Producto (matemáticas)

Clases de residuos de números enteros

Las clases de residuos en los anillos ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$ se pueden sumar:

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }$

y multiplicar:

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }$

Convolución

Dos funciones de los números reales sobre sí mismos se pueden multiplicar de otra manera, llamada convolución.

Si

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{y}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}$

entonces la integral

${\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

está bien definida y se llama convolución.

Bajo la transformada de Fourier, la convolución se convierte en la multiplicación de funciones punto a punto.

Anillos de polinomios

El producto de dos polinomios se define de la forma siguiente:

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

con

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}$

Multiplicación escalar

Por la propia definición de un espacio vectorial, se puede formar el producto de cualquier escalar con cualquier vector, dando una función ${\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}$.

Producto escalar

Un producto escalar es una función bilineal:

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

con las siguientes condiciones, que ${\displaystyle v\cdot v>0}$ para todo ${\displaystyle 0\not =v\in V}$.

A partir del producto escalar, se puede definir una norma haciendo que ${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$.

El producto escalar también permite definir un ángulo entre dos vectores:

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

En el espacio euclídeo de dimensión ${\displaystyle n}$, el producto escalar estándar (llamado producto escalar) viene dado por:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

Producto vectorial en el espacio tridimensional

El producto vectorial de dos vectores en tres dimensiones es un vector perpendicular a los dos factores, con una longitud igual al área del paralelogramo abarcado por los dos factores.

También se puede expresar informalmente ^[3] como el determinante:

${\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Composición de aplicaciones lineales

Una aplicación lineal se puede definir como una función f entre dos espacios vectoriales V y W con un cuerpo subyacente F, que satisface^[4]

${\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .}$

Si solo se consideran espacios vectoriales de dimensión finita, entonces

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},}$

expresión en la que b_V y b_W denotan las bases de V y W, y v_i denota las componentes de v en b_Vⁱ, y se aplica el convenio de suma de Einstein.

Considérese ahora la composición de dos aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. Sea la aplicación lineal f la que aplica V sobre W, y sea la aplicación lineal g la que aplica W sobre U. Entonces, se puede obtener

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.}$

O en forma matricial:

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,}$

expresión en la que el elemento de la fila i, columna j de F, denotado por F_ij, es f^j_i, y G_ij=g^j_i.

La composición de más de dos aplicaciones lineales se puede representar de manera similar mediante una cadena de multiplicación de matrices.

Producto de dos matrices

Dadas dos matrices

${\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ y ${\displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

su producto está dado por

${\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

Composición de funciones lineales como producto matricial

Existe una relación entre la composición de funciones lineales y el producto de dos matrices. Para ver esto, sean r = dim(U), s = dim(V) y t = dim(W) las dimensiones (finitas) de los espacios vectoriales U, V y W. Sea ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}}$ una base de U, ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}}$ una base de V y ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}}$ una base de W. En términos de estas bases, sea ${\displaystyle A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ la matriz que representa f : U → V y ${\displaystyle B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$ la matriz que representa g : V → W. Entonces,

${\displaystyle B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

es la matriz que representa ${\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}$.

En otras palabras: el producto matricial es la descripción en coordenadas de la composición de funciones lineales.

Producto tensorial de espacios vectoriales

Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W, su producto tensorial puede definirse como un (2,0)-tensor que satisface:

${\displaystyle V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},}$

donde V^* y W^* denotan los espacios duales de V y W.^[5]

Para espacios vectoriales de dimensión infinita, también se tiene

• El producto tensorial de espacios de Hilbert
• El producto tensorial topológico

El producto tensorial, el producto externo y el producto de Kronecker transmiten la misma idea general. Las diferencias entre ellos son que el producto de Kronecker es simplemente un producto tensorial de matrices, con respecto a una base previamente fijada, mientras que el producto tensorial suele darse en su definición intrínseca. El producto externo es simplemente el producto de Kronecker, limitado a vectores (en lugar de matrices).

Clase de todos los objetos con un producto tensorial

En general, siempre que se tengan dos objetos matemáticos que se puedan combinar de manera que se comporten como un producto tensorial en álgebra lineal, entonces esto se puede entender de manera más general como el producto interno de una categoría monoidal. Es decir, la categoría monoidal captura precisamente el significado de un producto tensorial, la noción de por qué los productos tensoriales se comportan de la manera en que lo hacen. Más precisamente, una categoría monoidal es la clase de todas las cosas (de un tipo dado) que tienen un producto tensorial.

Otros productos en álgebra lineal

Otros tipos de productos en álgebra lineal incluyen:

• El producto de Hadamard
• El producto de Kronecker
• El producto de tensores:
  • El producto exterior
  • El producto interior
  • El producto externo
  • El producto tensorial