Опукла геометрія
Опукла геометрія — частина геометрії, яка вивчає опуклі множини, здебільшого, у евклідовому просторі. Опуклі множини виникають природним чином в багатьох областях, у тому числі в обчислювальній геометрії, опуклому аналізі, комбінаторній геометрії, функціональному аналізі, геометрії чисел, інтегральній геометрії[en], лінійному програмуванні, теорії ймовірностей.
Опукла геометрія відносно молода дисципліна. Хоча перший відомий внесок в опуклу геометрію був зроблений ще у античні часи і його можна знайти у працях Евкліда і Архімеда, але самостійним розділом математики дисципліна стала в кінці XIX століття, у основному завдяки роботам Германа Брунна[de] і Германа Мінковського для просторів вимірностей два і три. Значна частина їх результатів була незабаром узагальнена на простори більшої вимірності.
Важливість опуклої геометрії для прикладних задач проявилася в середині XX століття, коли розвиток опуклої оптимізації (опуклого програмування) потребував фактів, які стосуються опуклих тіл. Справа в тому, що ряд класичних нерівностей та оцінок, отриманих на початку XX століття для довільних опуклих тіл, не дуже залежать (або не залежать зовсім) від вимірності простору, це дозволило уникнути «прокляття розмірності» — традиційної проблеми у прикладній математиці, коли складність задачі катастрофічно зростає із збільшенням числа змінних[1].
Перший загальний огляд опуклої геометрії в евклідовому просторі був опублікований у 1934 році Томмі Боннезеном[de] і Вернером Фенхелем[de][2]. У 1993 році під редакцією Грубера[ru] і Вільса[de] вийшов двотомний «Довідник з опуклої геометрії», що включає результати, отримані в XX столітті[3].
Згідно математичної предметної класифікації[4] математична дисципліна «опукла і дискретна геометрія» включає три основних гілки[5]:
- Загальна опуклість,
- Багатогранники,
- Дискретна геометрія.
«Загальна опуклість» потім поділяється на:[6]
- Аксіоматична і узагальнена опуклість
- Опуклі множини без обмеження на розмірність
- Опуклі множини в топологічних векторних просторах
- Опуклі множини в двовимірних просторах (включаючи опуклі криві)
- Опуклі множини в тривимірних просторах (включаючи опуклі поверхні)
- Опуклі множини в n — мірних просторах (включаючи опуклі гіперповерхні)
- Банахови простору кінцевої розмірності
- Випадкові опуклі множини та інтегральна геометрія
- Асимптотична теорія опуклих тіл
- Апроксимація опуклими множинами
- Варіанти опуклих множин (зіркоподібні, (m, n) — опуклі, і так далі)
- Теореми, подібні теоремі Хеллі і геометрична теорія трансверсалей
- Інші проблеми комбінаторної опуклості
- Довжина, площа, об'єм
- Змішаний об'єм і пов'язані поняття
- Нерівності та екстремальні задачи
- Опуклі функції і опукле програмування
- Сферична і гіперболічна опуклість
Термін «опукла геометрія» використовується також в комбінаториці як назва однієї з абстрактних моделей опуклих множин, одна з яких еквівалентна антиматроїдам.
- ↑ В. Ю. Протасов, Опукла геометрія: від робіт Мінковського до сучасних завдань оптимізації. Літня школа «Сучасна математика», Дубна, 2011. [1]
- ↑ Боннезо, Фенхель, 2002.
- ↑ Грубер, Вільс, 1993.
- ↑ Сайт математичної предметної класифікації MSC2010. Архів оригіналу за 2 квітня 2015. Процитовано 13 квітня 2015.
- ↑ Математична предметна класифікація MSC2010, розділ 52"Convex and discrete geometry". Архів оригіналу за 2 квітня 2015. Процитовано 13 квітня 2015.
- ↑ Mathematics Subject Classification MSC2010, entry 52A «General convexity». Архів оригіналу за 2 квітня 2015. Процитовано 7 червня 2015.
- K. Ball. An elementary introduction to modern convex geometry. — Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1997. — Т. 31. — С. 1-58. — (Flavors of Geometry, MSRI Publications)
- M. Berger. Convexity. — Amer. Math. Monthly, 1990. — Т. 97. — С. 650-678.
- P. M. Gruber. Aspects of convexity and its applications. — Exposition. Math, 1984. — Т. 2. — С. 47-83.
- V. Klee. What is a convex set?. — Amer. Math. Monthly, 1971. — Т. 78. — С. 616-631.
- Боннезен Т., Фенхель В. Теорія опуклих тіл = Theory of convex bodies, 1987. — М. : Фазис, 2002. — (Бібліотека студента-математика) — ISBN 5-7036-0075-8.
- R. J. Gardner. Geometric tomography. — 2. — New York : Cambridge University Press, 2006.
- P. M. Gruber. Convex and discrete geometry. — New York : Springer-Verlag, 2007.
- Handbook of convex geometry / P. M. Gruber, J. M. Wills. — Amsterdam : North-Holland, 1993. — Т. A, B.
- G. Pisier. The volume of convex bodies and Banach space geometry. — Cambridge : Cambridge University Press, 1989.
- R. Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. — Cambridge : Cambridge University Press, 1993.
- A. C. Thompson. Minkowski geometry. — Cambridge : Cambridge University Press, 1996.
- A. Koldobsky, V. Yaskin. The Interface between Convex Geometry and Harmonic Analysis. — Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, 2008.
- W. Fenchel. Convexity through the ages // Dansk. Mat. Forening. — Copenhagen, 1973. — С. 103-116 Danish Mathematical Society (1929-1973). Переклад на англійську: Convexity through the ages, in: P. M. Gruber, JM Wills (editors), Convexity and its Applications, pp. 120–130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.
- P. M. Gruber. Ein Jahrhundert Mathematik 1890-1990 / G. Fischer, et al. — Freiburg : F. Wieweg and Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, 1990. — Т. 6,. — С. 421-455. — (Dokumente Gesch. Math.)
- P. M. Gruber. Handbook of convex geometry / P. M. Gruber, J. M. Wills. — Amsterdam : North-Holland, 1993. — Т. A. — С. 1-15.