K10+11+12

Trường THPT Đan Phượng Thầy Công Hoàng- ĐT: 0978.102.720
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 + 11+ 12
TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG NĂM HỌC 2015 – 2016.
Sưu tầm và biên soạn: Thầy Đoàn Công Hoàng
ĐỀ 1:
Câu 1 (4 điểm)
1. Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của
(C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M.
2. Tìm m để hàm số 2
9 9y x m x= + + có cực đại.
Câu 2 (4 điểm)
a. Giải phương trình 2012 2012
1005
1
sin x cos x
2
+ =
b. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
1
x x y y
x y xy
 + + = + −

+ − =
Câu 3 (4 điểm)
1. Chứng minh
9 3
tan sin ( 3 ), 0;
2 2 2
x x x x
π
π
 
+ ≥ + − ∀ ∈ ÷
 
. Từ đó suy ra trong mọi
tam giác nhọn ABC ta có
9 3
tan tan tan sin sin sin
2
A B C A B C+ + + + + ≥ .
2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2
4 4 16y x x x= + + − − − .
Câu 4 (6 điểm)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 3a
và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’,
C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.
b) M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho · 0
45MAN = .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN.
Câu 5 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2
1a b c+ + = . Chứng minh
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
5( )
3 3 3
a ab b bc c ca
a b c
a ab c b bc a c ca b
+ + + + + +
+ + ≥ + +
+ + + + + +
…………………
Hết………………….HD
ĐỀ 2
Bài 1. (4,0 điểm).
Cho hàm số
3 21
y = x x
2
− có đồ thị là (C).
Fb: HỌC TRÒ THẦY HOÀNG – ĐAN PHƯỢNG 1

Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
(C) tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số:
2
4
4x +3
g(x) =
x +1
.
Bài 2. (5,0 điểm).
Giải các phương trình sau trên tập số thực R:
1/ 2
cosx + 3(sin2x +sinx)-4cos2x.cosx -2cos x +2 0= .
2/ 4 3 2
x 2x + x 2(x x) = 0− − − .
Bài 3. (5,0 điểm).
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là một
số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a. Hình chiếu vuông góc H
của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C.
1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp
B.ACA’.
2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’
có thể tích lớn nhất.
3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng
cách giữa AB và A’C.
Bài 4. (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) và
đường thẳng ∆ : 2x – 3y + 12 = 0. Tìm điểm M∈∆sao cho: MA +MB+MC
uuuur uuuuruuuur
nhỏ nhất.
Bài 5(3 điểm).
Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng
(m+2010)!
m!2011!
là một
số nguyên.
---------------------- HẾT ----------------------DL
ĐỀ 3
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số
2x 1
y
x 1
−
=
+
có đồ thị (C) và điểm ( )P 2;5 .
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y x m= − + cắt đồ thị ( )C tại hai điểm
phân biệt A và B sao cho tam giác PAB đều.
Câu II: (6,0 điểm)
1. Giải phương trình ( )3
x 1 2 1
x
x 22x 1 3
+ −
= ∈
++ −
¡
2. Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
1 1
x y 5
x y x,y
xy 1 x y 2

+ + + =
∈
 − = − +
¡

Câu III: (6,0 điểm)
1. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách
giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng
a 3
4
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A'B'C'.
2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng ( )α đi qua
trung điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm (khác A ).
Gọi A B C Dh , h , h , h lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến mặt phẳng ( )α .
Chứng minh rằng:
2 2 2
2B C D
A
h h h
h
3
+ +
≥ .
Câu IV: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm ( )A 1; 1− − và đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
T : x 3 y 2 25− + − = . Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn ( )T (B, C
khác A ). Viết phương trình đường thẳng BC, biết ( )I 1;1 là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC.
Câu V: (2,5 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3
2 3
P .
a ab abc a b c
= −
+ + + +
---------------------- HẾT ----------------------NA
ĐỀ 4
Câu 1: (6,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2
2
1 3
x y x y
x y x y
 + − − =

