액션(물리학)

액션.
액션.
공통 기호	S
SI단위	줄초
기타단위	J ⋅Hz
SI 기준 단위	kg ⋅ ⋅
치수

물리학에서 작용은 물리계의 운동 대 위치 에너지의 균형이 궤적에 따라 어떻게 변하는지를 설명하는 스칼라 양입니다. 액션은 양자화됩니다. 가장 작은 값 $($ ℏ / 2 ${\displaystyle \hbar$ / 2})은 플랑크 상수에 의해 제한됩니다. 작용은 여러 물체에 대해 더 간단한 고전 역학 접근법인 정지 작용의 원리에 대한 입력이기 때문에 중요합니다.^[2] 작용과 변분 원리는 파인만의 양자역학과^[3] 일반 상대성 이론에서 사용됩니다.^[4]

단일 입자가 일정한 속도로 움직이는 단순한 경우(즉, 균일한 선형 운동을 겪는 경우), 작용은 입자의 운동량과 이동 경로를 따라 합산되는 거리의 곱입니다. 마찬가지로 작용은 입자의 운동 에너지와 위치 에너지의 차이입니다. 그것이 그 정도의 에너지를 가지고 있는 기간의 배.

좀 더 공식적으로, 행동은 계의 궤적(경로 또는 역사라고도 함)을 논거로 하고 그 결과로 실수를 갖는 수학적 함수입니다. 일반적으로 작업은 여러 경로에 대해 다른 값을 취합니다.^[5] 액션은 에너지 × 시간 또는 운동량 × 길이의 차원을 가지며, SI 단위는 줄 초입니다(플랑크 상수 h처럼).^[6]

서론

물리학 입문은 종종 힘과 운동을 연관시키는 뉴턴의 운동 법칙으로 시작됩니다. 행동은 실용적이고 교육적인 이점을 가진 완전히 동등한 대안적 접근법의 일부입니다.^[7]

단순예시

지구에서 공중에서 움직이는 야구공의 궤적에 대한 작용은 시간에 따라 통합된 운동 에너지에서 퍼텐셜 에너지를 뺀 값으로 $t_{2}$ $t_{1}$ ${\$ 과 $t_{1}$ $t_{2}$ ${\$ 의 두 시점 사이에서 정의됩니다.^[8]

S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(KE(t)-PE(t)\right)dt

이 작용은 운동과 위치 에너지의 균형을 맞춥니다.^[8] The kinetic energy of a baseball of mass $m$ is $(1/2)mv^{2}$ where $v$ is the velocity of the ball; the potential energy is $mgx$ where $g$ is the gravitational constant. 그러면 $t_{1}$ $t_{1}$ ${\$ 과 $t_{1}$ $t_{2}$ $t_{2}$ ${\$ 사이의 동작은 $t_{2}$

S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt

액션 값은 야구공이 $x(t)$ ${\displaystyle$ x $(t)}$ 및 $x(t)$ $v(t)$ $v(t)$ 까지의 궤적에 따라 달라집니다 $v(t)$ 이것은 이 동작을 고전 및 양자 역학의 강력한 정지 작용 원리에 대한 입력으로 만듭니다. 야구공에 대한 뉴턴의 운동 방정식은 정지 작용 원리를 이용한 작용에서 유도될 수 있지만, 작용 기반 역학의 장점은 뉴턴의 법칙을 적용하기 어려운 경우에만 나타나기 시작합니다. 야구공을 전자로 교체하세요: 고전 역학은 실패하지만 정지된 동작은 계속 작동합니다.^[8] 단순 작용 정의의 에너지 차이인 운동에서 위치 에너지를 뺀 값을 일반화하여 더 복잡한 경우를 라그랑지안이라고 합니다.

플랑크 작용양자

1 $/$ 2 $1/2\pi$ π $1/2\pi$ {\displaystyle 1/2\pi}의 인수를 포함할 $h$ h{\ $displaystyle$ h} 또는 $\hbar$ ℏ ${\$ displaystyle \hbar}로 표기되는 플랑크 상수는 작용의 양자라고도 합니다. 작용과 마찬가지로 이 상수에도 에너지 시간 단위가 있습니다. 불확정성 원리와 드브로이 파장과 같은 모든 중요한 양자 방정식을 나타냅니다. 행동의 값이 플랑크 상수에 접근할 때마다 양자 효과는 중요합니다.^[8] 가능한 가장 작은 동작은 $\hbar /2$ ℏ / 2 ${\displaystyle \hbar$ $\hbar /2$ 2}입니다. 더 큰 동작 값은 이 양자의 정수배여야 합니다.

