name="kibb_1973">{{sktxt|Kibble|1973}}.</ref>
<ref name="land_1971">{{sktxt|Landau|Lifšic|1971|loc=§8, str. 24–25}}.</ref>
<ref name="maup_1746">''Œuvres de Mr de Maupertuis'' (zbirka natisa pred letom 1801 v [[Kongresna knjižnica|Kongresni knjižnici]]).</ref>
<ref name="paul_1991">{{sktxt|Pauli|1991|pp=125–127}}.</ref>
<ref name="penr_2007">{{sktxt|Penrose|2007|p=474}}.</ref>
<ref name="steh_1993">{{sktxt|Stehle|1993|p=670}}.</ref>
<ref name="plan_1906">{{sktxt|Planck|1906|p=136}}.</ref>
<ref name="wikivir0">Prevod članka v angleščini ''[[:en:s:Translation:Derivation of the laws of motion and equilibrium from a metaphysical principle|Derivation of the laws of motion and equilibrium from a metaphysical principle]] je na voljo v [[Wikivir]]u.</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Abers|first1= Ernest Stephen|title= Quantum Mechanics|date= 2004|publisher= Pearson Education, Addison Wesley, Prentice Hall Inc|location= Upper Saddle River, N.J.|isbn= 978-0-13-146100-0|cobiss= 10266674|oclc= 52182623}}
* {{navedi enciklopedijo|last1= Goodman|first1= Bernard|title= Action|date= 1993|encyclopedia= McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics|publisher= McGraw-Hill|location= New York|editor-last1= Parker|editor-first1= Sybil P.|page= 22|edition= 2.|url= https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park/page/22/mode/2up|isbn= 0-07-051400-3|cobiss= 755995}}
* {{citat|editor-last1= Guggenheim Lerner|editor-first1= Rita|editor-link1= Rita Guggenheim Lerner|editor-last2= Trigg|editor-first2= George Lockwood|editor-link2= George Lockwood Trigg|title= Encyclopaedia of Physics|date= 1991|edition= 2.|publisher= VHC publishers|isbn= 3-527-26954-1|cobiss= 56522241}}  (Verlagsgesellschaft), {{ISBN|0-89573-752-3}} (VHC Inc.)
* {{citat|last1= Hand|first1= Louis N.|last2= Finch|first2= Janet D.|title= Analytical Mechanics|date= 2008|edition= 7. tisk.|publisher= Cambridge University Press|isbn= 978-0-521-57572-0|cobiss= 2318948|oclc= 705971327}}
* {{citat|last1= Kibble|first1= Thomas Walter Bannerman|authorlink1= Thomas Walter Bannerman Kibble|title= Classical Mechanics|date= 1973|series= (European Physics Series)|publisher= McGraw-Hill (UK)|isbn= 0-07-084018-0|oclc= 856410}}
* {{citat|last1= Landau|first1= Lev Davidovič|authorlink1= Lev Davidovič Landau|last2= Lifšic|first2= Jevgenij Mihajlovič|authorlink2= Jevgenij Mihajlovič Lifšic|title= The Classical Theory of Fields|date= 1971|publisher= Addison-Wesley|no-pp= yes|pages= §8, str. 24–25|cobiss= 7074817}}
* {{citat|last1= Lemut|first1= Gal|authorlink1= Gal Lemut|title= Feynmanova interpretacija kvantne mehanike in primeri reševanja problemov|date= 31. maj 2016|series= (seminar)|publisher= [[Fakulteta za matematiko in fiziko v Ljubljani|Fakulteta za matematiko in fiziko]], [[Univerza v Ljubljani]]|url= http://www-f1.ijs.si/~ramsak/seminarji/lemut.pdf|accessdate= 23. januarja 2023}}
* {{citat|last1= Pauli|first1= Wolfgang|authorlink1= Wolfgang Ernst Pauli|title= Теория относительности|date= 1991|edition= 3., popr.|publisher= Nauka|location= Moskva|pages= 328|editor-last1= Ginzburg|editor-first1= Vitalij Lazarevič|editor-link1= Vitalij Lazarevič Ginzburg|editor-last2= Frolov|editor-first2= Valerij Pavlovič|editor-link2= Valerij Pavlovič Frolov|chapter= § 31. Инвариантный принцип действия в электродинамике|isbn= 5-02-014346-4|oclc= 27798317}}
* {{citat|last1= Penrose|first1= Roger|authorlink1= Roger Penrose|title= The Road to Reality|date= 2007|publisher= Vintage books|isbn= 0-679-77631-1|cobiss= 6036564|oclc= 77608211}}
* {{citat|last1= Planck|first1= Max|authorlink1= Max Planck|title= Das Prinzip der Relativität und die Grundgleichungen der Mechanik|journal= [[Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft|Verh. d. Deutsch. Phys.]]|date= 1906|issue= 4|pages= 136–141|url= https://archive.org/details/verhandlungende00goog/page/136/mode/2up}}
* {{navedi enciklopedijo|last1= Stehle|first1= Philip M.|title= Least-action principle|date= 1993|encyclopedia= McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics|publisher= McGraw-Hill|location= New York|editor-last1= Parker|editor-first1= Sybil P.|page= 670|edition= 2.|url= https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park/page/670/mode/2up|isbn= 0-07-051400-3|cobiss= 755995}}
{{refend}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Dinamika]]
[[Kategorija:Variacijski račun]]