클리포드 대수

수학에서, 클리포드^[a] 대수(Clifford 대수)는 2차 형식의 벡터 공간에 의해 생성된 대수이며, 단수 연상 대수이다.K-대수로써, 그들은 실수, 복소수, 사분수 및 다른 여러 초복소수 체계를 ^[1]^[2]일반화한다.클리포드 대수의 이론은 2차 형식과 직교 변환의 이론과 밀접하게 연관되어 있다.클리포드 대수는 기하학, 이론 물리학, 디지털 화상 처리를 포함한 다양한 분야에서 중요한 응용 분야를 가지고 있습니다.그것들은 영국 수학자 윌리엄 킹던 클리포드의 이름을 따서 지어졌다.

가장 친숙한 클리포드 대수인 직교 클리포드 대수는 ^[3]심플렉틱 클리포드 대수와 구별되는 (의사)리만 클리포드 대수로도 불린다.

개요 및 기본 속성

클리포드 대수는 K $위$ 의 벡터 공간 $V$ 를 포함하고 그에 의해 생성되는 단수 연관 대수이다. $여기$ 서 V는 2차 $형식$ Q : V → $K$ 를 갖추고 있다. 클리포드 $대수$ Cl $(V,$ $Q)$ 은 조건의^[4] V에 $의해$ 생성된 "자유" 단수 연관 대수이다.

v^{2}=Q(v)1\{text{모든}v\in V,

여기서 왼쪽의 곱은 대수의 곱이고, $1$ 은 곱셈 항등식이다.이 동일성의 대상이 되는 "가장 자유로운" 또는 "가장 일반적인" 대수라는 개념은 다음과 같이 보편적 속성의 개념을 통해 공식적으로 표현될 수 있다.

$여기$ 서V는 유한 차원 실벡터 $공간$ 이고 Q는 비이온성인 경우 Cl(V $,$ $Q)$ 은 $레이블 p, q$ $Cl ($ R)로 식별될 수 있으며, 이는 V가 e = + $1$ , $q$ 는_i² e = $-1인 i 2$ p $원소$ 와 직교 기저를 $가지며$ , $R$ 은 이것이 i의 계수에 대한 클리포드 대수임을 나타낸다.이 기준은 직교 대각선으로 확인할 수 있습니다.

V에 $의해$ 생성된 자유대수는 텐서대수 $n \geq0 δ$ V δ $δ$ $δ$ V로 표기될 수 있다. 즉, 클리포드 대수는 $모든$ n에 대한 $n개$ 의 $복사본$ 의 텐서곱의 합이 $모든$ V $δ$ 의원소에 의해 생성된 양변 이상에 의해 이 텐서대수의 몫이 될 것이다 $.$ 몫 대수의 텐서 곱에 의해 유도된 곱은 병렬 배치( $예$ : uv)를 사용하여 작성된다.그것의 연관성은 텐서 곱의 연관성에서 온다.

클리포드 대수는 삽입 지도의 이미지인 구별되는 부분 $공간$ V를 가진다.이러한 부분 공간은 일반적으로 클리포드 대수에 K-대수만 동형인 경우 고유하게 결정될 수 없다.

만약 $그라운드$ 필드 K의 특성이 2가 $아니라면$ , 위의 기본 항등식을 그 형태로 다시 쓸 수 있다.

uv+display=2\clle u,v\rangle 1\{text{모든}u,v\in V,

어디에

({displaystyle \skle u,v\rangle =sklac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(v)\right)}

는 편광 정체성을 통해

Q

와 관련된 대칭 쌍선형 형식입니다.

$특성$ 2의 2차 형식과 클리포드 대수는 예외적인 경우를 형성한다.특히 char $(K)$ = $2일 경우$ , 2차 $형식$ 이 Q(v) $=$ $δv, vθ$ 를 만족하는 대칭 쌍선형 형식을 고유하게 결정한다는 사실도, 모든 2차 형식이 직교 기저를 허용한다는 사실도 아니다.이 문서의 많은 문장은 특성이 2가 $아니라는$ 조건을 포함하고 있으며, 이 조건을 삭제하면 false가 됩니다.

외부 대수의 양자화로서

클리포드 대수는 외부 대수와 밀접한 관련이 있다.실제로, Q = $0$ 이면, 클리포드 $대수$ Cl $(V,$ $Q)$ 은 단지 외부 대수 $δV$ 이다. $0$ 이 아닌 Q의 경우 $지면장$ K가 특성 2를 가지지 않을 때마다 $θV$ 와 $Cl(V,$ $Q)$ 사이에 표준 선형 동형이 존재한다.즉, 그것들은 벡터 공간으로서 자연스럽게 동형이지만, 다른 곱셈을 가지고 있다(특징 2의 경우, 그들은 여전히 벡터 공간으로서 동형이며, 단지 자연이 아니다).클리포드 곱셈과 $구분$ 된 부분공간은 Q가 제공하는 추가 정보를 활용하기 때문에 외부 제품보다 훨씬 풍부합니다.

클리포드 대수는 필터링된 대수이며, 연관된 등급 대수는 외부 대수이다.

보다 정확하게는, 클리포드 대수는 와일 대수가 대칭 대수의 양자화인 것과 같은 방식으로 외부 대수의 양자화(양자군 참조)로 생각될 수 있다.

와일 대수와 클리포드 대수는 * 대수의 추가 구조를 인정하고 CCR과 CAR 대수에 논의된 바와 같이 슈퍼 대수의 짝수 및 홀수 항으로 통합될 수 있다.

보편적 재산과 건축

V를 $필드$ K 위의 벡터 공간이라고 하고, $Q$ : $V$ → $K$ 를 V 위의 2차 형식이라고 $하자$ .대부분의 경우 $필드$ K는 실수 $R$ 의 필드 또는 $복소수$ C의 필드 또는 유한 필드입니다.

클리포드 $대수$ Cl $(V,$ $Q)$ 은 쌍 $(A,$ $i)$ ^[5]^[6]이다. $여기$ 서 A는 K $위$ 의 단치 연관 $대수$ 이고, i는 V의 $모든$ v에 대해 $i(2 v$ ) = $Q (v)1$ 을 만족하는 $선형$ $지도$ i: $V$ → $Cl(V, Q$ )이며, 임의의 단치 $연관성$ 에 $의해$ 정의된다.

j(v)^{2}=Q(v)1_{A}{\text{모든 }}v\in V

(

여기

서_A 1은

A

의 곱셈 항등식을 나타내며, 다음 다이어그램이 (f µ

i

=

j

와

같이

) 교환되는 고유한 대수 동형사상이 있다:

Cl(V,

Q) \to

A

:

2차 $형식$ Q는 (반대칭이 아닌) 2차 형식 $δv,$ vθ = $Q (v$ ), v $θ$ V의 특성을 갖는 2차 형식 δθ $,$ θ로 대체될 수 있다. 이 경우 j에 $대한$ 등가 요구사항은 다음과 같다.

j(v)j(v)=\displayle v,v\rangle 1_{A}\quad {모든}v\in V,

필드의 특성이 2가 $아닌$ 경우, 이는 동등한 요건으로 대체될 수 있다.

j(v)j(w)+j(w)j(v)=(\displayle v,w\rangle +\displayle w,v\rangle )1_{A}\quad {모든 }v,w\in V,}

여기서 이중선형 형태는 일반성의 손실 없이 대칭으로 추가로 제한될 수 있다.

위에서 설명한 클리포드 대수는 항상 존재하며 다음과 같이 구성될 수 있다: V를 $포함$ 하는 가장 일반적인 대수, 즉 텐서 $대수$ T $(V)$ 에서 시작하여 적절한 지수를 취함으로써 기본 항등식을 시행한다.우리의 경우, 우리는 형태의 모든 요소에 의해 생성된 $T(V$ )의 양면 $이상 Q$ I를 취하고 싶다.

v-times v-Q(v)1

모든

v\in V

V

에 대해 Cl

(V,

Q)

을

v\in V

몫 대수로

정의

한다.

