பெருக்கல் சராசரி

பெருக்கல் சராசரி(geometric mean) என்பது கணிதச் சராசரிகளில் ஒரு வகையாகும். பல எண்களை கொண்ட ஒரு தரவுத் தொகுதியின் பெருக்கல் சராசரி, அத்தொகுதிக்குரிய பண்புகளைக் கிட்டத்தட்ட சரியாகக் கொண்டுள்ள ஒரு மதிப்பாக அமையும். n எண்களின் பெருக்கல் சராசரி காண அந்த எண்கள் அனைத்தையும் பெருக்கி, அப்பெருக்குத்தொகையின் n -ஆம் படிமூலம் காண வேண்டும்.நேர்ம எண்களுக்கு மட்டுமே பெருக்கல் சராசரி காணலாம்.^[1] இச்சராசரி பெரும்பாலும் மக்கள் தொகை வளர்ச்சி, நிதி சேமிப்புத் திட்டங்களில் வட்டி வீதம் போன்ற கணக்கீடுகளில் பயன்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

2,8 -ஆகிய இரு எண்களின் பெருக்கல் சராசரி:

$G={\sqrt[{2}]{(2)(8)}},$

4, 1, 1/32 ஆகிய மூன்று எண்களின் பெருக்கல் சராசரி:

$G={\sqrt[{3}]{(4)(1)(1/32)}},$

$x_{1},\ldots ,x_{n}$ -ன் பெருக்கல் சராசரி:

G={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}},

மடக்கை காண

\ln G={\frac {1}{n}}{\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}.

இதிலிருந்து தரப்பட்ட எண்களின் பெருக்கல் சராசரியின் மடக்கையின் மதிப்பு அந்த எண்களின் மடக்கைகளின் கூட்டுச் சராசரிக்கு சமம் என அறியலாம்.

வாய்ப்பாடு

தரவுகள் கணம்: $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$

பெருக்கல் சராசரி காணும் வாய்ப்பாடு:

{\bigg (}\prod _{i=1}^{n}a_{i}{\bigg )}^{1/n}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.

பெருக்கல் சராசரியின் வடிவவியல் விளக்கம்

a , b என்ற இரு எண்களின் பெருக்கல் சராசரி, இந்த எண்களை பக்கங்களாகக் கொண்ட செவ்வகத்தின் பரப்புக்கு சமமான பரப்புள்ள சதுரத்தின் பக்கத்திற்குச் சமம்.

a, b, c என்ற மூன்று எண்களின் பெருக்கல் சராசரி, இந்த எண்களை பக்க அளவுகளாகக் கொண்ட கனசெவ்வகத்தின் கனஅளவுக்கு சமமான கனஅளவு கொண்ட கனசதுரத்தின் பக்க அளவிற்குச் சமம்.

கூட்டுச் சராசரி, இசைச் சராசரியுடனான தொடர்பு

கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி மற்றும் இசைச் சராசரி மூன்றும் பித்தாகரசின் சராசரிகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. குறைந்தது ஒரு சோடி சமமில்லாத நேர்ம எண்களைக் கொண்ட தரவுகளின் இம்மூன்று சராசரிகளில் இசைச் சராசரி குறைந்த மதிப்புடையதாகவும் பெருக்கல் சராசரி இடைப்பட்ட மதிப்புடனும் கூட்டுச் சராசரி அதிக மதிப்புடையதாகவும் அமையும்.

இசைச் சராசரி: $H$ ; பெருக்கல் சராசரி: $G$ ; கூட்டல் சராசரி: $A$ எனில்:

$H<G<A.$

குறிப்பு

↑ The geometric mean only applies to positive numbers in order to avoid taking the root of a negative product, which would result in imaginary numbers, and also to satisfy certain properties about means, which is explained later in the article. Note that the definition is unambiguous if one allows 0 (which yields a geometric mean of 0), but may be excluded, as one frequently wishes to take the logarithm of geometric means (to convert between multiplication and addition), and one cannot take the logarithm of 0.

வெளி இணைப்புகள்

[1] The geometric mean only applies to positive numbers in order to avoid taking the root of a negative product, which would result in imaginary numbers, and also to satisfy certain properties about means, which is explained later in the article. Note that the definition is unambiguous if one allows 0 (which yields a geometric mean of 0), but may be excluded, as one frequently wishes to take the logarithm of geometric means (to convert between multiplication and addition), and one cannot take the logarithm of 0.

[1]