품종(범용 대수)

유니버설 대수학에서, 다양한 알헤브라스나 등위계급은 주어진 정체성의 집합을 만족하는 주어진 서명의 모든 대수적 구조의 등급이다.예를 들어, 그 집단은 아벨 그룹, 반지, 모노이드 등과 마찬가지로 다양한 알헤브라를 형성한다.비르코프의 정리에 따르면 동일 서명의 대수학적 구조는 동형상, 아발지브라, (직접) 제품을 취하여 폐쇄할 경우에만 다양하다.범주 이론의 맥락에서, 다양한 알헤브라는 그것의 동형식과 함께 범주를 형성한다; 이것들은 보통 미세한 대수학 범주라고 불린다.null

공변량은 주어진 서명의 모든 연골 구조물의 등급이다.null

용어.

다양한 알헤브라는 다항식 시스템에 대한 해법 집합을 의미하는 대수적 다양성과 혼동해서는 안 된다.그들은 공식적으로 꽤 뚜렷하고 그들의 이론은 거의 공통점이 없다.null

"알제브라의 다양성"이라는 용어는 보편적 대수학의 일반적인 의미에서 알제브라를 일컫는다. 또한 보다 구체적인 대수감, 즉 한 분야에 걸친 대수, 즉 이선형 곱셈을 갖춘 벡터 공간도 있다.null

정의

서명(이 맥락에서)은 일련의 것으로, 그 요소들을 연산이라고 하며, 각각의 요소들은 그 아리아라고 불리는 자연수(0, 1, 2, ...)가 할당된다.변수라고 불리는 요소들의 시그니처 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \$sigma }$과 $세트{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle V$이 주어진 단어는 변수나 연산에 의해 각 노드가 라벨링되는 유한 평면 루트 트리로서, 변수에 의해 라벨링된 모든 노드와 운영자에 의해 라벨링된 모든 노드가 루트로부터 떨어져 있지 않도록 한다.ation $o{\displaystyle }$ ${\displaystyle o}$은(는) $o{\displaystyle }$ ${\displaystyle o}$의 arity만큼 뿌리로부터 많은 가지를 가지고$$ 있다$.$ 등가 법칙은 그러한 단어의 한 쌍이다. $우리$는 v ${\$$displaystyle v}$ $와$ ${\displaystyle w}$라는 단어로 구성된 공리를 v${\displaystyle }$= ${\displaystyle w}.$

이론은 서명, 변수 집합, 그리고 일련의 평등 법칙으로 구성된다.어떤 이론이든 다양한 알헤브라를 다음과 같이 제시한다.$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 이론에 따르면$,$ $T{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle T}$의 대수학( 대수학)은 A {\$displaystyle A}$ $세트$와 함께$$ 구성되며$,$ 각 연산은 $경도{\displaystyle {}_{}}$ $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ n$}$을(를$)$ 가진 T ${\displaystystytyle$ T$}$의 ${\displaystyle {}_{}{n}^{}}$→ $A_{{{$$A}\colon A^{n}\A}$에 대해 각 $공리{\displaystyle }$ v${\displaystyle }$= w ${\displaystyle v=w}$ 및 해당 공리의 변수에 $대한$ A ${\displaystyle$ $A$$}$의 각 요소에 대한 할당에 $대해{\displaystyle }$ v$${\$displaystyle v}$ 및 를 정의하는$$ 트리에서 나타내는$$ $대로{\displaystyle }$ A ${\displaystystyle$ A$}$의 요소에 연산을 적용하여 주어진 방정식을 유지한다.${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w$ 우리는 주어진 이론 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 알헤브라의 클래스를 다양한 알헤브라의 종류라고 부른다.null

$이론{\displaystyle }$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T$ 이론 A$${\$displaystyle A$$}$ 및 $B{\displaystyle }${\$displaystyle B}$의 두 알헤브라를 감안할 때$,$ 동형동체는 다음과 같은$$ $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ $[displaystystyle$ f$\colon A\to B}$이다.

${\displaystyle f(o_{A}(a_{1},\dots ,a_{n})=o_{B}(f(a_{1}),\dots ,f(a_{n})}}$

$arity{\displaystyle }$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 모든 작업에 대해$.$ 어떤 이론이든 그 이론의 알헤브라와 형태론은 동형체라는 범주를 제공한다.null

예

모든 세미그룹의 클래스는 서명(2)의 다양한 알헤브라를 형성하는데, 이는 세미그룹이 하나의 이진 연산을 갖는다는 것을 의미한다.충분한 정의 방정식은 연관 법칙이다.

$(\displaystyle x(yz)=(xy)z.}$

그룹 등급은 서명(2,0,1)의 다양한 알헤브라를 형성하며, 세 가지 작업은 각각 곱하기(이진), 정체성(nullary, constant) 및 반전(단일)이다.연상성, 정체성 및 역행성의 익숙한 공리는 하나의 적합한 정체성을 형성한다.

