Тетраедр Ґурси
У геометрії тетра́едр Ґурси́ — тетраедрична фундаментальна область побудови Вітгоффа. Кожна грань тетраедра представляє гіперплощину відображення на 3-вимірних поверхнях: 3-сфери, евклідового 3-вимірного простору і гіперболічного 3-вимірного простору. Коксетер назвав їх на честь Едуара Ґурси, який першим розглянув ці області. Це розширення теорії трикутників Шварца для побудов Вітгоффа на сфері.
Тетраедр Ґурси можна подати графічно тетраедричним графом, який є двоїстою конфігурацією тетраедра фундаментальної області. На графі кожен вузол представляє грань (дзеркало) тетраедра Ґурси. Кожне ребро позначено раціональним значенням, яке відповідає порядку відбиття, тобто, рівне π/двогранний кут.
4-вузлова діаграма Коксетера — Динкіна представляє цей тетраедричний граф із прихованими ребрами порядку 2. Якщо багато ребер мають порядок 2, групу Коксетера можна подати дужковою нотацією[en].
Існування вимагає, щоб кожен із 3-вузлових підграфів цього графа (pqr), (pus), (qtu) і (rst) відповідав трикутнику Шварца.
 </img>
|
|
| Симетрія тетраедра Ґурси може бути тетраедричною симетрією будь-якої підгрупи симетрії, показаної в цьому дереві, з підгрупами нижче з індексами підгруп, позначеними на кольорових ребрах. | |
Розширена симетрія тетраедра Ґурси є напівпрямим добутком симетрії групи Коксетера та симетрії фундаментальної області (тетраедр Ґурси в цих випадках). Нотація Коксетера[en] підтримує цю симетрію, оскільки подвійні дужки, такі як [Y[X]], означають повну симетрію групи Коксетера [X], де Y є симетрією тетраедра Ґурси. Якщо Y — чиста відбивна симетрія, група представлятиме іншу групу дзеркал Коксетера. Якщо існує лише одна проста симетрія подвоєння, Y може бути неявним, як [[X]] із відбивною або обертовою симетрією, залежно від контексту.
Нижче також наведено розширену симетрію кожного тетраедра Ґурси. Найвища можлива симетрія — це симетрія правильного тетраедра [3,3], і вона виникає в призматичній точковій групі [2,2,2] або [2[3,3]] і паракомпактній гіперболічній групі [3[3,3]].
У наступних розділах показано всі розв'язки тетраедра Ґурси в цілих числах на 3-сфері, в евклідовому 3-просторі та гіперболічному 3-просторі. Також наведено розширену симетрію кожного тетраедра.
Кольорові тетраедальні діаграми, наведені нижче, являють собою вершинні фігури для всезрізаних[en] многогранників і стільників із кожного виду симетрії. Позначки ребер представляють порядок полігональних граней, що дорівнює подвоєному порядку розгалуження графа Коксетера. Двогранний кут ребра, позначеного 2n, дорівнює π/n. Жовті ребра, позначені цифрою 4, походять від дзеркальних вузлів під прямим кутом (не з'єднаних) на діаграмі Коксетера.