+ + − − =
,với ,x y∈¡
b) Giải phương trình: ( )4 2 2
1 3 1 3 3x x x x+ + + + = ,với x∈¡
a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm
trên đường thẳng có phương trình: 2 2 0x y+ − = . Đường cao kẻ từ B có phương trình:
1 0x y+ + = , điểm ( )1;1M thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của
tam giác ABC.
b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó không
cùng nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh rằng: ⊥ ⇔ + = +2 2 2 2
AC BD AB CD AD BC
Cho dãy số(un) xác định như sau :

1
1
2
2 1
( 1, )
1 ( 2 1)
n
n
n
u
u
u n n
u
+
 =

 + −
= ∀ ≥ ∈
− −
¥
a) Chứng minh: tan 2 1
8
= −
π
b) Tính: 2015
u
Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng:
a) 2 2 2
a b c a b c+ + ≥ + +
b)
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
Cho hệ phương trình
2
3
2
2
( 2) 2 3 ( )
3
x y m
x y xy m y

+ =

 + + = +

Tìm m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm với x,y∈¡ .
…….HẾT……..LA
ĐỀ 5:
Câu 1: ( 5,0 điểm )
a. Giải phương trình sau: 2 2 3 4
4 1 1 5 4 2x x x x x x+ + = + + − − với x R∈ .
b. Giải phương trình: ( )2
2sin 3sin 2 1 3 cos 3sinx x x x+ + = + .
Câu 2: ( 5,0 điểm )
a. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh 2AB = . Trong mặt phẳng chứa tam giác
ABC lấy điểm M thỏa 2 2 2
MA MB MC+ = . Tìm quỹ tích của điểm M.
b. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng 0
60 ,
6, 9BM CN= = . Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác ABC.
Câu 3: ( 4,0 điểm )
Cho dãy số ( )n
u xác định bởi 1
1u = và 2
1
3 2n n
u u+
= + với mọi 1n ≥ .
a. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )n
u .
b. Tính tổng
2 2 2 2
1 2 3 2011
...S u u u u= + + + + .
Câu 4: ( 3,0 điểm )
Cho , ,a b c là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện 2 2 2
1a b c+ + = .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) ( )
3
6M a b c a b c abc= + + − + + +
Câu 5: ( 3,0 điểm )
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
( )3 2
2
2 2 2 3
3
x y x xy m
x x y m
+ + + = − −

+ + =
với ,x y
là các số thực.
………………. Hết ……………….LA11
ĐỀ 6:
Câu 1 (5 điểm):
4n 2n *
2012 2012 (n N )x x+ + = ∈ .
Câu 2 (5 điểm):
n(u )
1
*
1 2
3
1 3
2 ; ( ).
3
n n
n
u
u u n N
u
+
=

 
= + ∈ ÷
 
lim nu ?
Câu 3 (3 điểm):
Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 36
9x y z x y y z z x
+ + ≥
+ + +
.
Câu 4 (4 điểm):
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác góc
·BAC . Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P, Q
theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O. Chứng minh OQ vuông
BC.
Câu 5 (3 điểm):
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2 3x y z+ = + .
--------------------HẾT----------------------QB
ĐỀ 7
Câu 1: ( 5,0 điểm )
a) Giải phương trình sau trên tập số thực: 1 (2 1) 1 2x x x+ = + + + .

b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
( )
2 2
2
8
12
x y xy y
xy y xy x y
+ + + =

