Zusammenfassung
Dieser Beitrag gibt einen Überblick über neue Beobachter-Entwurfsmethoden für eine Klasse von linearen, zeitvarianten Systemen. Der Entwurf beruht auf der Idee, nur instabile bzw. langsam abklingende Moden des beobachteten Systems in der Schätzfehlerdynamik zu modifizieren. Die dafür notwendigen theoretischen Grundlagen des sogenannten Lyapunov- und Dichotomie-Spektrums werden erläutert und mit Hilfe von Beispielen untermauert. Wichtige Eigenschaften der resultierenden Beobachter werden in Theorie und Simulation gezeigt.
Abstract
This article provides an overview of new observer design methods for a class of linear time varying systems. The design is based on the idea that only unstable or slowly decaying modes of the observed system are modified in the estimation error dynamics. The necessary theoretical foundations of the so-called Lyapunov and dichotomy spectrum are explained and supported by examples. The properties of the resulting observers are shown in theory and simulation.
Funding statement: Die Autoren bedanken sich für die finanzielle Unterstützung durch die Christian Doppler Forschungsgesellschaft, das österreichischen Bundesministeriums für Digitalisierung und Wirtschaftsstandort und die Nationalstiftung für Forschung, Technologie und Entwicklung.
Über die Autoren
Markus Tranninger ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik im Rahmen des Forschungsprojektes Verlässlichkeit im Internet der Dinge der Technischen Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: Zustandsschätzung, zeitvariante Systeme.
Richard Seeber ist wissenschaftlicher Mitarbeiter im Christian Doppler Labor für modellbasierte Regelung komplexer Prüfstandssysteme am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik, Technische Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: System- und Regelungstheorie; strukturvariable Systeme.
Martin Steinberger ist Assistenzprofessor am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik der Technischen Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: Entwurf und Analyse vernetzter Regelkreise, Robuste Regelung.
Martin Horn ist Vorstand des Institutes für Regelungs- und Automatisierungstechnik und Leiter des Christian Doppler Labors für modellbasierte Regelung komplexer Prüfstandssysteme, Technische Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: Strukturvariable Systeme; Regelung vernetzter Systeme.
Danksagung
Diese Arbeit entstand im Rahmen des Lead-Projektes Dependable Internet of Things in Adverse Environments der Technischen Universität Graz und des Christian Doppler Labors für modellbasierte Regelung komplexer Prüfstandssysteme.
Anhang A Beweis von Satz 1
Die Beziehung (25) wird im Beweis von [10, Theorem 8.4] gezeigt. Die Relation (26) wird nun für einen oberen Bohl-Exponenten
Zunächst wählt man ein beliebiges
für alle
für alle
und somit
Literatur
1. L. Y. Adrianova. Introduction to Linear Systems of Differential Equations. Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, 1995.10.1090/mmono/146Suche in Google Scholar
2. G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli and J.-M. Strelcyn. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: a method for computing all of them. Part 1: Theory and Part 2: Numerical Applications. Meccanica, 15(1): 9–20 and 21–30, March 1980.10.1007/BF02128236Suche in Google Scholar
3. D. Bestle and M. Zeitz. Canonical form observer design for non-linear time-variable systems. International Journal of Control, 38(2): 419–431, Aug. 1983.10.1080/00207178308933084Suche in Google Scholar
4. M. Bocquet, K. S. Gurumoorthy, A. Apte, A. Carrassi, C. Grudzien and C. K. R. T. Jones. Degenerate Kalman filter error covariances and their convergence onto the unstable subspace. SIAM/ASA Journal on Uncertainty Quantification, 5(1): 304–333, Jan. 2017.10.1137/16M1068712Suche in Google Scholar
5. R. S. Bucy. Global theory of the Riccati equation. Journal of Computer and System Sciences, 1(4): 349–361, Dez. 1967.10.1016/S0022-0000(67)80025-4Suche in Google Scholar
6. R. S. Bucy. The Riccati equation and its bounds. Journal of Computer and System Sciences, 6(4): 343–353, Aug. 1972.10.1016/S0022-0000(72)80026-6Suche in Google Scholar
7. W. A. Coppel. Dichotomies in Stability Theory. Springer Berlin Heidelberg, 1978.10.1007/BFb0067780Suche in Google Scholar
