Перегляд вихідного коду сторінки Часткова похідна

{{Числення|expanded=Багатьох змінних}}
'''Часткова похідна''' (''частинна похідна'') [[Функція (математика)|функції]] кількох змінних&nbsp;— це [[похідна]] по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як [[константа|константи]]. Часткові похідні використовуються у [[векторне числення|векторному численні]] та [[Диференціальна геометрія|диференційній геометрії]].

Часткова похідна функції <math>f(x, y, \dots)</math> від змінної <math>x</math> може мати різні позначення:

: <math>f'_x, f_x, \partial_x f,\ D_xf, D_1f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ або } \frac{\partial f}{\partial x}.</math>

Іноді, для функції <math>z=f(x, y, \ldots),</math> часткові похідні <math>z</math> по <math>x</math> позначають як <math>\tfrac{\partial z}{\partial x}.</math> Оскільки часткова похідна взагалі має ті ж самі аргументи, що і початкова функція, то її функціональна залежність має явне позначення, таке як:

: <math>f_x(x, y, \ldots), \frac{\partial f}{\partial x} (x, y, \ldots).</math>

[[Символ частинної похідної|Символ]], яким позначають часткову похідну,&nbsp;— [[Символ частинної похідної|∂]]. Це заокруглена форма літери ''d'', що використовується для запису [[Повна похідна|повної похідної]]. Перше використання цього символу приписують [[Марі Жан Антуан Ніколя Кондорсе|Марі Кондорсе]]&nbsp;— він використав цей символ для позначення часткових похідних у 1770 році<ref name="FCH2">{{F.Cajori_HistoryOfMathNotations.v2.3ed}}</ref>. Сучасне позначення часткових похідних було запропоноване [[Лежандр Адрієн-Марі|Лежандром]] у 1786 році, хоча згодом він відмовився від нього. Повторно використання символу запровадив у своїх працях [[Карл Густав Якоб Якобі|Карл Якобі]] починаючи з 1841 року.
<ref name="jeff_earliest">{{cite web|url=http://jeff560.tripod.com/calculus.html|title=Earliest Uses of Symbols of Calculus|first=Jeff|last=Miller|date=2009-06-14|work=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols|accessdate=2009-02-20|archive-date=1 травня 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150501123549/http://jeff560.tripod.com/calculus.html}}</ref>

== Означення ==
{{multiple image
 | align     = right
 | direction = vertical
 | width     = 250

 | image1    = Partial func eg.svg
 | caption1  = Графік функції {{nowrap|''z'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup>}}. Для часткової похідної в {{nowrap|(1, 1)}} при якій ''y'' приймають як сталу, буде отримана відповідна [[дотична]] пряма, що є паралельною площині ''xz''.

 | image2    = X2+X+1.svg
 | caption2  = Розріз вищенаведеного графіку показує більш детально функцію в площині ''xz'' при {{nowrap|''y'' {{=}} 1}}. Зверніть увагу, що дві осі показані із різним масштабом. Кутовий коефіцієнт дотичної лінії дорівнює 3.
}}
Нехай ''f''&nbsp;— функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,
: <math>f(x,y) = x^2 + xy + y^2.</math>
Тут ''f'' можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:
: <math>f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.</math>
Іншими словами, при виборі нового значення ''x'' утворюється нова функція ''f<sub>x</sub>'', котра є функцією від одного дійсного аргументу. Тобто,
: <math>x \mapsto f_x,</math>
: <math>f_x(y) = x^2 + xy + y^2.</math>
Припустимо, що значення ''x'' вибрано, покладемо його ''a'', тоді ''f(x, y)'' визначає функцію ''f<sub>a</sub>'', залежну тільки від ''y'': ''a''² + ay + ''y''²:
: <math>f_a(y) = a^2 + ay + y^2.</math>
В цьому виразі, ''a''&nbsp;— ''константа'', а не ''змінна'', отже ''f<sub>a</sub>''&nbsp;— функція від одного дійсного аргументу&nbsp;— ''y''. Відповідно до означення похідної функції одного аргументу:
: <math>f_a'(y) = a + 2y.</math>
Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору ''a''. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції ''f'' по змінній ''y'':
: <math>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x + 2y.</math>
Тут використовується символ ∂, котрий називають '''символом часткової похідної'''.

В загальному випадку, '''часткову похідну''' функції ''f(x<sub>1</sub>,…,x<sub>n</sub>)'' за змінною ''x<sub>i</sub>'' в точці (''a<sub>1</sub>'',…,''a<sub>n</sub>'') записують так:
: <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{h}.</math>
У цьому різницевому відношенні усі змінні, крім ''x<sub>i</sub>'', зафіксовані.
Іншими словами, різний вибір індексу ''a'' приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок [[Числова функція|скалярної функції]] ''f''(''x''<sub>1</sub>,…''x''<sub>''n''</sub>) в [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] '''R'''<sup>''n''</sup> (наприклад, '''R'''² або '''R'''³). В цьому випадку ''f'' має часткову похідну ∂''f''/∂''x''<sub>''j''</sub> по кожній змінній ''x''<sub>''j''</sub>. У точці ''a'' ці часткові похідні визначають вектор
: <math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).</math>
Цей вектор називають '''[[градієнт]]ом''' ''f'' в точці ''a''. Якщо ''f'' диференційовна в кожній точці певної області, то градієнт&nbsp;— векторна функція ∇''f'', котра в точці ''a'' перетворюється у вектор ∇''f(a)''. Відповідно градієнт визначений у [[Векторне поле|векторному полі]].