+ + + =
.
Câu 2: ( 5,0 điểm )
c. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm ( ) ( )1;2 , 4;3A B .
Tìm trên trục hoành điểm M sao cho · 0
45AMB = .
d. Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 6cm , trọng tâm là G . Một đường thẳng
∆ đi qua G , ∆ cắt các đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm M và N sao cho
2 3AM AN= . Tính diện tích tam giác AMN .
Câu 3: ( 4,0 điểm )
Cho dãy số ( )n
u được xác định bởi 1
1u = và 1
2n
n n
u u+
= + với mọi 1n ≥ .
1. Chứng minh rằng: 2 1n
n
u = − .
2. Tính tổng 1 2 3
... n
S u u u u= + + + + theo n .
Câu 4: ( 3,0 điểm )
Cho các số thực dương , , .a b c
a. Chứng minh rằng: ( )( ) ( )
22 2 9
2 2 2 7
16
a b a b + + ≥ + +
  .
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2
(2 )(2 )(2 )
.
(3 )
a b c
P
a b c
+ + +
=
+ + +
Câu 5: ( 3,0 điểm )
Cho hàm số ( ) ( )3 21
1 4 3 1
3
y mx m x m x= + − + − + có đồ thị là ( )m
C , m là tham số.
Tìm các giá trị của m để trên ( )m
C có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến
của ( )m
C tại điểm đó vuông góc với đường thẳng : 2 0d x y+ = .
------ Hết -----LAA
ĐỀ 8
Câu I (5,0 điểm).
1. Cho hàm số 4 2
y x mx m= − + , với m là tham số.
Tìm các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2
f x x 1 x= − trên đoạn [ ]0;1 .
Câu II (5,0 điểm).
1. Giải bất phương trình ( )2
2x 5x 3 x 1 x− + ≥ − ∈¡ .
2. Giải hệ phương trình ( )
2 2
x y 4xy 3
x,y
x y xy 1
 + − = −
∈
+ − =
¡ .

Câu III (5,0 điểm).
1. Tìm hệ số của 15
x trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
5
2
1
x , x 0
x
 
+ ≠ ÷
 
.
Biết 0 1 n 1 n
n n n nC C ... C C 1024−
+ + + + = (với *
n∈¥ , k
nC là số các tổ hợp chập k của n)
2. Giải phương trình : ( ) ( )2sin x 1 sin x 2cosx sin2x cosx− + = − .
Câu IV (5,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA, đáy là tam giác vuông tại B. Gọi B' là
hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng SB. Qua điểm B' kẻ đường thẳng
song song với đường thẳng BC cắt SC tại C'.
1. Chứng minh rằng: SB vuông góc với mặt phẳng ( )AB'C' .
2. Tính theo a thể tích khối chóp S.AB'C', biết SA AB a= = và =BC 2a.
Câu 1 (3.0 điểm)
Cho hàm số 3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)y x m x m m x= − + + + + (m là tham số thực).
Xác định m để điểm 3
(2 ; )M m m tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) một tam giác
có diện tích nhỏ nhất.
Câu 2 (3.0 điểm). Giải bất phương trình : 2 2
x 91 x 2 x+ > − +
Câu 3 (3.0 điểm) Giải hệ phương trình:
3
2
2 2 1 3 1
( , )
2 1 4 4
y y x x x
x y R
y y x
 + + − = −
∈
+ + = + +
Câu 4 (2 điểm) Cho các số dương , , : 3.a b c ab bc ca+ + = Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
Câu 5 (5 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2
( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( '): 4 – 5 0C x y x+ + = cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn
( ), ( ')C C lần lượt tại A,B sao cho MA= 2MB.
2. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2 5a và · 120BAC = o . Gọi M là trung
điểm của CC1. Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BM).
Câu 6 (4 điểm): Cho dãy số ( )n
u xác định bởi 1
1u = và 2
1
3 2n n
u u+
= + với mọi 1n ≥ .
Fb: HỌC TRÒ THẦY HOÀNG – ĐAN PHƯỢNG
SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN – LỚP 12
Năm học 2014-2015
Thời gian làm bài: 180 phút.
7

