Área

Rectángulos

La fórmula más básica del área es la fórmula del área de un rectángulo. Dado un rectángulo con largo ${\displaystyle l}$ y anchura ${\displaystyle a}$, la fórmula del área es:

${\displaystyle A=l\times a}$ (rectángulo).

El área del rectángulo es la longitud multiplicada por la anchura. Como caso particular, ya que ${\displaystyle l=a}$ en el caso de un cuadrado, el área de un cuadrado con longitud de lado ${\displaystyle c}$ viene dada por la fórmula:

${\displaystyle A=c^{2}}$ (cuadrado).

La fórmula del área de un rectángulo se deduce directamente de las propiedades básicas del área y a veces se toma como definición o axioma. Por otra parte, si la geometría se desarrolla antes que la aritmética, esta fórmula puede utilizarse para definir la multiplicación de los números reales.

Disección, paralelogramos y triángulos

La mayoría de las fórmulas sencillas para calcular el área siguen el método de la disección. Consisten en cortar una forma en trozos cuyas áreas deben sumar el área de la forma original.

Por ejemplo, cualquier paralelogramo puede subdividirse en un trapecio y un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura. Si el triángulo se traslada al otro lado del trapecio, la figura resultante es un rectángulo. Se deduce que el área del paralelogramo es la misma que la del rectángulo:

${\displaystyle A=b\times h}$ (paralelogramo).

Sin embargo, el mismo paralelogramo también puede cortarse a lo largo de una diagonal en dos triángulos congruentes, como se muestra en la figura. Se deduce que el área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$ (triángulo).

Se pueden utilizar argumentos similares para encontrar fórmulas de área para el trapecio y polígonos más complicados.

Círculos

La fórmula del área de un círculo (más propiamente llamada área encerrada por un círculo o área de un disco) se basa en un método similar. Dado un círculo de radio ${\displaystyle r}$, es posible dividirlo en sectores, como se muestra en la figura. Cada sector es aproximadamente triangular, y los sectores pueden reorganizarse para formar un paralelogramo aproximado. La altura de este paralelogramo es ${\displaystyle r}$, y la anchura es la mitad de la circunferencia del círculo o ${\displaystyle \pi r}$. Por tanto, el área total del círculo es ${\displaystyle \pi r^{2}}$:

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$ (círculo).

Aunque la disección utilizada en esta fórmula es sólo aproximada, el error es cada vez menor a medida que el círculo se divide en más y más sectores. El límite de las áreas de los paralelogramos aproximados es exactamente ${\displaystyle \pi r^{2}}$, que es el área del círculo.

Este argumento es una simple aplicación de las ideas del cálculo. En la antigüedad, el método por agotamiento se utilizaba de forma similar para encontrar el área del círculo, y este método se reconoce ahora como un precursor del cálculo integral. Utilizando métodos modernos, el área de un círculo puede calcularse mediante una integral definida:

${\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}}$

Elipses

La fórmula del área encerrada por una elipse está relacionada con la fórmula de un círculo; para una elipse con semieje mayor y semieje menor ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ la fórmula es:

${\displaystyle A=\pi xy}$

Área superficial

La mayoría de las fórmulas básicas para el área superficial se pueden obtener cortando las superficies y aplanándolas. Por ejemplo, si la superficie lateral del cilindro (o de cualquier prisma) se corta longitudinalmente, la superficie puede aplanarse hasta formar un rectángulo. Del mismo modo, si se hace un corte a lo largo de un cono, la superficie lateral se puede aplanar hasta convertirla en un sector de un círculo y calcular el área resultante.

La fórmula de la superficie de una esfera es más difícil de obtener: como una esfera tiene una curvatura gaussiana distinta de cero, no puede aplanarse. Arquímedes obtuvo por primera vez la fórmula del área superficial de una esfera en su obra Sobre la esfera y el cilindro. La fórmula es:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ (esfera).

donde ${\displaystyle r}$ es el radio de la esfera. Al igual que con la fórmula del área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula utiliza intrínsecamente métodos similares al cálculo.