8. J. Daleckii and M. Krein. Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space. Translations of mathematical monographs. American Mathematical Society, 2002.10.1090/mmono/043Suche in Google Scholar
9. L. Dieci and C. Elia. SVD algorithms to approximate spectra of dynamical systems. Mathematics and Computers in Simulation, 79(4): 1235–1254, Dec. 2008.10.1016/j.matcom.2008.03.005Suche in Google Scholar
10. L. Dieci and E. S. Van Vleck. Lyapunov spectral intervals: Theory and computation. SIAM Journal on Numerical Analysis, 40(2): 516–542, 2003.10.1137/S0036142901392304Suche in Google Scholar
11. L. Dieci and E. S. Van Vleck. Lyapunov and Sacker–Sell spectral intervals. Journal of Dynamics and Differential Equations, 19(2): 265–293, June 2007.10.1007/s10884-006-9030-5Suche in Google Scholar
12. L. Dieci, R. D. Russell and E. S. Van Vleck. Unitary integrators and applications to continuous orthonormalization techniques. SIAM Journal on Numerical Analysis, 31(1): 261–281, 1994.10.1137/0731014Suche in Google Scholar
13. T. S. Doan, K. J. Palmer and M. Rasmussen. The Bohl spectrum for linear nonautonomous differential equations. Journal of Dynamics and Differential Equations, 29(4): 1459–1485, Apr. 2016.10.1007/s10884-016-9530-xSuche in Google Scholar PubMed PubMed Central
14. O. Föllinger. Entwurf zeitvarianter Systeme durch Polvorgabe. at – Automatisierungstechnik, 26(1-12), Jän. 1978.10.1524/auto.1978.26.112.189Suche in Google Scholar
15. J. Frank and S. Zhuk. A detectability criterion and data assimilation for nonlinear differential equations. Nonlinearity, 31(11): 5235–5257, Oct. 2018.10.1088/1361-6544/aaddcbSuche in Google Scholar
16. W. Hahn. Stability of Motion. Springer Berlin Heidelberg, 1967.10.1007/978-3-642-50085-5Suche in Google Scholar
17. D. Hinrichsen and A. J. Pritchard. Mathematical Systems Theory I. Springer Berlin Heidelberg, 2006.10.1007/b137541Suche in Google Scholar
18. R. E. Kalman and R. S. Bucy. New results in linear filtering and prediction theory. J of Basic Engineering, 83(1): 95, 1961.10.1115/1.3658902Suche in Google Scholar
19. A. M. Lyapunov. The general problem of the stability of motion. Tayor & Francis, London Washington, DC, 1992.10.1080/00207179208934253Suche in Google Scholar
20. O. Perron. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme. Mathematische Zeitschrift, 31(1): 748–766, Dez. 1930.10.1007/BF01246445Suche in Google Scholar
21. R. Ravi, A. Pascoal and P. Khargonekar. Normalized coprime factorizations for linear time-varying systems. Systems & Control Letters, 18(6): 455–465, June 1992.10.1016/0167-6911(92)90050-3Suche in Google Scholar
22. R. J. Sacker and G. R. Sell. A spectral theory for linear differential systems. Journal of Differential Equations, 27(3): 320–358, March 1978.10.1016/0022-0396(78)90057-8Suche in Google Scholar
23. S. Siegmund. Dichotomy spectrum for nonautonomous differential equations. Journal of Dynamics and Differential Equations, 14(1): 243–258, 2002.10.1023/A:1012919512399Suche in Google Scholar
24. E. Sontag. Mathematical control theory: deterministic finite dimensional systems. Springer, New York, 1998.10.1007/978-1-4612-0577-7Suche in Google Scholar
25. M. Tranninger, R. Seeber, M. Steinberger and M. Horn. Uniform detectability of linear time varying systems with exponential dichotomy. IEEE Control Systems Letters, 4(4): 809–814, Oct. 2020.10.1109/LCSYS.2020.2992818Suche in Google Scholar
26. M. Tranninger, R. Seeber, M. Steinberger and M. Horn. Efficient temperature profile estimation for silicon wafers based on subspace observers. In Proceedings of the 21st IFAC World Congress, July 2020.10.1016/j.ifacol.2020.12.1648Suche in Google Scholar
27. M. Tranninger, R. Seeber, S. Zhuk, M. Steinberger and M. Horn. Detectability analysis and observer design for linear time varying systems. IEEE Control Systems Letters, 4(2): 331–336, Apr. 2020.10.1109/LCSYS.2019.2927549Suche in Google Scholar
28. M. Valasek and N. Olgac. Efficient pole placement technique for linear time-variant SISO systems. IEE Proceedings – Control Theory and Applications, 142(5): 451–458, Sept. 1995.10.1049/ip-cta:19951959Suche in Google Scholar
29. B. Zhou. On asymptotic stability of linear time-varying systems. Automatica, 68: 266–276, June 2016.10.1016/j.automatica.2015.12.030Suche in Google Scholar
© 2021 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston
