Перегляд вихідного коду сторінки Двійкове дерево

[[Файл:Binary tree (oriented digraph).png|right|192|thumb|Двійкове дерево]]
У [[програмування|програмуванні]] '''двійкове дерево'''&nbsp;— [[структура даних]] у вигляді [[дерево (структура даних)|дерева]], в якому кожна вершина має не більше двох дітей. Зазвичай такі діти називаються правим та лівим. На базі двійкових дерев будуються такі структури, як [[бінарне дерево пошуку|двійкові дерева пошуку]] та [[бінарна купа|двійкові купи]].

== Різновиди двійкових дерев ==

* '''Двійкове дерево'''&nbsp;— таке кореневе дерево, в якому кожна вершина має не більше двох дітей.

* '''Повне (закінчене) двійкове дерево'''&nbsp;— таке двійкове дерево, в якому кожна вершина має нуль або двох дітей.

* '''Ідеальне двійкове дерево'''&nbsp;— це таке повне двійкове дерево, в якому листя (вершини без дітей) лежать на однаковій глибині (відстані від кореня).

Двійкове дерево на кожному ''n''-му рівні має від 1 до 2<sup>n</sup> вершин.

== Обхід двійкового дерева ==
{{main|Обхід дерева}}

Часто виникає необхідність обійти усі вершини дерева для аналізу інформації, що в них знаходиться. Існують декілька порядків такого обходу, кожний з яких має певні властивості, важливі в тих чи інших алгоритмах: '''прямий''' (preorder), '''центрований''' (inorder) та '''зворотний''' (postorder).

== Втілення двійкових дерев ==
[[Файл:Tree_pointers.png|thumb|right|Реалізація двійкового дерева. Кожна вершина містить вказівники на праву та ліву дитину (left та right)]]
Залежно від задач, які вирішуються цими структурами та можливостей тої чи іншої [[мова програмування|мови програмування]], існує декілька варіантів конструювання двійкових дерев.
 
Реалізація з використанням [[вказівник]]ів передбачає зберігання в кожній вершині дерева x, разом із даними власне цієї вершини, також двох полів&nbsp;— правого та лівого (right[x] та left[x]), які містять вказівники на відповідних дітей цієї вершини.

[[Файл:Binary_tree_parent_pointers.svg|thumb|right|Змінена реалізація двійкового дерева. Кожна вершина містить також вказівник на батьківську вершину]]
Також іноді додається вказівник p[x] на батьківську вершину. Це спрощує деякі алгоритми та виявляється корисним, коли необхідно забезпечити швидкий доступ до батьківської вершини. Іноді достатньо тільки вказівника на батьківську вершину. Взагалі будь-яке орієнтоване дерево можна описати, знаючи тільки зв'язки від дітей до батьківської вершини.

Деякі різновиди двійкових дерев (наприклад, [[червоно-чорне дерево|червоно-чорні дерева]] або [[AVL-дерево|AVL-дерева]]), вимагають збереження в вершинах і деякої додаткової інформації. Якщо у вершини відсутня одна чи обидві дитини, відповідні вказівники ініціалізуються спеціальними «пустими» значеннями.
[[Файл:Binary tree in array.svg|left|thumb|Двійкове дерево на базі масиву]]

Двійкові дерева також можуть бути побудовані на базі [[Масив (структура даних)|масивів]]. Такий метод набагато ефективніший щодо економії пам'яті. В такому представленні, якщо вершина має порядковий номер i, то її діти знаходяться за індексами 2i+1 та 2i+2, а батьківська вершина за індексом
((i-1)/2) (за умов, що коренева вершина має індекс 0).

Інший варіант зберігання дерева в масиві&nbsp;— зберігати індекси дітей.

== Представлення n-арних дерев як двійкових ==
Існує єдине та взаємооднозначне відображення довільного впорядкованого дерева в двійкове.
<center>
[[Файл:Nary_to_binary_tree_conversion.png|Приклад трансформації n-арного дерева в двійкове]]
</center>
Для цього слід послідовно зв'язати усіх дітей кожної сім'ї з першою дитиною та видалити усі вертикальні з'єднання за виключенням з'єднання батька з першою дитиною в сім'ї. Тобто кожна вершина ''N'' впорядкованого n-арного дерева відповідає вершині ''M'' деякого двійкового дерева. Ліва дитина вершини ''M'' відповідає першій дитині вершини ''N'', а права дитина ''M'' відповідає першому з наступних братів ''N'' (тобто першому з наступних дітей батька вершини ''N'').

Така відповідність має назву '''природної відповідності''' між n-арним та двійковим деревом.

== Література ==
* {{TAOCP.v1}}
* {{CLRS|chapter=12. Двійкові дерева пошуку}}
* {{Cite web|url=https://towardsdatascience.com/5-types-of-binary-tree-with-cool-illustrations-9b335c430254|title=Different Types of Binary Tree with colourful illustrations|last=Parmar|first=Anand K.|date=2020-01-22 |website=Medium|language=en|access-date=2020-01-24}}

== Посилання ==
* {{cite web |url=http://www.clear.rice.edu/comp212/03-spring/lectures/22/|title=Binary Tree Structure| author=Dung X. Nguyen|year=2003|publisher=rice.edu|access-date=28 грудня 2010}}
* [http://www.findstat.org/BinaryTrees Binary trees] entry in the [http://www.findstat.org/ FindStat] database
* [http://www.brpreiss.com/books/opus4/html/page355.html Binary Tree Proof by Induction]
* [http://piergiu.wordpress.com/2010/02/21/balanced-binary-search-tree-on-array/ Balanced binary search tree on array How to create bottom-up an Ahnentafel list, or a balanced binary search tree on array]
* [http://www.cpphub.com/search/label/Binary%20trees Binary trees and Implementation of the same with working code examples]
* [https://lufemas.github.io/binary-tree-jr/ Binary Tree JavaScript Implementation with source code]

{{Datastructure-stub}}
{{ВП-портали|Програмування}}
{{Дерева (інформатика)}}
{{Структури даних}}

[[Категорія:Дерева (структури даних)]]