\operatorname {Cl}(V,Q)=T(V)/I_{Q}.

이 지수를 계승한 반지 제품을 외부 제품 및 스칼라 제품과 구별하기 위해 클리포드^[7] 제품이라고 부르기도 한다.

Cl $(V,$ $Q)$ 이 V를 $포함$ 하고 위의 보편적 성질을 만족한다는 $것$ 을 보여주는 것은 간단하다. $따라서$ Cl은 고유 동형사상까지 유일하다. 따라서 Cliford $대수$ Cl $(V,$ $Q)$ 을 말한다.이 구조에서 i는 주입형이다.일반적으로 $i$ 를 삭제하고 V를 Cl $(V,$ $Q)$ 의 선형 부분 공간으로 $간주$ 합니다.

클리포드 대수의 보편적 특성은 Cl $(V,$ $Q)$ 의 구성이 본질적으로 함수적이라는 것을 보여준다.즉, $Cl$ 은 2차 형식을 가진 벡터 공간의 범주(그들의 형태론은 2차 형식을 보존하는 선형 지도)에서 연관 대수의 범주까지 함수자로 간주될 수 있다.보편적 특성은 벡터 공간 사이의 선형 맵이 연관된 클리포드 대수 사이의 대수 동형사상으로 유일하게 확장됨을 보장한다.

기초 및 치수

V는 2차 $형식$ Q를 갖추기 $때문$ 에 2와 $같지$ 않은 특성에서 직교하는 V에 $대한$ 염기가 존재한다.직교 기저란 대칭 쌍선형 형태에 대해 다음과 같은 기저이다.

\displaystyle e_{i}, e_{j}\rangle = 0}

i\neq j

j

(displaystyle

i

\neq

j

i\neq j

및

\displaystyle e_{i}, e_{i}\rangle = Q(e_{i}).}

클리포드의 기본적 동일성은 직교 기반에 대해 다음과 같은 것을 암시한다.

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

i\neq j

j

(displaystyle

i

\neq

j

i\neq j

및

e_{i}^{2}=Q(e_{i}).

이것에 의해, 직교 기저 벡터의 조작이 꽤 간단해집니다.V의 $서로$ 다른 직교 기저 벡터의 제품 $e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}$ $e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}$ $e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}$ $e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}$ k { $displaystyle e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}$ 가 $e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}$ 주어지면, 이를 위해 필요한 쌍별 스와프 수(즉, 배열 순서)에 의해 결정되는 전체 부호를 포함하면서 이들을 표준 순서로 배치할 수 있다.

K에 $대한$ $V$ 의 치수가 $n$ 이고{ $e 1, ...,$ e $}$ 가_n ( $V,$ $Q)$ 의 직교 기저이면 $Cl(V,$ $Q)$ 은 K에 $대한$ 기저와 함께 자유입니다.

\displaystyle \{e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}\mid 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n'text{ 및 }}0\leq k\leq n\.}

빈 곱( $k$ = $0$ )은 곱셈 아이덴티티 요소로 정의됩니다. $k$ 의 각 값에 대해 $n개$ 의 $선택$ k의 기본 요소가 $있으므로$ 클리포드 대수의 총 차원은 다음과 같다.

\displaystyle \dim \operatorname {Cl}(V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}=2^{n}.}

예: 실제와 복소수 클리포드 대수

가장 중요한 클리포드 대수는 비퇴적 2차 형식을 갖춘 실수와 복소 벡터 공간 위의 대수이다.

각 $대수의 p, q Cl ($ R)과_n $Cl ($ C)은 A $또는$ A $δ$ $A$ 와 동형이다. $여기$ 서 A는 $R$ , C $또는$ $H$ 로부터의 엔트리가 있는 완전 매트릭스 고리이다. 이들 대수의 완전한 분류는 클리포드 대수의 분류를 참조한다.

실수

클리포드 대수는 종종 실수에 대한 기하학적 대수로도 언급된다.

유한 차원 실 벡터 공간의 모든 비퇴출 2차 형식은 표준 대각 형식과 동일합니다.

{{displaystyle Q(v)=v_{1}^2}+\dots +v_{p}^2}-v_{p+1}^{2}-\display -v_{p+q}^2}

여기

서 n

= p

+

q

는 벡터 공간의 치수이다.정수 쌍(

p,

q)을 2차 형식의 서명이라고 합니다.이 2차 형식을 갖는 실벡터 공간은 종종 R로^p,q 표시된다.R 위의^p,q 클리포드 대수는 Cl(R)로_p,q 표기된다.Cl(R) 기호는_n 저자가 양의-확정 공간과 음의-확정 공간 중 어느 쪽을 선호하느냐에 따라 Cl(R) 또는_0,n Cl(R) 중 하나를_n,0 의미한다.

R에 대한^p,q 표준기저 { $e 1, ...,$ $e n}$ 는 n $= p$ + q 상호 직교 벡터로 구성되며, p는 +1이고 q는 -1이다.따라서 대수 Cl_p,q(R)은 +1에 제곱하는 p개의 벡터와 -1에 제곱하는 q개의 벡터를 가질 것이다.

몇 가지 저차원 케이스는 다음과 같습니다.

Cl_0,0(R)은 0이 아닌 벡터가 없기 때문에 R과 자연 동형이다.
Cl_0,1(R)은 e에 의해₁ 생성된 2차원 대수로 -1로 제곱되며 복소수장인 C와 대수 동형이다.
Cl_0,2(R)은 { $1,$ $e 1,$ $e 2,$ $ee 12}$ 에 걸친 4차원 대수입니다.후자의 세 원소는 모두 -1과 반교합이므로 대수는 사분위수 H와 동형이다.
Cl_0,3(R)은 $직합$ H $h$ H, 즉 분할 비쿼터리온과 동형인 8차원 대수이다.

복소수

복잡한 벡터 공간에 대한 클리포드 대수를 연구할 수도 있다.차원 n의 복소 벡터 공간상의 모든 비퇴출 2차 형식은 표준 대각 형식과 같다.

{{displaystyle Q(z)=z_{1}^2}+z_{2}^2}+\dots +z_{n}^2}^2}.}

따라서, 각

차원

n에 대하여, 동형사상까지는 비이형 2차 형식을 갖는 복소 벡터 공간의 클리포드 대수가 하나밖에 없다.우리는 Cl

(C)

에_n 의한 표준 2차 형식으로 C

위

의ⁿ 클리포드 대수를 나타낼 것이다.

처음 몇 가지 사례에서는 이라는 것을 알 수 있다.

$Cl 0 (C) c$ C, 복소수
$Cl 1 (C) c$ C $c$ C, 쌍방향 번호
$Cl 2 (C) c 2$ M $(C$ ), 2분위

$여기$ 서_n M $(C)$ 은 C에 $대한$ n x $n$ $행렬$ 의 대수를 나타낸다.

예: 4분의 1과 2분의 1의 2의 4분의 1의 구성

쿼터니온스

이 절에서 해밀턴의 사분수는 클리포드 대수_0,3 Cl(R)의 짝수 부분대수로 구성된다.

벡터 공간 V를 실제 3차원 공간³ R로 하고, 2차 형식 Q를 일반적인 유클리드 메트릭의 음수라고 하자.그 후, v, w의³ 경우 R에는 쌍선형 형태(또는 스칼라 곱)가 있습니다.

v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.

이제 Clifford에 의해 주어진 벡터 v와 w의 곱을 소개하겠습니다.