$E=\hbar \omega$ 양자, E = ℏ ω ${\$ displaystyle $E$ =\hbar \omega }의 에너지는 주파수 ω {\displaystyle \omega }에 따라 증가하지만 광파의 진동에 대한 에너지와 시간의 곱인 양자의 작용은 상수 ℏ {\displaystyle \hbar }입니다.

역사

1740년대에 작업한 피에르 루이 모페르튀이스와 레온하르트 오일러는 작용 원리의 초기 버전을 개발했습니다. 조셉 루이스 라그랑주는 변분법을 발명했을 때 수학을 명확하게 했습니다. 윌리엄 로완 해밀턴은 1853년에 해밀턴의 원리를 공식화한 다음 큰 돌파구를 만들었습니다.^[10]^{: 740} Hamilton의 원리는 Richard Feynman과 Julian Schwinger가 양자 작용 원리를 개발하기 전까지 다양한 작용 형태를 가진 고전 작업의 초석이 되었습니다.^[11]^{: 127}

정의들

수학 언어로 표현하면, 변동의 미적분학을 사용하여 물리적 시스템의 진화(즉, 시스템이 실제로 한 상태에서 다른 상태로 진행되는 방법)는 동작의 정지점(보통 최소)에 해당합니다. 액션의 치수는 [에너지] × [시간]이며 SI 단위는 줄 초이며 각운동량의 단위와 동일합니다.

"작용"에 대한 몇 가지 다른 정의가 물리학에서 일반적으로 사용됩니다.^[12]^[13] 일반적으로 작업은 시간이 지남에 따라 필수적인 요소입니다. 그러나 작업이 필드와 관련된 경우 공간 변수에도 통합될 수 있습니다. 어떤 경우에는 동작이 물리적 시스템이 뒤따르는 경로를 따라 통합됩니다.

일반적으로 동작은 시스템 개발의 초기 시간과 최종 시간 사이에 시스템의 경로를 따라 수행되는 시간에 따른 적분으로 표시됩니다.^[12]

{\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt,

여기서 적분 L은 라그랑지안이라고 불립니다. 작용 적분이 잘 정의되기 위해서는 궤적이 시간과 공간에 경계를 두어야 합니다.

조치(기능)

가장 일반적으로 이 용어는 시간과 (필드의 경우) 공간의 함수를 입력으로 사용하고 스칼라를 반환하는 ${\mathcal {S}}$ 함수 ${\mathcal {S}}$ ${\$ 에 사용됩니다.^[14]^[15] 고전역학에서 입력 함수는 t와₁ t 사이의₂ 계의 진화 q(t)이며, 여기서 q는 일반화 좌표를 나타냅니다. 액션 ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$ [ ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$ ( t ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$ ) ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$ ] ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)$ 은 다음 두 시간 사이의 입력 진화에 대한 라그랑지안 L의 적분으로 정의됩니다 ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$ .

{\mathcal {S}}[\mathbf {q}(t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q}(t),{\dot {\mathbf {q}}(t)\,dt,

여기서 진화의 끝점은 고정되어

\mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})

\mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})

=

\mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})

(t

1

\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})

\mathbf {q

_{1} =\

mathbf {q} (t_{1)}

및 q 2 = q (t 2) {\displaystyle \mathbf {q} _{2} =\mathbf {q} (t_{2)}로 정의됩니다. 해밀턴의 원리에 따르면, 진정한 진화 q_true(t)는 작용

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]

[

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]

(

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]

)

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]

]

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)

가 정지(최소, 최대값 또는 안장점)되는

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]

진화입니다. 이 원리는 라그랑주 역학에서 운동 방정식으로 귀결됩니다.

약식작용(기능)

액션 기능 외에도 축약 액션이라는 또 다른 기능이 있습니다. 축약 동작에서 입력 함수는 시간에 따른 매개 변수화와 관계없이 물리적 시스템이 뒤따르는 경로입니다. 예를 들어, 행성 궤도의 경로는 타원이고 균일한 중력장에 있는 입자의 경로는 포물선입니다. 두 경우 모두 입자가 경로를 얼마나 빨리 횡단하는지에 따라 경로가 달라지지 않습니다.

약칭 작용 ${\mathcal {S}}_{0}$ ${\mathcal {S}}_{0}$ ${\$ 때로는 $W$ $W$ 로 표기 $W$ 는 일반화 운동량의 적분으로 정의됩니다.

p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}

시스템의 경우 일반화된 좌표

q_{i}

{\

displaystyle

q_

{i}

의 경로를 따라

L

Largranian

L

{\

displaystyle L

q_{i}

{\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\Sigma _{i}p_{i}\,dq_{i}.