1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )n
u .
2. Tính tổng
2 2 2 2
1 2 3 2015
...S u u u u= + + + +
Đáp án bài thi chọn HSG Toán 12 (2014-2015)
Câu 1( 5.0 điểm):
Câu Nội dung Điểm
1 Ta có:
2
' 6 6(2 1) 6 ( 1); ' 0 ; 1y x m x m m y x m x m= − + + + = ⇔ = = +
m⇒ ∀ ∈¡ , hàm số luôn có CĐ, CT
Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là
3 2 3 2
( ;2 3 1), ( 1;2 3 )A m m m B m m m+ + + +
Suy ra 2AB = và phương trình đường thẳng
3 2
: 2 3 1 0AB x y m m m+ − − − − =
Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ
M tới AB nhỏ nhất.
Ta có:
2
3 1
( , )
2
m
d M AB
+
=
1 1
( ; ) min ( ; )
2 2
d M AB d M AB⇒ ≥ ⇒ =
đạt được khi m = 0
1.0đ
1.0đ
1.0đ
1
( 3đ)
Điều kiện x 2≥
Phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( )2 2
x 91 10 x 2 1 x 9 0+ − − − − − − >
2
2
x 9 x 3
(x 3)(x 3) 0
x 2 1x 91 10
− −
⇔ − − + − >
− ++ +
( )x 3⇔ −
2
x 3 1
(x 3) 0
x 2 1x 91 10
 +
− − + > ÷
− ++ + 
(*)
Ta có 2
x 3 1
(x 3) 0
x 2 1x 91 10
+
− + − <
− ++ +
với mọi x 2≥
.
Do đó (*) ⇔ x < 3.
Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là : 3> x
2≥
1.0đ
0.5đ
1.0đ
0.5đ
Câu 3 ( 3.0 điểm):

Điều kiện: 4 1;x y− ≤ ≤ ∈¡ . Ta có
3
3
(1) 2 2 1 2 1 1
2 2(1 ) 1 1
y y x x x x
y y x x x
⇔ + = − − − + −
⇔ + = − − + −
Xét hàm số 3
( ) 2 ,f t t t= + ta có
2
'( ) 6 1 0, ( )f t t t f t= + > ∀ ∈ ⇒¡ đồng biến trên ¡ . Vậy
2
0
(1) ( ) ( 1 ) 1
1
y
f y f x y x
y x
≥
⇔ = − ⇔ = − ⇔ 
= −
Thế vào (2) ta được 3 2 1 4 4x x x− + − = + + (3). Xét
hàm số ( ) 3 2 1 4,g x x x x= − + − − + liên tục trên [-
4;1], ta có
1 1 1
'( ) 0
3 2 2 1 2 4
g x
x x x
= − − − <
− − +
( 4;1) ( )x g x∀ ∈ − ⇒
nghịch biến trên [-4;1]. Lại có ( 3) 4g − = nên 3x = − là
nghiệm duy nhất của phương trình (3).
Với 3x = − suy ra 2.y = Vậy hệ có nghiệm duy nhất
3
2.
x
y
= −

=
1.0đ
0.5đ
1.0đ
0.5đ
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
23
3 3 ( ) 1ab bc ca abc abc= + + ≥ ⇒ ≤ .
Suy ra:
2 2
2
1 1
1 ( ) ( ) ( ) 3 (1).
1 ( ) 3
a b c abc a b c a ab bc ca a
a b c a
+ + ≥ + + = + + = ⇒ ≤
+ +
Tương tự ta có: 2 2
1 1 1 1
(2), (3).
1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c
≤ ≤
+ + + +
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3
ab bc ca
a b c b c a c a b c b c abc abc
+ +
+ + ≤ + + = =
+ + + + + +
W.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1, 3 1, ( , , 0).abc ab bc ca a b c a b c= + + = ⇒ = = = >
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