\displaystyle vw+wv=2(v\cdot w).}

이 공식은 음의 부호를 사용하기 때문에 4원소와의 대응이 쉽게 나타납니다.

R의³ 직교 단위 벡터 집합을 e, e₂, e로₁₃ 나타내면, 클리포드 곱은 관계를 산출한다.

\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{1}=-e_{1}e_{3},,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}

그리고.

e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^2}=1.

클리포드 대수_0,3 Cl(R)의 일반 요소는 다음과 같이 주어진다.

A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{3}e_{1}+a_{6}e_{1}e_{2}e_{2}e_{3}.

Cl(R)의_0,3 짝수 차수 요소의 선형 조합은 일반 원소와 짝수 하위 대수 Cl^[0]
_0,3(R)을 정의한다.

q={0}+q_{1}e_{2}e_{3}e_{1}+q_{3}e_{2}.

기본 요소는 4분의 1 기본 요소 i, j, k로 식별할 수 있다.

({displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{1}e_{3},k=e_{1}e_{2})

짝수 부분대수^[0]
_0,3 Cl(R)이 해밀턴의 실수 사분위 대수라는 것을 보여준다.

이것을 확인하려면 , 컴퓨팅

i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,

그리고.

ij=e_{2}e_{1}e_{3}=-e_{2}e_{3}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.

마침내.

ijk=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}e_{2}=-1

이중 사분위수

이 절에서, 이중 사분위수는 퇴화 2차 ^[8]^[9]형식을 가진 실제 4차원 공간의 짝수 클리포드 대수로 구성된다.

벡터 공간 V를 실제 4차원 공간⁴ R로 하고, 2차 형식 Q를 R 위의³ 유클리드 메트릭에서 파생된 퇴화 형식이라고 하자.v의 경우, R의⁴ w는 축퇴 쌍선형 형태를 도입한다.

d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{2}w_{3}w_{3}.

이 열화 스칼라 제품은 R의 거리⁴ 측정을 R 하이퍼플레인에³ 투영합니다.

벡터 v와 w의 클리포드 곱은 다음과 같다.

vw+wv=-2,d(v,w)를 표시합니다.

음수 부호는 4원소와의 대응을 단순화하기 위해 도입되었습니다.

R의 상호⁴ 직교 단위 벡터 세트를 e, e₂₃, e₄, e로₁ 나타내면, 클리포드 곱은 관계를 산출한다.

e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},,,,m\neq n,

그리고.

e_{1}^{2}=e_{2}^{3}^2}=-1,,e_{4}^2}=0.

클리포드 $대수$ Cl $(R 4,$ $d)$ 의 일반 원소는 16개의 성분을 가진다.짝수 차수 요소의 선형 조합은 일반 요소와 짝수 하위 대수 $Cl [0] (R 4,$ $d)$ 을 정의합니다.

H=h_{0}+h_{1}e_{3}+h_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{4}e_{1}e_{1}+h_{4}e_{1}e_{2}e_{2}e_{2}e_{2}e_{2}e_{2}+h_{2}_{2}e_{2}_{2}_{2}e_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}

기본 요소는 4분위 기본 요소 i, j, k 및 이중 단위 θ로 식별할 수 있다.

i=e_{2}e_{3}e_{1}e_{1}e_{2},\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.

이것은 Cl(R)과^[0]
_0,3,1 이중 사분위 대수의 대응관계를 제공한다.

이것을 확인하려면 , 컴퓨팅

\varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{4}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}e_{4

그리고.

\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{1}e_{3}e}{3}e_{3}e}{3}e_{2}e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}e_{4}

e와₄ e의 교호₁ 교환은 짝수이며, 이중 단위 θ는 4분위 원소 i, j, k와 일치한다.

예: 작은 치수

K를 2가 $아닌$ 특성 분야로 $하자$ .

치수 1

$Dim$ V = $1에 대하여$ Q가 대각화 $diag(a)$ 를 가지며, 즉 Q $($ $x$ ) = a가 $되는$ $비제로$ 벡터 x가 $있으면 Cl (V$ $,$ Q $)$ 은² $x$ $=$ a를 $만족$ 하는² $원소$ $x$ 에 의해 생성된 $K대수$ 와 대수 동형이다 $.$

특히, 만약 $a$ = $0$ 이라면 ( $즉$ , Q는 0차 $형식이다)$ $Cl (V,$ Q)은 K $위$ 의 쌍수 대수와 대수 동형이다.

a가 $K$ 에서 0이 아닌 정사각형일 $경우$ $Cl(V,$ $Q) k$ K $k$ K입니다.

그렇지 않으면 $Cl(V,$ $Q)$ 은 $K$ 의 2차 필드 $확장$ K $(θa)$ 와 동형이다.

치수 2

$Dim$ V = $2의 경우$ Q가 $0$ 이 아닌 a 및 $b$ (Q가 퇴화되지 않은 $경우$ 항상 존재함)를 갖는 $대각화 diag (a,$ b)를 갖는 경우 $Cl (V,$ Q)은 x = $a 2$ , $y$ = $b$ 및 xy = $-yx$ 를 $만족$ 시키는² $요소$ x $및$ y에 의해 생성된 K-대수와 동형상이 된다.

$따라서$ Cl $(V,$ $Q)$ 은 (일반화된) 사분위 대수 $(a,$ $b) K$ 와 동형이다.H = (- $1, -1) R$ 이므로 a = $b$ = $-1일$ 때 해밀턴의 사분위수를 검색한다.

특별한 경우로서, $V$ 의 $일부$ x가 Q $(x)$ = $1$ 을 $만족$ 하면 $Cl(V,$ $Q) m 2$ M $(K)$ 이다.

특성.

외부 대수와의 관계

벡터 $공간$ V가 주어졌을 때, V $위$ 의 어떤 2차 형식과도 무관한 외부 대수 $δV$ 를 구성할 수 있다.K가 $특성$ 2를 가지지 않는 $경우$ 벡터 공간으로 $간주$ 되는 $δV와 Cl (V,$ Q) 사이에 자연 동형성이 존재하는 것으로 밝혀졌다(그리고 특성 2에는 자연적이지 않을 수 있다).이것은 Q = $0$ 인 $경우$ 에만 대수 동형이다.따라서 클리포드 $대수$ Cl $(V,$ $Q)$ 을 Q에 $의존$ 하는 곱셈으로 V에 $대한$ 외부 대수의 농축(더 정확히는 양자화, cf. 도입)으로 간주할 수 있다(아직도 Q와 $독립적$ 으로 외부 곱을 정의할 수 있다).

동형성을 확립하는 가장 쉬운 방법은 V에 $대한$ 직교기저 { $e 1, ...,$ $e n}$ 를 선택하고 위에서 설명한 바와 같이 Cl $(V,$ $Q)$ 에 $대한$ 기저로 확장하는 것입니다. $Cl(V,$ $Q) \to µV$ 맵은 다음과 같이 결정됩니다.

{displaystyle e_{i_{1}} e_{i_{k}}\cdots e_{i_{1}\mapsto e_{i_{2}}\cdots \cdots e_{i_{k}}.

이 기능은 기본 {

e 1, ...,

e n}

이(가) 직교인 경우에만 작동합니다.이 지도는 직교 기저의 선택으로부터 독립되어 있기 때문에 자연 동형성을 얻을 수 있다.

K의 $특성$ 이 $0$ 이면 반대칭으로 동형성을 확립할 수도 있다. $함수 k$ f : $V$ × θ × $V$ → $Cl(V,$ $Q)$ 을 다음과 같이 정의한다.

f_{k}(v_{1},\ldots,v_{k})=flac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S}_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma}),v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}}

여기서, 합계는 k개의

요소

에서 대칭군

S k

. f는 교대로 이루어지므로,

고유

한_k 선형 맵

k θ

V →

Cl(V,

Q)

을 유도한다.이들 맵의 직합은

θV

와

Cl(V,

Q)

사이의 선형 맵을 제공합니다.이 지도는 선형 동형사상으로 보여질 수 있으며 자연스럽다.