여기서

q_{1}

q_{1}

{\

및

q_{2}

2

{\

는

q_{1}

q_{2}

시작 및 종료 좌표입니다. 모페르튀이스의 원리에 따르면, 계의 참된 경로는 축약된 작용이 정지되어 있는 경로입니다.

해밀턴의 특성 함수

총 에너지 E가 보존될 때, 해밀턴-자코비 방정식은 다음 변수들의 추가적인 분리로 풀 수 있습니다.^[12]^{: 225}

S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,

여기서 시간에 독립적인 함수 W(q₁, q₂, ..., q_N)를 해밀턴의 특성 함수라고 합니다. 이 함수의 물리적 중요성은 총 시간 도함수를 사용하여 이해됩니다.

{\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}

통합하여 제공할 수 있습니다.

W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},

그것은 단지 축약된 행동일 뿐입니다.^[16]^{: 434}

일반화 좌표의 작용

일반화 좌표 q의_k "작용"이라 불리는 작용각 좌표의 변수 J는_k 위상 공간의 닫힌 경로를 중심으로 단일 일반화 운동량을 적분하여 정의되며, 이는 회전 또는 진동 운동에 해당합니다.^[16]^{: 454}

J_{k}=\point p_{k}\,dq_{k}

J에_k 대응하는 표준 변수 결합체는 작용 각 좌표 아래에서 더 완전히 설명되는 이유로 "각" w입니다_k. 적분은 단일 변수 q에_k 대해서만 수행되므로 위의 축약된 작용 적분에서 적분된 점 곱과는 다릅니다. J_k 변수는 폐쇄 경로를 중심으로 q가_k 변하기 때문에_k_k S(q)의 변화와 같습니다. 관심 있는 여러 물리적 시스템의 경우 J는_k 상수이거나 매우 느리게 변하므로 변수_k J는 종종 섭동 계산 및 단열 불변량 결정에 사용됩니다. 예를 들어, 이들은 행성과 위성 궤도의 계산에 사용됩니다.^[16]^{: 477}

단일 상대론적 입자

상대론적 효과가 중요할 때, 질량 m의 점입자가 적절한 시간 $\tau$ τ ${\$ displaystyle \tau}로 매개변수화된 세계선 C를 이동하는 작용은

S=-mc^{2}\int_{C}\,d\tau.

대신, 입자가 입자의 좌표 시간 t에 의해 매개변수화되고 좌표 시간이 t에서₁ t까지의₂ 범위에 있다면, 작용은

S=\int_{t1}^{t2}L\,dt,

라그랑지안이 있는^[17] 곳에

L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.

실행 원칙 및 관련 아이디어

물리법칙은 흔히 미분방정식으로 표현되는데, 미분방정식은 위치와 운동량과 같은 물리량이 시간, 공간 또는 그 일반화에 따라 연속적으로 어떻게 변하는지를 설명합니다. 상황에 대한 초기 조건과 경계 조건을 고려할 때, 이러한 경험적 방정식에 대한 "해"는 시스템의 동작을 설명하는 하나 이상의 함수이며 운동 방정식이라고 불립니다.

행동은 그러한 운동 방정식을 찾기 위한 대안적인 접근의 한 부분입니다. 고전역학은 물리적 시스템이 실제로 따르는 경로는 작용이 최소화된 경로, 더 일반적으로는 정지된 경로라고 가정합니다. 즉, 작용은 변분 원리, 즉 정지 작용의 원리(아래도 참조)를 만족합니다. 작용은 적분에 의해 정의되며, 시스템의 고전적인 운동 방정식은 적분의 값을 최소화함으로써 유도될 수 있습니다.

작용 원리는 물리학에 대한 깊은 통찰력을 제공하며, 현대 이론 물리학에서 중요한 개념입니다. 아래에는 다양한 행동 원리와 관련 개념이 정리되어 있습니다.

모페르튀이스의 원리

고전역학에서 모페르튀스의 원리(Pierre Louis Maupertuis의 이름을 따서 명명됨)는 물리계가 뒤따르는 경로는 (경로와 길이에 대한 적절한 해석과 함께) 최소 길이 중 하나라고 말합니다. Maupertuis의 원리는 경로에 있는 두 개의 일반화된 점 사이의 축약된 동작을 사용합니다.

