Multiperfekt tal

Inom matematiken är ett multiperfekt tal (även kallat plusperfekt tal) en generalisering av perfekta tal.

För ett givet naturligt tal k, så kallas ett tal n för ett k-perfekt tal om och endast om summan av alla positiva delare av n, sigmafunktionen, σ(n), är lika med kn; ett tal är således perfekt om och endast om det är 2-perfekt. Ett tal som är k-perfekt för ett k kallas för ett multiperfekt tal. I juli 2004 var k-perfekta tal kända för varje värde på k upp till 11.

Det går att bevisa att:

• För ett givet primtal p, om n är p-perfekt och p inte delar n så är pn (p + 1)-perfekt. Det innebär att ett heltal n är ett 3-perfekt tal delbart med 2 men inte med 4 om och endast om n/2 är ett udda perfekt tal, av vilka inga är kända.
• Om 3n är 4k-perfekt och 3 inte delar n så är det 3k-perfekt tal.

Minsta k-perfekta talen

Följande tabell ger en översikt av de minsta k-perfekta talen för k ≤ 8 (inklusive dess upptäckt): (talföljd A007539 i OEIS)

k	Minsta k-perfekta tal	Upptäckt
1	1	Forntiden
2	6	Forntiden
3	120	Forntiden
4	30240	René Descartes (cirka 1638)
5	14182439040	René Descartes (cirka 1638)
6	154345556085770649600	Robert Daniel Carmichael (1907)
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000	TE Mason (1911)
8	2,34111439263306338... *10^161	Paul Poulet (1929)

Till exempel är 120 3-perfekt eftersom delarsumman av 120 är:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120.

Egenskaper

• Antalet multiperfekta tal lägre än X är $o(X^{\epsilon })$ för alla positiva ε.

Specifika värden av k

Perfekta tal

Ett tal n med σ(n) = 2n är perfekt.

Triperfekta tal

Ett tal n med σ(n) = 3n är triperfekt. Ett udda triperfekt tal måste överstiga 10⁷⁰, ha minst 12 olika primtalsfaktorer, där den största överstiger 10⁵.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Multiply perfect number, 11 november 2013.

Bokkällor

• ”The Multiply Perfect Numbers Page”. Achim Flammenkamp. http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html. Läst 6 augusti 2013. 
• Laatsch, Richard (1986). ”Measuring the abundancy of integers”. Mathematics Magazine 59 (2): sid. 84–92. ISSN 0025-570X. 
• Kishore, Masao (1987). ”Odd triperfect numbers are divisible by twelve distinct prime factors”. J. Aust. Math. Soc. Ser. A 42: sid. 173-182. ISSN 0263-6115. 
• Merickel, James G. (1999). ”Problem 10617 (Divisors of sums of divisors)”. Am. Math. Monthly 106 (7): sid. 693. 
• Weiner, Paul A. (2000). ”The abundancy ratio, a measure of perfection”. Math. Mag. 73 (4): sid. 307–310. 
• Sorli, Ronald M. (2003). ”Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers”. http://hdl.handle.net/2100/275. 
• Ryan, Richard F. (2003). ”A simpler dense proof regarding the abundancy index”. Math. Mag. 76 (4): sid. 299–301. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd). Springer-Verlag. sid. B2. ISBN 978-0-387-20860-2 
• Broughan, Kevin A.; Zhou, Qizhi (2008). ”Odd multiperfect numbers of abundancy 4”. J. Number Theory 126 (6): sid. 1566–1575. doi:10.1016/j.jnt.2007.02.001. 
• Ward, Jeffrey (2008). ”Does ten have a friend?”. https://arxiv.org/abs/0806.1001. 
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, reds (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9 
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav, reds (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. sid. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7 

Externa länkar

• Multiperfekta tal (engelska)
• Primtalsordlista: Multiperfekt tal (engelska)