관계를 보는 보다 정교한 방법은 Cl $(V,$ $Q)$ 에 필터를 구성하는 것입니다. 텐서 $대수$ T $(V)$ 에는 자연 여과 기능이 있습니다. $F 0 k$ $f 1$ F $f 2$ F f F , F $,$ F , F , F , F , F , F , f $f$ 。클리포드 대수에 투영하면 Cl $(V,$ $Q)$ 에 대한 필터링이 이루어집니다.관련 등급 대수

\displaystyle \operatorname {Gr}_{F}\operatorname {Cl}(V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k-1}/F^{k-1}

는 외부 대수

δV

와 자연 동형이다.필터링된 대수의 관련 등급 대수는 (

모든

k에 대해

F

의^k^k+1 보정을 선택함으로써) 필터링된 대수와 항상 동형이기 때문에, 이것은 어떤 특성에서도 (자연적이지는 않지만) 2개의 특성에서도 동형성을 제공한다.

채점

다음 예제에서는 특성이 ^[10]2가 아니라고 가정합니다.

클리포드 대수는 Z 등급의₂ 대수이다.실제로, v $δ$ - v (원점을 통한 반사)에 $의해$ 정의된 V 위의 선형 지도는 2차 형식 Q를 보존하고, 따라서 클리포드 대수의 보편적 특성에 의해 대수 자기동형까지 확장된다.

\displaystyle \alpha :\operatorname {Cl}(V,Q)\to\operatorname {Cl}(V,Q).}

α는 분해(즉, 항등식에 제곱)이기 $때문$ 에 Cl $(V,$ Q)을 $α$ 의 양수 및 음수 아이겐스페이스로 $분해$ 할 수 있다.

\operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)

어디에

\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl}(V,Q)\mid \alpha(x)=mid \alpha(x)^{i}x\right\}.}

α는 자기동형이기 $때문$ 에 다음과 같이 된다.

\operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl}(V,Q)=\operatorname {Cl}(V,Q)}(V,Q)

괄호로 묶은 위첨자는 modulo 2로 읽습니다.이것은 Cl

(V,

Q)

에게 Z 등급₂ 대수의 구조를

제공

한다.부분

공간 [0]

Cl

(V,

Q)

은 짝수 부분 대수로 불리는 Cl

(V,

Q)

의 부분 대수를 형성합니다.부분

공간 [1]

Cl

(V,

Q)

은 Cl

(V,

Q)

의 홀수 부분이라고 불립니다(부분 대수가 아닙니다).이 Z 그레이딩은₂ 클리포드 대수의 분석과 적용에 중요한 역할을 한다.

자기동형α

는 주회전 또는 등급회전이라고 불린다.이 Z 그레이딩에서₂ 순수한 요소는 단순히 짝수 또는 홀수라고 합니다.

비고 2가 아닌 특성에서 Cl $(V,$ $Q)$ 의 기본 벡터 공간은 외부 대수 ^[11] $δV$ 의 기본 벡터 공간과의 정준 동형으로부터 N-그레이딩 및 Z-그레이딩을 계승한다.단, 이는 벡터 공간 정지일 뿐이라는 점에 주의해 주십시오.즉, Clifford 곱셈은 N 그레이딩 또는 Z 그레이딩만을₂ 존중하지 않습니다.예를 들어 Q $(v)$ , $0$ 이면 $v 1 ($ $Cl (V,$ Q)이지만² $Cl (V,$ Q)에서는² Cl(V, Q)이 아닌 v $cl 0$ Cl $(V,$ $Q)$ 입니다.다행히 그레이딩은 Z $n$ N/ $2N z$ Z/ $2Z$ 로 $자연$ 스럽게₂ 관련지어집니다.또한 클리포드 대수는 Z-필터링된다.

\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q)}

클리포드 숫자의 정도는 보통 N-그레이딩의 정도를 나타냅니다.

클리포드 대수의 짝수 $부분대수 [0]$ Cl $(V,$ $Q)$ 은 그 자체로 클리포드 ^[12]^[13]대수와 동형이다. $V$ 가 0이 아닌 $노름$ Q $(a)$ 와 $부분공간$ U의 $벡터$ a의 직교직합이면 $Cl [0] (V,$ $Q)$ 은 Cl $(U, -Q(a) Q$ 와 동형이며, $여기$ 서 -Q $(a) Q$ 는 $U$ 로 제한되고 $-Q(a)$ 를 곱한 $형태$ 이다.이는 특히 다음과 같은 의미를 가집니다.

\displaystyle \operatorname {Cl}_{p,q}^{[0]}\cong {begin{case}\operatorname {Cl}_{p,q-1}(mathbf {R})&q>0\\operatorname {Cl}_{p,1}(\f})

음의 경우, 이것은 Cl $(R 0, n) ($ $Cl ($ R)을 $포함$ 시켜_0,n−1 시퀀스를 확장한다.

R' C' H ' H' H'

마찬가지로, 복잡한 경우 $Cl ($ C)의_n 짝수 하위 대수가 $Cl ($ C)과_n−1 동형이라는 것을 보여줄 수 있다.

반동형사상

$클리포드$ 대수의 분석에 중요한 역할을 하는 두 가지 반동형사상이 있다.텐서 $대수$ T $(V)$ 는 벡터의 모든 곱에서 순서를 반전시키는 반동형사상과 함께 제공된다는 것을 기억하십시오.

\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots v_{k}\mapsto v_{k}\times \cdots v_{2}\otimes v_{1}.}

이상 Q

I는 이 반전 하에서 불변하기 때문에, 이 연산은 전치 또는

반전 t

연산이라고 불리는 Cl

(V,

Q)의 반동형상으로 내려간다.

전치사

는 반동형사상입니다.

(t xy t

) = y

x

입니다^t.전치 연산은 Z 그레이딩을₂ 사용하지 않으므로 α와 전치 연산을

구성함

으로써 두 번째 반동형성을 정의한다.

우리

는 이 작전을 클리포드 활용이라고

{\bar {x}}

. x

{\bar {x}}

{\ {

displaystyle

{

x }

}

{{displaystyle {x}}=\alpha(x^{\mathrm {t}})=\alpha(x)^{\mathrm {t}}}

두 반동형사상 중 전치형이 ^[14]더 기본이다.

이러한 연산은 모두 인볼루션입니다.Z 그레이딩에서 순수한 요소에서 ±1로 작용함을 보여줄 수 있다.사실 세 가지 연산 모두 도수 4에만 의존합니다.즉, 만약 x가 k도의 순수하다면

\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t}}=\pm x\qquad {x}=\pm x}

여기서 기호는 다음 표에 제시되어 있다.

k mod 4	0	1	2	3	…
$\displaystyle \alpha(x),$	+	−	+	−	(−1)^k
$x^{\mathrm {t},$	+	+	−	−	(−1)^{k(k − 1)/2}
${x}$	+	−	−	+	(−1)^{k(k + 1)/2}

클리포드 스칼라 곱

특성이 2가 아닐 때, V 위의 2차 형식 Q는 모든 Cl $(V,$ Q)의 2차 형식으로 확장될 수 있습니다(이것도 Q로 표시됨).이러한 확장 중 하나에 대한 근거 독립적인 정의는 다음과 같다.

Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t}}x\right\rangle _{0}

여기서 'a'₀는 의 스칼라 부분(Z 그레이딩의 degree-0 부분)을 나타냅니다.라는 것을 알 수 있다

\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k}=Q(v_{1}Q(v_{2}\cdots Q(v_{k})}

여기서 v는_i V의 요소이며 Cl

(V,

Q)

의 임의 요소에는 해당되지 않습니다.