${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$

${\displaystyle 1x=x1=x}$

${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1.}$

반지의 종류는 또한 다양한 알헤브라를 형성한다.여기에 서명은 (2,2,0,0,1) (이항 연산 2회, 상수 2회, 단항 연산 1회)이다.null

특정 링 R을 고치면 좌측 R-모듈의 등급을 고려할 수 있다.R의 원소로 스칼라 곱셈을 표현하려면 R의 각 원소에 대해 하나의 단항 연산이 필요하다.만약 링이 무한하다면, 우리는 따라서 무한히 많은 연산을 하게 될 것이며, 이는 유니버설 대수학에서 대수학적 구조의 정의에 의해 허용된다.그리고 나서 우리는 모듈 공리를 표현하기 위해 무한히 많은 정체성이 필요할 것이며, 이것은 다양한 알헤브라의 정의에 의해 허용된다.그래서 왼쪽 R-모듈은 다양한 알헤브라를 형성한다.null

그 들판은 다양한 알헤브라를 형성하지 않는다; 0이 아닌 모든 원소들을 되돌릴 수 있어야 한다는 요구는 보편적으로 만족된 정체성으로 표현될 수 없다.^{[citation needed]}null

취소형 세미그룹도 다양한 알헤브라를 형성하지 않는데, 이는 취소특성이 방정식이 아니기 때문에 어떤 방정식에도 해당되지 않는 함축성이다.그러나 취소 속성을 정의하는 암시가 준정체성의 한 예이기 때문에 그들은 쿼시바리를 형성한다.null

비르코프의 정리

같은 서명의 대수학적 구조로 분류된 경우, 동형상, 아형상, 그리고 생산물의 개념을 정의할 수 있다.개럿 비르코프는 동일 서명의 대수학적 구조의 클래스가 동형상 이미지, 아발레브라스 및 임의 제품을 취하여 폐쇄될 경우에만 다양하다는 것을 증명했다.^[1]이는 보편적 대수학에 근본적 중요성의 결과로서 비르코프의 정리 또는 HSP 정리라고 알려져 있다.H, S, P는 동형성, 부형성 및 제품의 작동을 위해 각각 서 있다.null

몇몇 신원들을 만족시키는 알헤브라의 등급은 HSP 작전 하에서 폐쇄될 것이다.HSP 작전에 따라 폐쇄된 알헤브라의 종류와 같은 반전을 증명하는 것은 더 어렵다.null

예를 들어, 우리는 Birkhoff의 정리를 이용하여 위에서 주장한 주장, 즉 필드 공리가 가능한 신분 집합에 의해 표현될 수 없다는 것을 확인할 수 있다: 필드의 산물은 필드가 아니므로 필드가 다양성을 형성하지 않는다.null

서브바리에티스

다양한 알헤브라스 V의 하위종류는 V와 동일한 서명을 가진 V의 하위종류로, 그 자체가 품종, 즉 정체성의 집합에 의해 정의된다.null

상수로서의 정체성이 생략(그리고/또는 역연산을 생략)될 때 모든 그룹이 세미그룹이 되지만, 서명이 다르기 때문에 그룹 등급이 세미그룹 다양성의 하위변수를 형성하지는 않는다는 점에 유의한다.마찬가지로, 그룹인 세미그룹의 세분류는 다양한 세미그룹의 하위변수가 아니다.그룹인 모노이드 클래스는 ⟨${\displaystyle Z\mathbb{}}$,${\displaystyle }$+ +${\displaystyle \langle \langle \langle$ {Z$},+\nangle$${\displaystyle }$}을(를) 포함하며$$ 하위 ${\displaystyle 게이지브라\mathbb{}}$(더 정확히 말하면 서브모노이드) N${\displaystyle }$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaysty \langle \langleb$ {N}을 포함하지 $않는다$

그러나 아벨 그룹 등급은 서명의 변경 없이$$ ${\displaystyle x}$ $y{\displaystyle }$= y ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle xy=yx,}$을(를) 만족하는 그룹으로 구성되기 때문에 여러 그룹의 하위 변종이다.미세하게 생성된 아벨리아 집단은 하위 변종을 형성하지 않는데, 이는 비르코프의 정리로는 미세하게 생성된 아벨리아 집단의 임의 생산물이 미세하게 생성되지 않기 때문에 다양성을 형성하지 않기 때문이다.null

다양한 V와 그 동형성을 범주로 보는 V의 하위변수 U는 V의 완전한 하위 범주로서, U의 모든 물체 a, b, U의 a에서 b까지의 동형성이 정확히 V의 a에서 b까지의 범주임을 의미한다.