== Приклади ==
Рівняння, що містять часткові похідні, називають '''рівняннями в часткових похідних''', і вони часто використовуються у [[Фізика|фізиці]], [[Інженерія|інженерії]] та інших [[наука]]х і прикладних дисциплінах.

=== Геометрія ===
[[Файл:Cone 3d.png|thumb|Об'єм конуса залежить від [[висота|висоти]] та [[радіус]]у.]]
[[Об'єм]] [[конус]]а ''V'' залежить від [[висота|висоти]] ''h'' та [[радіус]]у ''r'' за формулою
: <math>V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}.</math>

Часткова похідна об'єму ''V'' за радіусом ''r'' буде
: <math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3}.</math>
Вона описує, як змінюється об'єм конуса від зміни радіуса при сталій висоті.

Часткова похідна за висотою ''h''
: <math>\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3}</math>
показує, як змінюється об'єм конуса при зміні висоти, коли радіус є сталим.

Тепер для порівняння знайдемо [[Повна похідна|повні похідні]] ''V'' за змінними ''r'' та ''h''. Вони, відповідно, мають вигляд
: <math>\frac{dV}{dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{dh}{dr}</math>
та
: <math>\frac{dV}{dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{\partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{dr}{dh}</math>

Бачимо, що різниця між повною та частковою похідними полягає у виключенні непрямих залежностей між змінними в останній.

Тепер припустимо, що з певних причин пропорції конуса мають залишитись сталими, і відношення між висотою та радіусом буде сталим числом ''k'':
: <math>k = \frac{h}{r} = \frac{dh}{dr}.</math>

Це дає повну похідну:
: <math>\frac{dV}{dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + \frac{\pi r^2}{3}k</math>

яка спрощується до:
: <math>\frac{dV}{dr} = k \pi r^2.</math>

Аналогічно, повна похідна по ''h'' буде:
: <math>\frac{dV}{dh} = \pi r^2.</math>

Повна похідна відносно ''обох'' змінних ''r'' та ''h'' від об'єму, як від скалярної функції цих двох змінних, задається вектором [[градієнт]]а

: <math>\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}\right) = \left(\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2\right)</math>.

=== Термодинаміка і математична фізика ===
Часткові похідні застосовуються в рівняннях [[Термодинаміка|термодинаміки]], таких як {{нп|рівняння Гіббса-Дюгема||en|Gibbs-Duhem equation}}, а також в інших рівняннях [[Математична фізика|математичної фізики]].

=== Масштабування зображення ===

Часткові похідні є одним із ключовим елементів в алгоритмах масштабування зображень до бажаного розміру. Широко відомий алгоритм, який називається {{lang-en|seam carving}}, потребує аби кожному [[піксель|пікселю]] зображення було приписане деяке числове значення 'енергії', яке описує їх відмінність від ортогонально суміжних пікселів. [[Алгоритм]] поступово убирає рядки або стовпці з найменшою енергією. Формула, що обирається для визначення енергії пікселя (величина [[градієнт]]а в пікселі) здебільшого використовує для побудови часткові похідні.

== Нотація ==
Нехай надалі ''f''&nbsp;— функція, залежна від ''x'', ''y'' та ''z''.

Часткові похідні першого порядку мають вигляд:

: <math>\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f.</math>

Часткові похідні другого порядку:

: <math>\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f.</math>

[[Мішана похідна|Мішані похідні]] другого порядку:

: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = f_{xy} = \partial_{xy} f.</math>

Часткові та мішані похідні вищих порядків:

: <math>\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}.</math>

Коли йдеться про функції багатьох змінних, варто звернути увагу на те, що деякі з них можуть залежати від інших, і може виникнути потреба в уточненні змінних, котрі є сталими. У таких дисциплінах, як [[статистична механіка]], часткова похідна функції ''f'' за змінною ''x'', при зафіксованих ''y'' та ''z'', часто записується так:

: <math>\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}.</math>

== Формальне означення та властивості ==
Як і звичайні [[похідна|похідні]], часткова похідна позначається як [[границя]]. Нехай ''U''&nbsp;— відкрита [[підмножина]] функції '''R'''<sup>''n''</sup> та ''f'': ''U'' → ''R''. Частковою похідною функції ''f'' в точці ''a'' = (''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub>) ∈ ''U'' за ''i''-ю змінною ''x''<sub>''i''</sub> є

: <math>\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{ 
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - 
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }
</math>

Навіть якщо всі часткові похідні ∂''f''/∂''x''<sub>''i''</sub>(''a'') в точці ''a'' існують, функція не обов'язково є в ній [[Неперервна функція|неперервною]]. Та якщо всі часткові похідні існують в [[окіл|околі]] точки ''a'' і є в ньому неперервними, то ''f'' є [[Диференційовна функція|диференційовною]] в цьому околі і повна похідна є неперервною. В такому разі кажуть, що ''f'' належить простору функцій C<sup>1</sup>. Цей факт можна використати для узагальнення в простір векторних функцій (''f'' : ''U'' → ''R''<sup>''m''</sup>), по компонентам вибираючи [[аргумент]].

Часткову похідну <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> можна розглядати як іншу функцію на області ''U'' і частково диференціювати ще раз. Якщо всі мішані часткові похідні другого порядку неперервні в точці (чи проміжку), кажуть, що ''f'' в точці (або на проміжку) належить простору функцій C<sup>2</sup>; за таких умов часткова похідна може бути замінена за теоремою Клеро:

: <math>\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.</math>

== Див. також ==
* [[Мішана похідна]]
* [[Теорема Клеро — Шварца]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}

[[Категорія:Диференціальні рівняння]]
[[Категорія:Диференціальні оператори]]