Перегляд вихідного коду сторінки Алгебра над кільцем

{{Алгебричні структури|algebra}}
'''Алгебра над кільцем'''&nbsp;— [[алгебрична структура]] з операціями [[додавання]] <math>+</math>, [[множення]] <math>\times</math> та [[множення на скаляр]] <math>\cdot</math>, така що: якщо ''R''&nbsp;— [[комутативне кільце]], тоді '''''R''-алгеброю''' (тобто, '''алгеброю над кільцем ''R'' ''') є [[модуль над кільцем|''R''-модуль]], що одночасно є [[кільце (алгебра)|кільцем]] в якому [[білінійне відображення|''R''-білінійне]] множення.

Формально <math>\ (A,+,\times,\cdot)</math>&nbsp;— є ''R''-алгеброю, якщо:
: <math>\ (A,+,\cdot)</math>&nbsp;— є [[модуль над кільцем|''R''-модулем]];
: <math>\ (A,+,\times)</math>&nbsp;— є [[кільце (алгебра)|кільцем]] (в деяких авторів [[асоціативність]] не вимагається);
: <math>r \cdot (x \times y) = (r \cdot x) \times y = x \times (r \cdot y) \qquad \forall \; r \in R; \;\; x, y \in A.</math>

Пов'язані визначення:
* Якщо ''A'' є комутативним кільцем, тоді воно називається '''комутативною ''R''-алгеброю'''.
* Якщо ''R'' є [[поле (алгебра)|полем]], тоді ''A'' називається '''[[алгебра над полем|алгеброю над полем]]'''.
* [[Алгебра з діленням]]&nbsp;— алгебра в якій можливе [[ділення]]. В такій алгебрі не існує [[дільники нуля|дільників нуля]].
* [[Нормована алгебра]]&nbsp;— це алгебра над полем з [[норма (математика)|нормою]] ||·||, що задовільняє умову: <math>\|xy\| = \|x\| \|y\| \quad \forall  x,y \in A.</math>

== Алгебра над полем ==
{{Main|Алгебра над полем}}
Алгебра над полем за визначенням є [[векторний простір|векторним простором]] над <math>R</math>, тобто має [[Базис (математика)|базис]].
Це дає можливість будувати алгебри над полем по базису, для цього достатньо задати таблицю множення базисних елементів. Такий підхід зручний для скінченновимірних алгебр.

== Приклади ==
* Алгебри над кільцем:
** довільне кільце можна розглядати як <math>\Z</math>—алгебру, оскільки множення на [[ціле число]] можна звести до додавання та віднімання,
** алгебри [[квадратна матриця|квадратних матриць]],
** алгебри [[многочлен]]ів
* Алгебри над полем [[дійсні числа|дійсних чисел]]:
** [[Комплексні числа]]
** [[Подвійні числа]]
** [[Дуальні числа]]
** [[Кватерніони]]
** [[Октоніони]]&nbsp;— не асоціативна алгебра.

== Див. також ==
* [[Алгебра над полем]]
* [[Алгебраїчна алгебра]]
* [[Комутативна алгебра]]

== Джерела ==
* {{Вінберг.Курс алгебри}}

[[Категорія:Алгебри| ]]
[[Категорія:Теорія кілець]]