Метод Гальоркіна

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Метод Гальоркіна — чисельний метод розв'язання диференціальних рівнянь з граничними умовами. Диференціальні рівняння з граничними умовами у математичній фізиці називаються задачею математичної фізики.

Загальне формулювання

Нехай є диференціальне рівняння з деякими крайовими умовами (першого роду)

${\hat {A}}[u(x)]=f(x)$,$a\leq x\leq b$, (1)

$u(a)=\alpha$,$u(b)=\beta$.

Наближений розв'язок шукаємо у вигляді наступної суми

$u(x)\approx y_{n}(x)=\phi _{0}(x)+\sum _{k=1}^{n}\phi _{k}(x)*\alpha _{k}$, (2)

де

$\phi _{0}(x)$ — деяка неперервна функція, що задовільняє крайові умови (1),

$\phi _{k}(x)$, $1\leq k<\infty$, якась система лінійно незалежних функцій, повна в класі неперервних функцій, що визначені на відрізку [a,b] і набувають нульових значень на його кінцях.

Якщо для функції $u(x)$ вираз ${\hat {A}}[u(x)]-f(x)$ є ортогональним до $\phi _{k}(x)$ при $k\geq 1$, то $u(x)$ — розв'язок задачі (1).

Якщо ортогональність є тільки при $1\leq k\leq n$, то

${\hat {A}}[u(x)]\approx f(x)$.

Замість $u(x)$ будемо брати наближений розв'язок у формі (2) і будемо вимагати, щоб

$\int _{a}^{b}[{\hat {A}}[y_{n}(x)]-f(x)]\phi _{k}(x)\,dx=0,1\leq k\leq n.$

Застосування до квантової механіки

Нехай є диференціальне рівняння на функцію u(x)-

${\hat {H}}[u(x)]=Eu(x)$

де H - оператор.

Саму функцію $u(x)$ представляють у вигляді суми -

$u(x)=\phi _{0}(x)+\sum _{i=1}^{N}\phi _{i}(x)\alpha _{i}$.

Метод дає нам саме коефіцієнти $\alpha _{i}$.

Розглянемо функції $\phi _{i}(x)$ на [0,∞).

$\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*\phi _{i}(x)\,dx=b_{j,i}$

Домножимо рівняння $H[u(x)]=Eu(x)$ на $\phi _{j}(x)$ і проінтегруємо, маємо -

$\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[u(x)]\,dx=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*E*u(x)\,dx$

$\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[\phi _{i}(x)]\,dx=\sum _{i=1}^{N}b_{j,i}*E\alpha _{i}$.

Введемо наступне позначення -

$\phi _{j,i}=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[\phi _{i}(x)]\,dx$.

Маємо систему лінійних рівнянь -

$\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}[\phi _{j,i}-E*b_{j,i}]=0$.

Яка розв'язується за умови -

$\det[\phi _{j,i}-E*b_{j,i}]=0,j=1,N$.

Посилання

• MathWorld: Galerkin Method
• Метод Галеркіна
• Н.Н.Каліткін "Численные методы" стор. 273