Розв'язки для 3-сфери з густиною 1 такі (Однорідні 4-політопи[en]):
| Група Коксетера та діаграма |
[2,2,2] 
|
[p,2,2]
|
[p,2,q]
|
[p,2,p]
|
[3,3,2]
|
[4,3,2]
|
[5,3,2]
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Порядок групи симетрії | 16 | 8p | 4pq | 4p2 | 48 | 96 | 240 |
| Симетрія тетраедра | [3,3] (порядок 24) 
|
[2] (порядок 4) 
|
[2] (порядок 4)
|
[2+,4] (порядок 8) 
|
[ ] (порядок 2) 
|
[ ]+ (порядок 1) 
|
[ ]+ (порядок 1)
|
| Розширені симетрії | [(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3]
|
[2[p,2,2]] =[2p,2,4] 
|
[2[p,2,q]] =[2p,2,2q]
|
[(2+,4)[p,2,p]] =[2+[2p,2,2p]]
|
[1[3,3,2]] =[4,3,2]
|
[4,3,2]
|
[5,3,2]
|
| Порядок розширених симетрій | 384 | 32p | 16pq | 32p2 | 96 | 96 | 240 |
| Тип графа | Лінійний | Трилистий | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Група Коксетера і діаграма | Пентахорний [3,3,3][en]
|
Гексадекахорний [4,3,3][en]
|
Ікоситетрахорний [3,4,3][en]
|
Гексакосихорний [5,3,3][en]
|
Демітесерактний [31,1,1][en]  
|
| Вершинна фігура всезрізаних однорідних многогранників | |||||
| Тетраедр | 
|
|
|
|
|
| Порядок групи симетрії | 120 | 384 | 1152 | 14400 | 192 |
| Симетрія тетраедра | [2]+ (порядок 2) 
|
[ ]+ (порядок 1)
|
[2]+ (порядок 2)
|
[ ]+ (порядок 1)
|
[3] (порядок 6) 
|
| Розширена симетрія | [2+[3,3,3]]  
|
[4,3,3]
|
[2+[3,4,3]]
|
[5,3,3]
|
[4,3,3]
|
| Порядок розширених симетрій | 240 | 384 | 2304 | 14400 | 384 |
Розв'язки щільності 1: опуклий однорідний стільник[en]:
| Тип графа | Лінійний | Трилистий Плагіосхема |
Кільце Циклосхема |
Призматичний | Вироджений | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Група Коксетера Діаграма Коксетера |
[4,3,4][en]
|
[4,31,1][en]
|
[3[4]][en]
|
[4,4,2]
|
[6,3,2]
|
[3[3],2]
|
[∞,2,∞]
|
| Вершина фігура всезрізаних стільників | |||||||
| Тетраедр | 
|
|
|
||||
| Симетрія тетраедра | [2]+ (порядок 2)
|
[ ] (порядок 2)
|
[2+,4] (порядок 8)
|
[ ] (порядок 2)
|
[ ]+ (порядок 1)
|
[3] (порядок 6)
|
[2+,4] (порядок 8)
|
| Розширена симетрія | [(2+)[4,3,4]]  
|
[1[4,31,1]] =[4,3,4]
|
[(2+,4)[3[4]]] =[2+[4,3,4]]
|
[1[4,4,2]] =[4,4,2]
|
[6,3,2]
|
[3[3[3],2]] =[3,6,2]
|
[(2+,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]]
|
Розв'язки щільності 1: (Однорідні рівномірні стільники в гіперболічному просторі[en])
| Тип графа | Лінійний | Трилистий | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Група Коксетера Діаграма Коксетера |
[3,5,3]
|
[5,3,4]
|
[5,3,5]
|
[5,31,1]
|
|||
| Вершина фігура всезрізаних стільників | |||||||
| Тетраедр | 
|
|
|
|
|||
| Симетрія тетраедра | [2]+ (порядок 2)
|
[ ]+ (порядок 1)
|
[2]+ (порядок 2)
|
[ ] (порядок 2)
|
|||
| Розширена симетрія | [2+[3,5,3]]
|
[5,3,4]
|
[2+[5,3,5]]
|
[1[5,31,1]] =[5,3,4]
|
|||
| Тип графа | Кільце | ||||||
| Група Коксетера Діаграма Коксетера |
[(4,3,3,3)]
|
[(4,3)2]
|
[(5,3,3,3)]
|
[(5,3,4,3)]
|
[(5,3)2]
| ||
| Vertex figures of omnitruncated honeycombs | |||||||
| Тетраедр | 
|
|
|
|
| ||