Cl $(V,$ $Q)$ 의 관련 대칭 쌍선형 형태는 다음과 같다.

\displaystyle x,y\rangle =\left\mathrm {t}y\rangle _{0}.}

V로 제한하면 원래 쌍선형 형태로 감소하는 것을 확인할 수 있다.모든

Cl(V,

Q)

의 이중선형 형태는 V에서 비이중인 경우에만 비이중입니다.

요소 a의 전치^t a에 의한 왼쪽(각각 오른쪽) 클리포드 곱셈의 연산자는 이 내부 곱에 대한 왼쪽(각각 오른쪽) 클리포드 곱셈의 인접이다.그것은,

(\displaystyle \langle ax,y\rangle =\left\rangle x,a^{\mathrm {t}y\right\rangle , )

그리고.

(\displaystyle \displaystyle xa,y\rangle =\left\displayle x,ya^{\mathrm {t}\right\rangle .})

클리포드 대수의 구조

이 섹션에서는 특성이 2가 아니고 벡터 공간 V가 유한 차원이며 연관된 대칭 쌍선형 Q 형식이 비퇴화형이라고 가정한다.

K $위$ 의 중심 단순 대수는 $중심$ K를 갖는 (무한 차원) 나눗셈 대수에 대한 행렬 대수이다.예를 들어, 실수에 대한 중심 단순 대수는 실수에 대한 행렬 대수 또는 사분위에 대한 행렬 대수이다.

V가 짝수 차원을 갖는다면 $Cl(V,$ $Q)$ 은 K에 대한 중심 단순 대수이다.
만약 V가 짝수 차원을 갖는다면, 짝수 $부분대수 [0]$ Cl $(V,$ $Q)$ 은 K의 2차 확장에 대한 중심 단순 대수이거나 K에 대한 두 개의 동형 중심 단순 대수의 합이다.
만약 V가 홀수 차원을 $갖는다면 Cl (V,$ Q)은 K의 2차 확장에 대한 중심 단순 대수이거나 K에 대한 두 개의 동형 중심 단순 대수의 합이다.
V가 홀수 차원을 갖는다면 짝수 $부분대수 [0]$ Cl $(V,$ $Q)$ 은 K 위의 중심 단순 대수이다.

클리포드 대수의 구조는 다음과 같은 결과를 사용하여 명시적으로 계산할 수 있다. $U$ 가 짝수 차원과 $판별$ d를 갖는 비단수 쌍선형 형태를 가지며, $V$ 가 2차 형식을 갖는 또 다른 벡터 공간이라고 가정합니다.U + $V$ 의 클리포드 대수는 $U$ 와(-1)dV의 클리포드 대수의 텐서 곱과 동형이다. (- $1) dim(U)/2 dV$ 는 2차 형식에 (- $1) dim(U)/2 d$ 를 곱한 $공간$ V이다.실제에 걸쳐, 이것은 특히 다음을 암시한다.

\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+2,q}(\mathbf {R})=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R})\otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R})}

\operatorname {Cl} _{p+1,q+1} (\mathbf {R})=\mathrm {M} _{2} (\mathbf {R})\otimes \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R})

\operatorname {Cl} _{p,q+2} (\mathbf {R})=\mathbf {H} \otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R})

이 공식들은 모든 실제 클리포드 대수와 모든 복잡한 클리포드 대수의 구조를 찾는데 사용될 수 있다. 클리포드 대수의 분류를 참조하라.

특히, 클리포드 대수의 모리타 등가 클래스(그 표현 이론: 그 위에 있는 모듈의 범주의 등가 클래스)는 시그니처 ( $p$ $- q$ ) $mod$ 8에만 의존합니다.이것은 Bott 주기성의 대수적 형태이다.

립시츠 군

립시츠 그룹(a.k.a.^[15]클리포드 그룹 또는 클리포드-립시츠 그룹)의 클래스는 루돌프 립시츠에 ^[16]의해 발견되었습니다.

이 절에서는 V가 유한 차원이고 $2차$ 형식 Q가 비이변형이라고 $가정$ 합니다.

단위군에 의한 클리포드 대수의 원소에 대한 작용은 꼬임 공역의 관점에서 정의될 수 있다: x 맵 $y α -1$ α( $x)$ $y$ x에 $의한$ 꼬임 공역. $여기$ 서 α는 위에서 정의된 주요 공역이다.

Lipschitz 그룹 $δ$ 는 이 ^[17]동작에서 벡터 집합을 안정화하는 반전 $요소$ x 집합으로 정의됩니다. 즉, V의 $모든$ v에 대해 다음과 같은 값이 있습니다.

\alpha(x)vx^{-1}\in V

이 공식은 또한 2차 형식 Q를 보존하는 벡터 공간 V에 립시츠 그룹의 동작을 정의하며, 따라서 립시츠 군에서 직교 군으로 동형성을 부여한다.립시츠 그룹은 K에서 Q(r)가 반전할 수 있는 V의 모든 원소 r을 포함하며, 이러한 원소 r은 $v$ 에서 v $-(θr,$ v) + $θv,$ r $)) r / Q ($ r)까지 걸리는 대응하는 반사에 의해 V에 작용한다( $특성$ 2에서는 이들을 반사가 아니라 직교 변환이라고 한다).

만약 V가 비퇴화 2차 형식을 가진 유한 차원 실 벡터 공간이라면, 립시츠 그룹은 형태에 관하여 V의 직교 그룹에 매핑되고, 커널은 필드 K의 0이 아닌 원소로 구성된다.이것은 정확한 시퀀스로 이어집니다.

\displaystyle 1\오른쪽 화살표 K^{\times}\오른쪽 화살표\Gamma\오른쪽 화살표{{mbox}O}_{V}(K)\오른쪽 화살표 1,,}

1\rightarrow K^{\times}\rightarrow ^{0}\rightarrow {mbox}SO}}_{V}(K)\오른쪽 화살표 1.,

다른 필드 또는 부정 형식의 경우, 지도는 일반적이지 않으며, 실패는 스피너 노름에 의해 포착됩니다.

스피너 노름

임의의 특성에서 스피너 노름 Q는 립시츠 군에서 다음과 같이 정의된다.

Q(x)=x^{\mathrm {t}x

그것은 K의 0이 아닌 원소들의 립시츠 군에서 K 군으로의^× 동형사상이다.이것은 V가 클리포드 대수의 부분 공간과 동일할 때 V의 2차 형식 Q와 일치한다.몇몇 저자들은 스피너 노름을 약간 다르게 정의하기 때문에 δ에서¹ -1, 2, 또는 -2의 계수로 여기의 노름과 다르다.그 차이는 2 이외의 특징에서는 그다지 중요하지 않다.

K의 0이 아닌 원소는 필드 K의 0이 아닌 원소의 제곱군 ²K에^× 스피너 노름을 가진다.그래서 V가 유한 차원이고 단수가 아닐 때 우리는 V의 직교 그룹에서 스피너 노름이라고도 불리는 K/(K^×)² 그룹으로^× 유도된 지도를 얻습니다.임의의 벡터 r에 대해^⊥ r에 대한 반사의 스피너 노름은 K/(K^×)²의^× 이미지 Q(r)를 가지며, 이 특성은 직교 군에서 고유하게 정의한다.이렇게 하면 정확한 시퀀스가 나타납니다.

\displaystyle\begin{aligned\to\pm 1\to\mbox{Pin}_{V}(K)&\mbox{\to\mbox}O}_{V}(K)\to K^{\times}/\left(K^{\times}\right)^{2},\1\to\pm 1\to\mbox{Spin}_{V}(K)&\to\mbox{\times}SO}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end { aligned}}

특성 2에서 그룹 {±1}은(는) 하나의 요소만 가지고 있습니다.

