Espacio afín

Ejemplo del triángulo

Los vértices de un triángulo no plano forman una base afín del plano. Las coordenadas baricéntricas permiten una fácil caracterización de los elementos del triángulo que no involucran ángulos ni distancias:

Los vértices son los puntos de coordenadas baricéntricas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Las rectas que contienen las aristas son los puntos que tienen una coordenada cero. Las aristas mismas son los puntos que tienen una coordenada cero y dos coordenadas no negativas. El interior del triángulo son los puntos cuyas coordenadas son todas positivas. Las medianas son los segmentos cuyos puntos tienen dos coordenadas iguales, y el centroide es el punto de coordenadas (1/3, 1/3, 1/3).

Caso de coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas se cambian fácilmente de una base a otra. Sean ${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$ y ${\displaystyle \{x'_{0},\dots ,x'_{n}\}}$ bases afines de A. Por cada x en A hay alguna tupla ${\displaystyle \{\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n}\}}$ para la cual

${\displaystyle x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.}$

De manera similar, para cada ${\displaystyle x_{i}\in \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$ de la primera base, ahora se tiene en la segunda base

${\displaystyle x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}}$

para alguna tupla ${\displaystyle \{\lambda _{i,0},\dots ,\lambda _{i,n}\}}$. En consecuencia, se puede reescribir la expresión dada en la primera base como una dada en la segunda haciendo que

${\displaystyle \,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,}$

obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla ${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots ,\,{}}$${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$.

Caso de coordenadas afines

Las coordenadas afines también se cambian fácilmente de una base a otra. Sean ${\displaystyle o}$, ${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$ y ${\displaystyle o'}$, ${\displaystyle \{v'_{1},\dots ,v'_{n}\}}$ marcos afines de A. Para cada punto p de A, existe una secuencia única ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ de elementos del cuerpo base tal que

${\displaystyle p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},}$

y de manera similar, por cada ${\displaystyle v_{i}\in \{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$ de la primera base, ahora se tiene en la segunda base que

${\displaystyle o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,}$

${\displaystyle v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}}$

para la tupla ${\displaystyle \{\lambda _{o,1},\dots ,\lambda _{o,n}\}}$ y la tupla ${\displaystyle \{\lambda _{i,1},\dots ,\lambda _{i,n}\}}$. Ahora, se puede reescribir la expresión en la primera base referida a la segunda como

${\displaystyle {\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}}$

obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla ${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots ,\,{}}$${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$.