1(2đ
)
+ Có tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và
1, ' 3R R= = ,
Đường thẳng (d) qua M có phương trình
2 2
( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b− + − = ⇔ + − = + ≠ .
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó 2 2 2 2
2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= ⇔ − = −
( ) ( )
2 2
1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d⇔ − = − ,
.IA IH>
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
9
4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35
a b
d I d d I d
a b a b
⇔ − = ⇔ − =
+ +
2 2
2 2
2 2
36
35 36
a b
a b
a b
−
⇔ = ⇔ =
+
Dễ thấy 0b ≠ nên chọn
6
1
6
a
b
a
= 
= ⇒ ÷ = − 
.
Kiểm tra điều kiện IA IH> rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2(3đ
)
a. Chứng minh 'MB MA⊥
uuur uuuur
.
( ) ( ) 1
AA'
2
BM BA AM AB AC CM AB AC
 
= + = − + + = − + + ÷
 
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
( ) 1
' ' ' ' AA'
2
A M A C C M AC
 
= + = − ÷
 
uuuuur uuuur uuuuur uuur uuuur
1 1
. ' AA' AA'
2 2
BM A M AB AC AC
  
= − + + − ÷ ÷
  
uuuur uuuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
( )
2 2
2
2 2
1 1 1 1
. .AA' .AA' AA'. AA'
2 2 2 4
1
4 2 5 0
4
AB AC AB AC AC AC
a a a
 
= − + + − + − ÷
 
= + − =
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
Suy ra 'MB MA⊥
uuur uuuur
b.Tính khoảnh cách từ A đến mp(A’BM)
0.5đ
0.5đ

( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
. ' ' AA'
'
2 2 2 2 2 0 2 2
2 2 2 2
2
'
2 0
AA'
1 1
, ' . , AA' .
3 3
1
. '
2
1
2. . .cos120 AA' 12
4
' ' ' ' 9
1
3 . 12 3 3
2
1 3
2 .2 5 2 5; , AA' .sin60
2 2
, '
A A BM A BM M
A BM
A BM
M
V d A A BM S d B M S
S MB MA
MB BC CM AB AC AC AB a
MA A C C M a
S a a a
a
S a a a d B M BH AB
d A A BM
= =

=


= + = + − + =

 = + =

⇒ = =
= = = = =
⇒ ( )( )2 2 3 5
.3 3 2 5. , '
2 3
a
a a d A A BM a= ⇒ =
1(2đ)
Dễ thấy
*
0,nu n N> ∀ ∈
Từ 2 2 2
1 13 2 3 2n n n nu u u u+ += + ⇔ = + .
Đặt
2
n nv u= thì có: ( )1 13 2 1 3 1n n n nv v v v+ += + ⇔ + = + .
Đặt 1n nx v= + thì ta có:
1 3n nx x+ = . Từ đây suy ra ( )nx là cấp số nhân với 1 2x = , công bội là 3.
Nên: 1 1 1
2.3 2.3 1 2.3 1n n n
n n nx v u− − −
= ⇒ = − ⇒ = − .
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2(2đ) 0 1 2 2014
2.3 2.3 2.3 ... 2.3 2015S = + + + + −
( )0 1 2 2014
2 3 3 3 ... 3 2015= + + + + −
( )2015
2 3 1
2015
3 1
−
= −
−
2015
3 2016= −
1.0đ
0.5đ
0.5đ
SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG MÔN: Toán - LỚP 12
Năm học 2013-2014
Thời gian làm bài: 180 phút.
_____________________________________________________________
Họ tên thí sinh ….……………………................. Số báo danh …………
Bài 1( 4,0 điểm)
a) Cho hàm số: = − − +3 2
2 3( 1)y x m x m . Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
A, B sao cho A, B, I thẳng hàng với I( 3;1)
b) Cho hàm số
+
=
+
2 1
1
x
y
x
(C). Tìm trên đồ thị hàm số (C) những điểm có tổng
khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
Bài 2 (4,0 điểm):
a) Giải hệ phương trình sau:
 + + − =