| Симетрія тетраедра | [2]+ (порядок 2)
|
[2,2]+ (порядок 4) 
|
[2]+ (порядок 2)
|
[2]+ (порядок 2)
|
[2,2]+ (порядок 4)
| ||
| Розширена симетрія | [2+[(4,3,3,3)]]
|
[(2,2)+[(4,3)2]]
|
[2+[(5,3,3,3)]]
|
[2+[(5,3,4,3)]]
|
[(2,2)+[(5,3)2]]
| ||
Розв'язки щільності 1:
| Тип графа | Лінійні графи | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Група Коксетера і діаграма |
[6,3,3]
|
[3,6,3]
|
[6,3,4]
|
[6,3,5]
|
[6,3,6]
|
[4,4,3]
|
[4,4,4]
| |
| Симетрія тетраедра | [ ]+ (порядок 1)
|
[2]+ (порядок 2)
|
[ ]+ (порядок 1)
|
[ ]+ (порядок 1)
|
[2]+ (порядок 2)
|
[ ]+ (порядок 1)
|
[2]+ (порядок 2)
| |
| Розширена симетрія | [6,3,3]
|
[2+[3,6,3]]
|
[6,3,4]
|
[6,3,5]
|
[2+[6,3,6]]
|
[4,4,3]
|
[2+[4,4,4]]
| |
| Тип графа | Кільцеві графи | |||||||
| Група Коксетера і діаграма |
[3[ ]×[ ]]
|
[(4,4,3,3)]
|
[(43,3)]
|
[4[4]]
|
[(6,33)]
|
[(6,3,4,3)]
|
[(6,3,5,3)]
|
[(6,3)[2]]
|
| Симетрія тетраедра | [2] (порядок 4)
|
[ ] (порядок 2)
|
[2]+ (порядок 2)
|
[2+,4] (порядок 8)
|
[2]+ (порядок 2)
|
[2]+ (порядок 2)
|
[2]+ (порядок 2)
|
[2,2]+ (порядок 4)
|
| Розширена симетрія | [2[3[ ]×[ ]]] =[6,3,4]
|
[1[(4,4,3,3)]] =[3,41,1]  
|
[2+[(43,3)]]
|
[(2+,4)[4[4]]] =[2+[4,4,4]]
|
[2+[(6,33)]]
|
[2+[(6,3,4,3)]]
|
[2+[(6,3,5,3)]]
|
[(2,2)+[(6,3)[2]]]
|
| Тип графа | Трилистий | Кільце з хвостом | Симплексний | |||||
| Група Коксетера і діаграма |
[6,31,1]
|
[3,41,1]
|
[41,1,1]
|
[3,3[3]]
|
[4,3[3]]
|
[5,3[3]]
|
[6,3[3]]
|
[3[3,3]]
|
| Симетрія тетраедра | [ ] (порядок 2)
|
[ ] (порядок 2)
|
[3] (порядок 6)
|
[ ] (порядок 2)
|
[ ] (порядок 2)
|
[ ] (порядок 2)
|
[ ] (порядок 2)
|
[3,3] (порядок 24)
|
| Розширена симетрія | [1[6,31,1]] =[6,3,4]
|
[1[3,41,1]] =[3,4,4]
|
[3[41,1,1]] =[4,4,3]
|
[1[3,3[3]]] =[3,3,6]
|
[1[4,3[3]]] =[4,3,6]
|
[1[5,3[3]]] =[5,3,6]
|
[1[6,3[3]]] =[6,3,6]
|
[(3,3)[3[3,3]]] =[6,3,3]
|
Існують сотні раціональних розв'язків для 3-сфери, зокрема 6 лінійних графів, які генерують 4-політопи Шлефлі — Гесса, та 11 нелінійних від Коксетера:
Лінійні графи
|
Графи «кільце з хвостом»:
|
Загалом існує 59 спорадичних тетраедрів із раціональними кутами та 2 нескінченні сімейства.[1]
- Точкова група для n-симплексних розв'язків на (n-1)-сфері.
- ↑ https://arxiv.org/abs/2011.14232 Space vectors forming rational angles, Kiran S. Kedlaya, Alexander Kolpakov, Bjorn Poonen, Michael Rubinstein, 2020
- Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (page 280, Goursat's tetrahedra) [1]
- Norman Johnson The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966) He proved the enumeration of the Goursat tetrahedra by Coxeter is complete
- Goursat, Edouard, Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 6 (1889), (pp. 9–102, pp. 80–81 tetrahedra)
- Klitzing, Richard.Діаграми Динкіна тетраедра Ґурси
- Norman Johnson, Geometries and Transformations (2018), Chapters 11,12,13
- N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex, Transformation Groups 1999, Volume 4, Issue 4, pp 329—353 [2]