A story of lambda-calculus and approximation
Une histoire de lambda-calcul et d’approximation
Résumé
Böhm trees are historically the first notion of lambda-calculus approximation, and were introduced in [Barendregt, 1977] for the Call-by-Name lambda-calculus. They enjoy an interesting link with the other notion of approximation that is the Taylor expansion from [Ehrhard and Regnier, 2003]: the normal form of the Taylor expansion of a lambda-term corresponds to the Taylor expansion of its Böhm tree.The theory of program approximation in the Call-by-Value lambda-calculus is far less developed. We present the first notion of Böhm tree in this context, using the Call-by-Value setting enhanced with permutation rules from [Carraro and Guerrieri, 2014]. We observe that the lambda-terms with the same Böhm tree are observationally equivalent and we provide a characterisation on a set of approximants for it to be the Böhm tree of some lambda-term. A refinement of those approximants allows to characterise solvability. The connection between our Böhm trees and the Taylor expansion is slightly different than for the Call-by-Name case: here the normal form of the Taylor expansion of a lambda-term corresponds with the normalised Taylor expansion of the Böhm tree of this term. In the second part of this work, we focus on the Call-by-Name case. We introduce a class of categorified graph models in a distributor-induced bicategorical semantics. Those models can be seen as a categorification of traditional relational models and they can similarly be presented as intersection type systems. We prove an approximation theorem for them: the interpretation of a lambda-term corresponds to the filtered colimit of the interpretations of its approximants i.e. the interpretation of its Böhm tree. Our models are actually proof-relevant: the interpretation does not contain only typings but whole type derivations. This additional information, compared to traditional models, allows to prove a commutation theorem: the normal form of the denotation of a lambda-term coincides with the denotation of its Böhm tree. From a derivation we can reconstruct a minimal approximant with the desired type in the same environment and we demonstrate that any derivation in the interpretation of a lambda-term M but not in the interpretation of another lambda-term N induces an approximant of M but not of N . From this, we deduce the characterisation of the theory of categorified graph models: this theory is B, two lambda-terms have isomorphic interpretations if and only if their Böhm trees are the same.
Les arbres de Böhm sont historiquement la première notion d'approximation pour le lambda-calcul, ils ont été introduit dans [Barendregt, 1977] pour le lambda-calcul en Appel-par-Nom. Ils jouissent d'un lien intéressant avec l'autre notion d'approximation qu'est l'expansion de Taylor ([Ehrhard and Regnier, 2003]) : la forme normale de l'expansion de Taylor d'un lambda-terme correspond à l'expansion de Taylor de son arbre de Böhm. La théorie de l'approximation des programmes est beaucoup moins développée pour le lambda -calcul en Appel-par-Valeur. Nous présentons la première notion d'arbre de Böhm dans ce contexte, en utilisant le lambda-calcul Appel-par-Valeur étendu par les règles de permutation de [Carraro and Guerrieri, 2014]. Nous constatons que les lambda-termes avec les mêmes arbres de Böhm sont équivalents observationnellement, et nous caractérisons les ensembles d'approximants qui correspondent aux arbres de Böhm de lambda-termes. Ensuite nous caractérisons la solvabilité en utilisant des approximants plus précis. La connexion entre nos arbres de Böhm et l'expansion de Taylor est légèrement différente du cas Appel-par-Nom : ici la forme normale de l'expansion de Taylor d'un lambda-terme correspond à une version normalisée de l'expansion de Taylor de l'arbre de Böhm de ce terme. Dans la seconde partie de ce travail, nous nous intéressons au lambda-calcul en Appel-par-Nom. Nous introduisons les modèles de graphe catégorifiés dans une sémantique bicatégorique basée sur les distributeurs. Ils peuvent être vus comme une catégorification des modèles relationnels traditionnels et pareillement ils peuvent être présentés comme des systèmes de type intersection. Dans ce cadre, nous prouvons un théorème d'approximation : l'interprétation d'un lambda-terme correspond à la colimite filtrée de l'interprétation de ses approximants i.e. à l'interprétation de son arbre de Böhm. Nos modèles sont sensibles aux preuves : l'interprétation ne contient pas seulement les typages mais les dérivations de type. De cette information supplémentaire, comparé aux modèles traditionnels, nous déduisons un théorème de commutation : la forme normale de la dénotation d'un lambda-terme coïncide avec la dénotation de son arbre de Böhm. D'une dérivation nous trouvons un approximant minimal avec les bon types et environnement et nous montrons qu'une dérivation dans l'interprétation d'un terme M mais pas dans celle d'un autre terme N induit un approximant de M qui n'approxime pas N. Nous en déduisons la caractérisation de la théorie de nos modèles : cette théorie est B, les interprétations de deux lambda-termes sont isomorphes si et seulement si ces termes ont le même arbre de Böhm.
Domaines
Informatique [cs]| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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