+ + =
4 2 2
2 2
4 4 2
2 6 23
x x y y
x y x y
b) Giải phương trình: ( )( )− + + + = +3
4 1 3 3 5 4 8x x x x
a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
+ + +
+ + ≥
+ + +
2 2 2
2
a b b c c a
b c c a a b
b) Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: + + + =2
1 1 2 4x y , tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: = +
+ +1 2
x y
P
y x
Bài 4 (6,0 điểm): Cho lăng trụ tam giác / / /
.ABC ABC có độ dài các cạnh bên bằng 2a. Đáy
ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc /
A trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của AB.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( /
ABC)
b) Tính cosin của góc giữa /
AA và / /
BC .
Bài 5(2,0 điểm): Cho dãy số ( nu ) xác định như sau:
+
 =

 = + ∀ ∈ ≥

1
20131
1
1 , , 1n
n
n
u
u
u n N n
u
. Tính
+
 
 ÷+ + +
 ÷
 
20132013 2013
1 2
2 3 1
lim ... n
n
uu u
u u u
--------------------------------------------
SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI(vắn tắt)

TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG MÔN: Toán - LỚP 12
Bài 1( 4,0 điểm)
a) Cho hàm số: = − − +3 2
2 3( 1)y x m x m . Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B,
sao cho A, B, I thẳng hàng với I( 3;1)
b) Cho hàm số
+
=
+
2 1
1
x
y
x
(C). Tìm trên đồ thị hàm số (C) những điểm có tổng
khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
1.a Tìm m để hàm số có 2 cực trị………………… m # 1
Phương trình đường thẳng AB: y = -(m-1)^2+m
Ra được m = 4/3
0.5đ
1đ
0.5đ
1.b Gọi M thuộc (C)
Tính được tổng khoảng cách
Đánh giá được tổng khoảng cách nhỏ nhất
Ra được M(0;1) v M(-2;3)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
a) Giải hệ phương trình sau:
 + + − =

+ + =
4 2 2
2 2
4 4 2
2 6 23
x x y y
x y x y
b) Giải phương trình: ( )( )− + + + = +3
4 1 3 3 5 4 8x x x x
2.a Biến đổi về hệ 2 ẩn u = x^2+2, v = y-2
Giải hệ phương trình ra nghiệm (1;3), (-1;3)
1đ
1đ
2.b Chứng minh hàm số đồng biến khoảng [-3;1/4) và
(1/4; +)
Phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = -2
1đ
1đ
a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
+ + +
+ + ≥
+ + +
2 2 2
2
a b b c c a
b c c a a b
b) Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: + + + =2
1 1 2 4x y , tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: = +
+ +1 2
x y
P
y x
3.a Biến đổi và áp dụng giả thiết
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số
1đ
1đ
3.b Biến đổi biểu thức P về một biến số 1đ

Giá trị lớn nhất của P = 2can2 khi x bằng 2can2 y= 0 1đ
Bài 4 (6,0 điểm): Cho lăng trụ tam giác / / /
.ABC ABC có độ dài các cạnh bên bằng 2a. Đáy
ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc /
A trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của AB.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( /
ABC)
b) Tính cosin của góc giữa /
AA và / /
BC .
4.a Tính thể tích khối chóp
Tính diện tích đáy
Tính khoảng cách đúng bằng acan5/can7
1đ
1.5đ
1.5đ
4.b Ra cosin bằng 1/8 1đ
1đ
Bài 5(2,0 điểm): Cho dãy số ( nu ) xác định như sau:
+
 =

 = + ∀ ∈ ≥

1
20131
1
1 , , 1n
n
n
u
u
u n N n
u
. Tính
+
 
 ÷+ + +
 ÷
 
20132013 2013
1 2
2 3 1
lim ... n
n
uu u
u u u
5 Chứng minh được tổng cần tính giới hạn bằng 1-
u(n+1)
Đáp số ra 1
1đ
1đ

K10+11+12

Recommended

More Related Content

What's hot (19)

Viewers also liked (20)

Similar to K10+11+12 (20)

K10+11+12