대수적 그룹의 갈로아 코호몰로지의 관점에서 스피너 노름은 코호몰로지의 연결 동형사상입니다.1의 제곱근 대수군에 대해 μ를 쓰는 것₂(2가 아닌 특징의 장에 걸쳐서 그것은 사소한 갈로아 작용이 있는 2-원소 군과 대략 동일), 짧은 정확한 순서

\displaystyle 1 to \mu _{2}\오른쪽 화살표 {mbox {Pin}}_{V}\오른쪽 화살표 {mbox}O}_{V}\오른쪽 화살표 1}

코호몰로지 상에서 길고 정확한 시퀀스를 생성합니다.

\displaystyle 1에서 H^{0}(\mu_{2};K)\to H^{0}({\mbox{Pin}}_{V};K)\to H^{0}({\mbox{})O}}_{V};K)\to H^{1}({2};K).}

계수가 K인 대수군의 0번째 갈로아 코호몰로지 그룹은 K-값 점의 그룹일 뿐이다: $H 0 (G; K$ ) = $G (K)$ $및 1$ H $(μ 2;$ $K) k \times$ K $/(K \times) 2$

\displaystyle 1에서\{pm 1\}로\mbox {Pin}_{V}(K)에서\mbox {\mbox}로O}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}

여기서 스피너 노름은 연결

동형사상 0

H

(O V;

K)

→

H 1 (μ 2;

K)

이다.

스핀 및 핀 그룹

이 절에서는 V가 유한 차원이고 이중선형 형태는 비단수형이라고 $가정$ 합니다.

핀 $그룹 V$ 핀 $(K)$ 은 스피너 $노름$ 1의 원소의 립시츠 그룹 $δ$ 의 부분군이며, 마찬가지로 스핀 $그룹 V$ 스핀 $(K)$ 은 $핀 V (K)$ 에서 딕슨 $불변성$ 0의 원소들의 부분군이다.특성이 2가 $아닐$ 때, 이것들은 $행렬식$ 1의 요소들이다.스핀 그룹의 핀 그룹에는 $일반적$ 으로 인덱스 2가 있습니다.

이전 섹션에서 Lipschitz 그룹에서 직교 그룹으로 동형사상이 있음을 기억하십시오.특수 직교 그룹을 $δ$ 의⁰ 이미지로 정의합니다.K가 $특성$ 2를 가지지 않는 $경우$ , 이것은 $행렬식$ 1의 직교 그룹의 원소 그룹일 뿐입니다. $K$ 에 $특성$ 2가 있으면 직교 그룹의 모든 원소는 행렬식 $1$ 을 가지며, 특수 직교 그룹은 Dickson $불변성$ 0의 원소 집합입니다.

핀 그룹에서 직교 그룹으로 동형성이 있습니다.이미지는 스피너 $노름$ 1 $µ \times$ K $/(K \times) 2$ 의 요소로 구성됩니다.커널은 + $1$ 과 $-1$ 로구성되며 K가 특성 $2$ 를 가지지 않는 한 $차수$ 가 $2$ 입니다.마찬가지로 스핀 군에서 $V$ 의 특수 직교 군으로의 동형성이 있다.

일반적인 경우 V가 실수에 대한 양의 또는 음의 유한 $공간$ 일 때 스핀군은 특수 직교군에 매핑되며 V가 $적어도$ 3차원을 가질 때 $간단히$ 연결된다.또한 이 동형사상의 커널은 $1$ 과 $-1$ 로 구성된다.이 경우 스핀 $그룹$ 인 $Spin$ $(n)$ 은 SO(n)의 이중 커버입니다.그러나 스핀 그룹의 단순 연결성은 일반적으로 사실이 아닙니다. V가 $p$ 와 q 둘 $다$ 에 $대해 p, q$ R이면 스핀 그룹이 단순 연결되지는 않습니다.이 경우, 대수군 $스핀$ 은_p,q 단순히 대수군으로서 연결된다. 비록 그 실가점 $스핀 p, q (R)$ 의 그룹이 단순하게 연결되어 있지 않더라도 말이다.이것은 스핀 ^[which?]그룹에 관한 적어도 하나의 표준 책의 저자들을 완전히 혼란스럽게 하는 다소 미묘한 점이다.

스피너

p + $q p, q$ $=$ $2n$ 인 $클리포드$ $대수$ 는 차원 $2$ 의ⁿ 복소 표현을 갖는 행렬 대수이다. $그룹 p, q$ Pin $(R)$ 으로 제한함으로써 스핀 표현이라고 하는 동일한 차원의 Pin 그룹을 복잡하게 표현합니다.스핀 $그룹 p, q$ Spin $(R)$ 으로 제한하면 $2차원$ 의ⁿ⁻¹ 두 반 스핀 표현(또는 Weyl 표현)의 합으로 분할됩니다.

$만약 p$ + $q$ $= 2n$ + 1이 홀수라면, 클리포드 $대수 p, q$ Cl $(C)$ 은 두 행렬 $대수$ 의ⁿ 합이며, 각각은 차원 2를 나타내며, 이 둘은 모두 핀 $그룹 p, q$ 핀 $(R)$ 의 표현이다.스핀 $그룹 p, q$ Spin $(R)$ 에 대한 제한에서 이들은 동형이 되며, 따라서 스핀 그룹은 $차원 n$ 2의 복잡한 스피너 표현을 가집니다.

보다 일반적으로, 어떤 필드 위의 스피너 그룹과 핀 그룹은 정확한 구조가 대응하는 클리포드 대수의 구조에 따라 달라지는 유사한 표현을 가지고 있다: 클리포드 대수가 어떤 나눗셈 대수에 대한 행렬 대수인 인자를 가질 때마다, 우리는 그 제수에 대한 핀과 스핀 그룹의 상응하는 표현을 얻는다.이온 대수실제의 예에 대해서는, 스피너에 관한 기사를 참조해 주세요.

실제 스피너

실제 스핀 표현을 묘사하기 위해서는 스핀 그룹이 클리포드 대수 안에 어떻게 위치하는지 알아야 한다.핀 $그룹$ 인_p,q 핀은 단위 벡터의 곱으로 쓸 수 있는 $Cl$ 의_p,q 반전 요소 집합입니다.

\displaystyle \mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i,\v_{i}\=\pm 1\right\}.}

위의 클리포드 대수의 구체적인 실현과 비교하여 핀 그룹은 임의의 많은 반사의 곱에 대응한다. 즉,

완전

한 직교

그룹

O

(p,

q)의 커버이다.스핀 그룹은 짝수 단위 벡터의 곱인 핀의

요소

로_p,q 구성됩니다.

따라서

카르탄-디오도네 정리에 따르면 스핀은

적절한

회전

그룹

의 커버가 된다

.

α : $Cl$ → $Cl$ 은 순수 벡터에 작용하는 $매핑$ vδ $-v$ 에 의해 $주어지는$ 자기동형이다.그리고 특히 $스핀$ 은_p,q 원소가 α로 $고정$ 된 $핀$ 의_p,q 부분군이다.허락하다

\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.

(이것들은 정확히

Cl

에서_p,q 균등도의 요소들이다.)그러면 스핀 그룹은 Cl 안에

있습니다 [0] p, q

.

$Cl$ 의_p,q 축소할 수 없는 표현은 핀 그룹의 표현으로 제한됩니다.반대로 핀군은 단위 벡터에 의해 생성되기 때문에 그 환원 불가능한 표현은 모두 이와 같이 유도된다.따라서 두 표현은 일치합니다.같은 이유로 스핀의 환원 불가능한 표현은 Cl의 $환원 [0] p, q$ 불가능한 표현과 일치한다.