해밀턴의 주함수

해밀턴의 원리는 모든 물리계에 대한 미분 운동 방정식이 등가 적분 방정식으로 다시 공식화될 수 있다는 것입니다. 따라서 동적 모델을 공식화하기 위한 두 가지 별개의 접근 방식이 있습니다.

해밀턴의 원리는 단일 입자의 고전 역학뿐만 아니라 전자기장, 중력장과 같은 고전 분야에도 적용됩니다. 해밀턴의 원리는 양자역학과 양자장이론으로도 확장되었습니다. 특히 양자역학의 경로 적분 공식은 물리계가 가능한 모든 경로를 탐색하는 개념을 사용합니다. 각 경로에 대한 확률 진폭의 위상이 경로에 대한 동작에 의해 결정되는 경우, 최종 확률 진폭은 복잡한 진폭 및 위상을 사용하여 모든 경로를 추가합니다.^[18]

해밀턴-야코비 방정식

Hamilton의 주요 함수 S = $S=S(q,t;q_{0},t_{0})$ ( $,$ t; q $q_{0},$ $t$ 0) {\displaystyle S = S(q $,$ t; q_{0}, t_{0}}는 초기 시간 t 0 {\displaystyle t_{0} 및 초기 끝점 q 0 {\displaystyle q_{0}}을 고정하여 액션 함수 S {\displaystyle {S}로부터 얻어집니다. $}$ 상한 $q_{0},$ 시간 $t$ $t$ 및 두 $t$ 번째 끝점 $q$ $q$ 을(를) 변경할 $q$ 수 있습니다. 해밀턴의 주요 함수는 고전 역학의 공식인 해밀턴-자코비 방정식을 만족합니다. 슈뢰딩거 방정식과의 유사성 때문에 해밀턴-야코비 방정식은 양자역학과 가장 직접적인 연관성을 제공합니다.

오일러-라그랑주 방정식

라그랑주 역학에서 작은 섭동 하에서 작용 적분이 정지해야 한다는 요구 사항은 변분 미적분학을 사용하여 얻을 수 있는 미분 방정식 집합(오일러-라그랑주 방정식이라고 함)과 동일합니다.

고전 분야

작용 원리는 전자기장이나 중력장과 같은 분야의 운동 방정식을 얻기 위해 확장될 수 있습니다. 맥스웰 방정식은 정지 작용의 조건으로 유도될 수 있습니다.

아인슈타인 방정식은 아인슈타인을 이용합니다.변분 원리에 의해 제약을 받는 힐베르트 작용. 중력장에서 물체의 궤적은 작용원리를 이용하여 알 수 있습니다. 자유 낙하체의 경우, 이 궤적은 측지선입니다.

보존법칙

물리적 상황에서 대칭의 의미는 작용 원리에서 파생된 오일러-라그랑주 방정식과 함께 작용 원리에서 찾을 수 있습니다. 한 예로, 물리적 상황에서 모든 연속 대칭에 보존 법칙이 대응한다는 노에테르의 정리가 있습니다(그리고 반대로). 이 깊은 연결을 위해서는 행동 원리를 가정해야 합니다.^[18]

양자장 이론의 경로 적분 공식

양자역학에서 계는 작용이 정지해 있는 하나의 경로를 따르지 않지만, 계의 행동은 허용된 모든 경로와 그들의 작용 값에 의존합니다. 다양한 경로에 해당하는 작용은 다양한 결과의 확률 진폭을 제공하는 경로 적분을 계산하는 데 사용됩니다.

비록 고전역학에서는 뉴턴의 법칙과 동등하지만, 작용 원리는 일반화에 더 적합하고 현대 물리학에서 중요한 역할을 합니다. 실제로 이 원리는 물리학에서 위대한 일반화 중 하나입니다. 양자역학 내에서, 특히 리처드 파인만의 경로 적분 공식에서 가장 잘 이해되며, 여기서 양자 진폭의 파괴적인 간섭에서 발생합니다.

현대 확장

행동 원리는 더 일반화될 수 있습니다. 예를 들어, 로컬이 아닌 작업이 가능하기 때문에 작업이 필수일 필요는 없습니다. 비상호기하학과 같은 특정 특징을 고려할 때, 구성 공간은 함수 공간일 필요도 없습니다. 그러나 이러한 수학적 확장에 대한 물리적 기반은 실험적으로 확립되어야 합니다.^[14]

참고 항목

참고문헌

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외부 링크

최소 작업의 원칙 대화형 설명/웹페이지

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