Dirichletvillkor: Skillnad mellan sidversioner

Innehåll som raderades Innehåll som lades till

Inline

Versionen från 6 mars 2018 kl. 13.58

Dirichletvillkor är en typ av randvillkor för differentialekvationer där lösningen föreskrivs ha ett fixt givet värde på randen eller en del av denna.

Exempel

Om exempelvis en lösning u till en differentialekvation skall gälla i området $(x,y):\,\,0<x<L,\,\,0<y<1$ så är den underkastad ett Dirichletvillkor om den måste uppfylla u(0,y) = C₁, u(L,y)=C₂, där C₁ och C₂ är konstanter. Då kan en lösning med en sinusserie ansättas, exempelvis $u(x,y)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(y)sin({\frac {k\pi x}{L}})$ .^[1] Vid insättning av ansatsen i den ursprungliga differentialekvationen kan $u_{k}(y)$ bestämmas. Lösningen kan tvingas lyda under andra typer av villkor på andra delar av randen, till exempel Neumannvillkor.

Källor

^ Sparr, Annika, Gunnar. Kontinuerliga System

[1] Sparr, Annika, Gunnar. Kontinuerliga System

[1]

@@ Rad 2: / Rad 2: @@
 ==Exempel==
-Om exempelvis en lösning ''u'' till en differentialekvation skall gälla i området <math>(x,y):\,\,0<x<L,\,\, 0<y<1</math> så är den underkastad ett Dirichletvillkor om den måste uppfylla ''u''(''0'',''y'') = C<sub>1</sub>, ''u''(L,''y'')=C<sub>2</sub>. Då kan en lösning med en sinusserie ansättas, exempelvis <math>u(x,y)= \sum_{k = 1}^{\infty} u_k(y)sin(\frac{k \pi x}{L}) </math>.<ref>{{Bokref|efternamn=Sparr|förnamn=Annika, Gunnar|titel=Kontinuerliga System|hämtdatum=|år=|sid=}}</ref> Vid insättning av ansatsen i den ursprungliga differentialekvationen kan <math> u_k(y)</math> bestämmas. Lösningen kan tvingas lyda under andra typer av villkor på andra delar av randen, till exempel [[Neumannvillkor]].
+Om exempelvis en lösning ''u'' till en differentialekvation skall gälla i området <math>(x,y):\,\,0<x<L,\,\, 0<y<1</math> så är den underkastad ett Dirichletvillkor om den måste uppfylla ''u''(''0'',''y'') = C<sub>1</sub>, ''u''(L,''y'')=C<sub>2</sub>, där C<sub>1</sub> och C<sub>2</sub> är konstanter. Då kan en lösning med en sinusserie ansättas, exempelvis <math>u(x,y)= \sum_{k = 1}^{\infty} u_k(y)sin(\frac{k \pi x}{L}) </math>.<ref>{{Bokref|efternamn=Sparr|förnamn=Annika, Gunnar|titel=Kontinuerliga System|hämtdatum=|år=|sid=}}</ref> Vid insättning av ansatsen i den ursprungliga differentialekvationen kan <math> u_k(y)</math> bestämmas. Lösningen kan tvingas lyda under andra typer av villkor på andra delar av randen, till exempel [[Neumannvillkor]].
 ==Källor==