핀 표현을 분류하려면 클리포드 대수의 분류에만 호소하면 된다.스핀 표현(짝수 하위 대수의 표현)을 찾으려면 먼저 두 동형 중 하나를 사용할 수 있습니다(위 참조).

\operatorname {Cl}_{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl}_{p,q-1},{\text{ for }}q>0

\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\about \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0

시그니처

(p,

q

-

1

) 또는 (

q, p

-

1

)의 핀 표현으로서 시그니처(

p,

q)의 스핀 표현을 실현합니다.

적용들

미분 지오메트리

외부 대수의 주요 응용 분야 중 하나는 평탄한 다양체 상에서 미분 형식의 번들을 정의하는 데 사용되는 미분 기하학이다.(의사-)리만 다양체의 경우, 접선 공간은 메트릭에 의해 유도되는 자연 2차 형식을 갖추고 있다.따라서 외부 번들과 유사하게 클리포드 번들을 정의할 수 있습니다.이것은 리만 기하학에서 많은 중요한 응용 분야를 가지고 있다.아마도 더 중요한 것은 스핀 매니폴드, 연관된 스피너 번들 및 $스핀 c$ 매니폴드에 대한 링크입니다.

물리

클리포드 대수는 물리학에서 수많은 중요한 응용 분야를 가지고 있다.물리학자들은 보통 클리포드 대수를 디랙 행렬이라고 불리는 행렬 $,, ...,$ $called$ 에₀₃ 의해 생성된 기초가 있는 대수라고 생각한다.

\displaystyle _{i}\display _{j}+\display _{j}\display _{i}=2\eta _{ij},}

where

η

is the matrix of a quadratic form of signature

(1, 3)

(or

(3, 1)

corresponding to the two equivalent choices of metric signature). These are exactly the defining relations for the Clifford algebra

Cl 1,3 (R)

, whose complexification is

Cl 1,3 (R) C

which, by the classification of Clifford algebras, is isomorphic to the algebra of

4 \times 4

complex matrices

Cl 4 (C) \approx M 4 (C)

. However, it is best to retain the notation

Cl 1,3 (R) C

, since any transformation that takes the bilinear form to the canonical form is not a Lorentz transformation of the underlying spacetime.

따라서 물리학에서 사용되는 시공간 클리포드 대수는 Cl $(C)$ 보다₄ 더 많은 구조를 가지고 있다.또한 선호하는 변환 세트인 로렌츠 변환이 있습니다.복잡화가 처음에 필요한지는 부분적으로 사용된 관례에 따라 그리고 얼마나 직접적으로 통합하기를 원하는지에 따라 다르지만, 복잡화는 가장 자주 양자역학에서 필요하다. 그래서 클리포드 대수 $안$ 에 있는 ( $1, 3$ ) 일반적으로 복합체를 필요로 한다.클리포드 대수학참고로 스핀 리 대수는 다음과 같이 주어진다.

{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\displaystyle ^{\mu },\left[\mu \nu },\display ^{\rho \nu }\left ^{\mu }\left ^{\left }\left }\left }\end { aligned}

이것은 $(3, 1$ ) 규칙에 있으므로 Cl $(R) C [18]$ 에
_3,1 적합하다.

디랙 행렬은 폴 디랙이 전자에 대해 상대론적 1차 파동 방정식을 쓰려고 할 때 처음 기록되었고 클리포드 대수의 복소 행렬 대수에 명시적 동형성을 부여했습니다.결과는 Dirac 방정식을 정의하고 Dirac 연산자를 도입하는 데 사용되었습니다.클리포드 대수 전체가 양자장 이론에서 디락장 쌍선형 형태로 나타난다.

양자 이론을 설명하는 클리포드 대수의 사용은 마리오 쇤버그,^[19] 기하학 미적분학의 관점에서 데이비드 헤스틴, 데이비드 봄과 바질 힐리와 동료들에 의해 클리포드 대수의 위계질서 형태로 그리고 엘리오 ^[20]^[21]콘테 등에 의해 다른 사람들에 의해 발전되었다.

컴퓨터 비전

클리포드 대수는 동작 인식과 컴퓨터 시각의 분류 문제에 적용되어 왔다.Rodriguez ^[22]등은 기존의 MACH 필터를 비디오(3D 시공간 볼륨) 및 광학 흐름과 같은 벡터 값 데이터로 일반화하기 위해 Clifford 임베딩을 제안한다.벡터 값 데이터는 클리포드 푸리에 변환을 사용하여 분석됩니다.이러한 벡터에 근거해, 클리포드 푸리에 도메인내에서 동작 필터를 합성해, 클리포드 상관을 이용해 동작의 인식을 실시한다.저자들은 고전 장편 영화 및 스포츠 방송 TV에서 일반적으로 수행되는 행동을 인식함으로써 클리포드 임베딩의 효과를 입증한다.

일반화

이 글은 필드 위의 벡터 공간의 클리포드 대수에 초점을 맞추고 있지만, 정의는 단수, 연관,^[3] 교환환 위에 있는 모듈로 변경되지 않고 확장된다.
클리포드 대수는 벡터 ^[23]공간에 걸쳐 2차보다 높은 차수의 형태로 일반화될 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ (특히 실수에 대한) 기하학적 대수라고도 알려져 있다

레퍼런스

^ Clifford, W.K. (1873). "Preliminary sketch of bi-quaternions". Proc. London Math. Soc. 4: 381–395.
^ Clifford, W.K. (1882). Tucker, R. (ed.). Mathematical Papers. London: Macmillan.
^ ^a ^b 전처와 만나다.Oziewicz, Z.; Sitarczyk, Sz. (1992). "Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras". In Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (eds.). Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics. Kluwer. p. 83. ISBN 0-7923-1623-1.
^ 실제 클리포드 대수로 일하고 양의 확정 2차 형식을 선호하는 수학자들은 때때로 기본적인 클리포드 항등식에서 다른 선택을 사용한다.즉, v = $-Q(v)$ 를² 취합니다.하나의 표기법에서 다른 표기법으로 이동할 때는 Q를 $-Q$ 로 $대체$ 해야 합니다.
^ (바즈&다 로차, 2016년)은 나는(그 인용에서 γ 여기)은 지도가 Clifford 대수학의 구조 두 사람은``A{γ(v)v∈ V}과{a1A∈ R}에 의한 대수로 생성되는 2차 우주(V, 감속)에(A, γ)은 클리퍼드 대수 그것을 정의함으로써 포함되어 있고, γ가 γ(v)γ(u)+γ(u)γ(v))2g(v마)모든 v에, u∈을 만든다.V."
^ P. Lounesto (1996), "Counterexamples in Clifford algebras with CLICAL", Clifford Algebras with Numeric and Symbolic Computations: 3–30, doi:10.1007/978-1-4615-8157-4_1, ISBN 978-1-4615-8159-8 또는 요약본
^ 2001 라운지, 1.8파운드.
^ McCarthy, J.M. (1990). An Introduction to Theoretical Kinematics. MIT Press. pp. 62–65. ISBN 978-0-262-13252-7.
^ Bottema, O.; Roth, B. (2012) [1979]. Theoretical Kinematics. Dover. ISBN 978-0-486-66346-3.
^ 따라서 군 대수 K[Z/2]는 반단순이며 클리포드 대수는 주 혁명의 아이겐스페이스로 분할된다.
^ Z 그레이딩은 음의 정수로 인덱싱된 0 하위 공간의 복사본을 추가하여 N 그레이딩에서 얻을 수 있습니다.
^ 엄밀히 말하면, 그것은 지정된 벡터 부분공간이 없는 클리포드 대수의 완전한 구조를 가지고 있지 않기 때문에, 대수로서는 동형이지만 클리포드 대수로서는 아니다.
^ 우리는 여전히 특성이 2가 $아니라고$ 가정하고 있다.
^ 클리포드 대수에 대해 대체(-) 기호 규칙을 사용할 경우, 그 반대는 진실이다: 더 중요한 것은 켤레이다.일반적으로 활용과 전치의 의미는 하나의 기호 규칙에서 다른 기호 규칙으로 전달될 때 서로 교환됩니다.예를 들어, 여기서 사용되는 규칙에서는 벡터의 역수를 v $= v t$ / $Q (v)$ 로⁻¹ 나타내며, (-) 규칙에서는 v $= v$ / $Q (v)$ 로⁻¹ 나타냅니다.
^ Vaz & da Rocha 2016, p. 126.
^ Lounesto 2001, §17.2.
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^ Weinberg 2002
^ See the references to Schönberg's papers of 1956 and 1957 as described in section "The Grassmann–Schönberg algebra $G_{n}$ " of:A. O. Bolivar, Classical limit of fermions in phase space, J. Math. Phys. 42, 4020 (2001) doi:10.1063/1.1386411
^ Conte, Elio (14 Nov 2007). "A Quantum-Like Interpretation and Solution of Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox in Quantum Mechanics". arXiv:0711.2260 [quant-ph].
^ Elio Conte: On some considerations of mathematical physics: May we identify Clifford algebra as a common algebraic structure for classical diffusion and Schrödinger equations? Adv. Studies Theor. Phys., vol. 6, no. 26 (2012), pp. 1289–1307
^ Rodriguez, Mikel; Shah, M (2008). "Action MACH: A Spatio-Temporal Maximum Average Correlation Height Filter for Action Classification". Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR).
^ Darrell E. Haile (Dec 1984). "On the Clifford Algebra of a Binary Cubic Form". American Journal of Mathematics. The Johns Hopkins University Press. 106 (6): 1269–1280. doi:10.2307/2374394. JSTOR 2374394.

