Ліпшицеве відображення

Ліпшицеве відображення — відображення $f\colon X\to Y$ між двома метричними просторами, застосування якого збільшує відстані не більше, ніж в деяку константу раз.

Визначення

Для будь-якої ліпшицевої функції, існує подвійний конус (показаний білим) чия вершина може пересуватись уздовж графіка, так що сам графік залишається повністю поза конусом.

Відображення $f$ метричного простору $(X,\;\rho _{X})$ у метричний простір $(Y,\;\rho _{Y})$ називається ліпшицевим, якщо знайдеться деяка константа $L$ (константа Ліпшиця цього відображення), така, що

$\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$

при будь-яких $x,\;y\in X$. Цю умову називають умовою Ліпшиця.

Відображення з $L=1$ (1-ліпшицеве ​​відображення) називають також коротким відображенням.

Пов'язані визначення

• Відображення, що задовольняє вищенаведеній умові, називається також $L$-ліпшицевим.
• Нижня грань чисел $L$, що задовольняють вищенаведену нерівність, називається константою Ліпшиця відображення $f$.
• Відображення називається локально ліпшицевим, якщо для довільної точки області визначення існує окіл в якому відображення є ліпшицевим.
• Відображення $f\colon X\to Y$ називається біліпшицевим, якщо у нього існує обернене $f^{-1}\colon Y\to X$ і обидва $f$ і $f^{-1}$ є ліпшицевими.
• Відображення $f\colon X\to Y$ називається коліпшицевим, якщо існує константа $L$, така, що для будь-яких $x\in X$ і $y\in Y$ знайдеться $x'\in f^{-1}(y)$ таке, що

  $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x').$

Властивості

• Будь-яке відображення Ліпшиця є абсолютно неперервним.
• Всюди диференційована функція $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ є ліпшицевою тоді і тільки тоді коли її похідна є обмеженою. Це випливає з теореми про середнє значення.
• Теорема Радемахера стверджує, що будь-яке ліпшицеве відображення, визначене на відкритій множині в евклідовому просторі, диференційовне на ньому майже всюди.

Варіації і узагальнення

• f(t,x) є Lip_x(Ω), якщо для будь-яких x₁, х₂, х_1≠х₂ ||f(t,x₁)-f(t,х₂)|| ≤ η||(x₁- х₂)|| існує η(t):R⁺→R⁺, η(t)→0 R⁺:[t₀,∞], η(t) є C[t₀,∞],

||f(t,x₁)-f(t,х₂)||< η(t)||x₁- х₂|| при n=1  ||…||→|…|   η(t)≤ L    для будь-яких t ≥ t₀

L=const Lipshits.

• Поняття ліпшицевої функції природним чином узагальнюється на функції з обмеженим модулем неперервності, оскільки умова Ліпшиця записується так:

$\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta .$

Див. також

• Коротке відображення

Посилання

• Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis [Архівовано 18 квітня 2007 у Wayback Machine.]