Áreas de figuras bidimensionales

• Un triángulo: ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}$ (donde ${\displaystyle B}$ es un lado cualquiera, y ${\displaystyle h}$ es la distancia desde la línea en la que se encuentra ${\displaystyle B}$ hasta el otro vértice del triángulo). Esta fórmula puede utilizarse si se conoce la altura ${\displaystyle h}$. Si se conocen las longitudes de los tres lados, se puede utilizar la fórmula de Herón: ${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ donde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ son los lados del triángulo y ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ es el semiperimetro. Si se da un ángulo y dos lados incluidos, el área es ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\operatorname {sen}(C)}$ donde ${\displaystyle C}$ es el ángulo dado, y ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son sus lados incluidos. Si el triángulo se representa gráficamente en un plano de coordenadas, se puede utilizar una matriz y simplificar el valor absoluto de ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$. Esta fórmula también se conoce como la fórmula de la lazada y es una forma fácil de resolver el área de un triángulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ y ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$. La fórmula de la lazada también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es utilizar el cálculo para encontrar el área.

• Un polígono simple se construye sobre una cuadrícula de puntos de igual distancia (es decir, puntos con coordenadas enteras). Todos los vértices del polígono son puntos de la cuadrícula: ${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$, donde ${\displaystyle i}$ es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y ${\displaystyle b}$ es el número de puntos del límite. Este resultado se conoce como teorema de Pick.

Área en el cálculo

• El área entre una curva de valor positivo y el eje horizontal, medida entre dos valores ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle b}$ se define como el mayor de los dos valores) en el eje horizontal, viene dada por la integral de ${\displaystyle a}$ hasta ${\displaystyle b}$ de la función que representa la curva:

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

• El área entre las gráficas de dos funciones es igual a la integral de una función, f(x), menos la integral de la otra función, g(x):

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}$ donde ${\displaystyle f(x)}$ es la curva con el mayor valor de y.

• Un área delimitada por una función ${\displaystyle r=r(\theta )}$ expresada en coordenadas polares es:

${\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta }$

• El área encerrada por una curva paramétrica ${\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}$ con puntos extremos ${\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}$ está dada por las integrales de línea:

  

${\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}$

o el componente z de

${\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}$

(Para más detalles, véase el teorema de Green § Área de una región con el teorema de Green.) Este es el principio del dispositivo mecánico del planímetro.

Área limitada entre dos funciones cuadráticas

Para encontrar el área acotada entre dos funciones cuadráticas, restamos una de la otra para escribir la diferencia como:

${\displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )}$

donde f(x) es el límite superior cuadrático y g(x) es el límite inferior cuadrático. Definir el discriminante de f(x)−g(x) como:

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}$

Simplificando la fórmula de la integral entre las gráficas de dos funciones (como se indica en el apartado anterior) y utilizando la fórmula de Vieta, podemos obtener:

${\displaystyle A={\frac {\Delta {\sqrt {\Delta }}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.}$

Lo anterior sigue siendo válido si una de las funciones delimitadoras es lineal en lugar de cuadrática.

Área superficial de las figuras tridimensionales

• Cono:^[17] ${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$, donde ${\displaystyle r}$ es el radio de la base circular y ${\displaystyle h}$ es la altura. Esto también se puede reescribir como ${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$^[17] or ${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$ donde ${\displaystyle r}$ es el radio y ${\displaystyle l}$ es la altura oblicua del cono. ${\displaystyle \pi r^{2}}$ es la superficie base mientras que ${\displaystyle \pi rl}$ es la superficie lateral del cono.
• cubo: ${\displaystyle 6a^{2}}$, donde ${\displaystyle a}$ es la longitud de una arista.
• cilindro: ${\displaystyle 2\pi r(r+h)}$, donde ${\displaystyle r}$ es el radio de una base y ${\displaystyle h}$ es la altura. ${\displaystyle 2\pi r}$ también se puede reescribir como ${\displaystyle \pi d}$, donde ${\displaystyle d}$ es el diámetro.
• prisma: ${\displaystyle 2B+Ph}$, donde ${\displaystyle B}$ es el área de una base, ${\displaystyle P}$ es el perímetro de una base y ${\displaystyle h}$ es la altura del prisma.
• pirámide: ${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$, donde ${\displaystyle B}$ es el área de la base, ${\displaystyle P}$ es el perímetro de la base y ${\displaystyle L}$ es la longitud de la inclinación..
• prisma rectangular: ${\displaystyle 2(\ell a+\ell h+ah)}$, donde ${\displaystyle l}$ es la longitud, ${\displaystyle a}$ es la anchura y ${\displaystyle h}$ es la altura.

Relación área-perímetro

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

${\displaystyle {\frac {A}{L^{2}}}\leq {\frac {1}{4\pi }}}$

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estrictas