자유 객체

V가 여러 종류의 알헤브라의 비종류라고 가정하자. 즉, V는 둘 이상의 원소를 가진 알헤브라를 포함하고 있다.S 세트마다 V 버라이어티가 S에서 자유 대수 F를_S 포함한다는 것을 알 수 있다.즉, 다음과 같은 보편적 특성을 만족시키는 주입형 집합지도 i : S → F가_S 있다는 것을 의미한다: V의 대수 A와 지도 k → A에 주어진다면 f ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle i}$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\circ i=k}$와 같은 고유한 V-호모형 f : F_S → A가 존재한다$.$

이것은 자유 그룹, 자유 아벨리아 그룹, 자유 대수학, 자유 모듈 등의 개념을 일반화한다.그것은 다양성의 모든 대수가 자유대수의 동형상이라는 결과를 가지고 있다.null

범주론

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 미세 대수 범주(즉, 동형식을 모형으로 하는 다양한 알헤브라의 범주)라면$$ 건망증이 있는 펑터(functor)이다.

${\displaystyle G\colon V\to \mathbf {Set}}$

$왼쪽{\displaystyle 부호\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{F}}$ :${\displaystyle \mathbf{S}}$ e ${\displaystyle t}$→ V {\$displaystyle$F\colon \$mathbf${Set} \$to V}$을$($를) 가지고 있다. 즉, 해당 집합의 각 집합에 자유 대수학을 할당하는 functor이다.$이{\displaystyle }$ 부속물은 $모나드{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V$$}$ 범주가 Eilenberg-Moore 범주 $S{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{e}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$T}}$에 대해 이형성이라는$$ 점에서 엄격히 단조롭다$.$

따라서 모나드 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle S\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{e}}$ ${\displaystyle \mathbf{t}}$→ S ${\displaystyle e\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{t}}$ ${\$ \mathbf ${Set}$\to $\mathbf$ {Set}}은(는) 다음과 같은 일반화가 가능한 세부 대수학 범주를 회복하기에 충분하다$$.하나는 범주가 $S{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{e}}$ ${\displaystyle \mathbf{t}}$ ${\$ {$Set}}$에 대해 단일화된 경우 대수 범주라고 말한다$.$ 이는 CABA(완전한 원자 부울 알헤브라스)와 CSLat(완전한 반물질)과 같은 범주를 인정하기 때문에 "전체 대수 범주"보다 더 일반적인 개념이다.그 두 경우에 서명이 크다는 것은 그 작전이 한없이 건전하기 때문에 세트가 아니라 적절한 계급을 형성한다는 것을 의미한다.시그마 알헤브라의 대수학 범주에도 비위생적인 작전이 있지만, 그들의 경지는 그 서명이 작을 때 셀 수 있다(세트를 형성한다.null

모든 세부 대수학 범주는 지역적으로 제시 가능한 범주다.null

유한알헤브라의 유사성

임의의 직접 생산물로는 품종이 폐쇄되기 때문에 모든 비종류는 무한 알헤브라를 함유하고 있다.품종 이론의 미세 아날로그를 개발하려는 시도가 있었다.이것은 예를 들어, 유한한 세미그룹의 다양성의 개념으로 이어졌다.이런 종류의 품종은 오직 미세한 제품만을 사용한다.하지만, 그것은 더 일반적인 종류의 정체성을 사용한다.null

유사성(pseudovariety)은 일반적으로 동형상 이미지, 아형상 및 미세한 직접 생산물의 채취에 따라 폐쇄되는 특정 서명의 알헤브라의 종류로 정의된다.모든 저자가 유사성의 모든 알헤브라가 유한하다고 가정하는 것은 아니다; 만약 그렇다면, 때때로 다양한 유한 알헤브라를 이야기한다.유사수정의 경우, 비르코프의 정리에는 일반적인 미세화 상대는 없지만, 많은 경우 방정식의 보다 복잡한 개념의 도입으로 유사한 결과가 도출될 수 있다.^[2]null

가성어는 유한한 세미그룹을 연구하는 데 특히 중요하며, 따라서 형식적인 언어이론에서도 특히 중요하다.흔히 품종 정리라고 하는 아일렌베르크의 정리는 정규 언어의 다양성과 유한한 세미그룹의 유사성 사이의 자연적인 대응관계를 기술하고 있다.null

참고 항목

• 콰시바리어티

메모들

외부 링크

온라인에서 무료로 제공되는 두 개의 모노그래프:

• 스탠리 N. 버리스와 H.P. 산카파나바르(1981), 유니버설 대수학 과정.스프링거-베를라크.ISBN 3-540-90578-2. [버크호프의 정리 증명서는 II§11에 있다.]
• 피터 집슨과 헨리 로즈(1992년), 래티스의 품종, 수학의 강의 노트 1533.스프링거 베를라크.ISBN 0-387-56314-8