Sources

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Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studies in Mathematics, vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR 2104929, Zbl 1068.11023
Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5. An advanced textbook on Clifford algebras and their applications to differential geometry.
Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebras and spinors, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7
Porteous, Ian R. (1995), Clifford algebras and the classical groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55177-9
Sylvester, J. J. (1882), A word on Nonions, Johns Hopkins University Circulars, vol. I, pp. 241–2, hdl:1774.2/32845; ibid II (1883) 46; ibid III (1884) 7–9. Summarized in The Collected Mathematics Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge University Press, 1909) v III. online and further.
Vaz, J.; da Rocha, R. (2016), An Introduction to Clifford Algebras and Spinors, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-878292-6
Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7

External links

"Clifford algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Planetmath entry on Clifford algebras
A history of Clifford algebras (unverified)
John Baez on Clifford algebras
Clifford Algebra: A Visual Introduction

[1] (특히 실수에 대한) 기하학적 대수라고도 알려져 있다

[2] Clifford, W.K. (1873). "Preliminary sketch of bi-quaternions". Proc. London Math. Soc. 4: 381–395.

[3] Clifford, W.K. (1882). Tucker, R. (ed.). Mathematical Papers. London: Macmillan.

[oziewicz-sitarczyk-4] 전처와 만나다.Oziewicz, Z.; Sitarczyk, Sz. (1992). "Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras". In Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (eds.). Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics. Kluwer. p. 83. ISBN 0-7923-1623-1.

[5] 실제 클리포드 대수로 일하고 양의 확정 2차 형식을 선호하는 수학자들은 때때로 기본적인 클리포드 항등식에서 다른 선택을 사용한다.즉, v = $-Q(v)$ 를² 취합니다.하나의 표기법에서 다른 표기법으로 이동할 때는 Q를 $-Q$ 로 $대체$ 해야 합니다.

[6] (바즈&다 로차, 2016년)은 나는(그 인용에서 γ 여기)은 지도가 Clifford 대수학의 구조 두 사람은``A{γ(v)v∈ V}과{a1A∈ R}에 의한 대수로 생성되는 2차 우주(V, 감속)에(A, γ)은 클리퍼드 대수 그것을 정의함으로써 포함되어 있고, γ가 γ(v)γ(u)+γ(u)γ(v))2g(v마)모든 v에, u∈을 만든다.V."

[7] P. Lounesto (1996), "Counterexamples in Clifford algebras with CLICAL", Clifford Algebras with Numeric and Symbolic Computations: 3–30, doi:10.1007/978-1-4615-8157-4_1, ISBN 978-1-4615-8159-8 또는 요약본

[FOOTNOTELounesto2001§1.8-8] 2001 라운지, 1.8파운드.

[9] McCarthy, J.M. (1990). An Introduction to Theoretical Kinematics. MIT Press. pp. 62–65. ISBN 978-0-262-13252-7.

[10] Bottema, O.; Roth, B. (2012) [1979]. Theoretical Kinematics. Dover. ISBN 978-0-486-66346-3.

[11] 따라서 군 대수 K[Z/2]는 반단순이며 클리포드 대수는 주 혁명의 아이겐스페이스로 분할된다.

[12] Z 그레이딩은 음의 정수로 인덱싱된 0 하위 공간의 복사본을 추가하여 N 그레이딩에서 얻을 수 있습니다.

[13] 엄밀히 말하면, 그것은 지정된 벡터 부분공간이 없는 클리포드 대수의 완전한 구조를 가지고 있지 않기 때문에, 대수로서는 동형이지만 클리포드 대수로서는 아니다.

[14] 우리는 여전히 특성이 2가 $아니라고$ 가정하고 있다.

[15] 클리포드 대수에 대해 대체(-) 기호 규칙을 사용할 경우, 그 반대는 진실이다: 더 중요한 것은 켤레이다.일반적으로 활용과 전치의 의미는 하나의 기호 규칙에서 다른 기호 규칙으로 전달될 때 서로 교환됩니다.예를 들어, 여기서 사용되는 규칙에서는 벡터의 역수를 v $= v t$ / $Q (v)$ 로⁻¹ 나타내며, (-) 규칙에서는 v $= v$ / $Q (v)$ 로⁻¹ 나타냅니다.

[FOOTNOTEVazda_Rocha2016p._126-16] Vaz & da Rocha 2016, p. 126.

[FOOTNOTELounesto2001§17.2-17] Lounesto 2001, §17.2.

[18] Perwass, Christian (2009), Geometric Algebra with Applications in Engineering, Springer Science & Business Media, Bibcode:2009gaae.book.....P, ISBN 978-3-540-89068-3, §3.3.1

[19] Weinberg 2002

[20] See the references to Schönberg's papers of 1956 and 1957 as described in section "The Grassmann–Schönberg algebra $G_{n}$ " of:A. O. Bolivar, Classical limit of fermions in phase space, J. Math. Phys. 42, 4020 (2001) doi:10.1063/1.1386411

[21] Conte, Elio (14 Nov 2007). "A Quantum-Like Interpretation and Solution of Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox in Quantum Mechanics". arXiv:0711.2260 [quant-ph].

[22] Elio Conte: On some considerations of mathematical physics: May we identify Clifford algebra as a common algebraic structure for classical diffusion and Schrödinger equations? Adv. Studies Theor. Phys., vol. 6, no. 26 (2012), pp. 1289–1307

[Rodriguez2008-23] Rodriguez, Mikel; Shah, M (2008). "Action MACH: A Spatio-Temporal Maximum Average Correlation Height Filter for Action Classification". Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR).

[24] Darrell E. Haile (Dec 1984). "On the Clifford Algebra of a Binary Cubic Form". American Journal of Mathematics. The Johns Hopkins University Press. 106 (6): 1269–1280. doi:10.2307/2374394. JSTOR 2374394.

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외부 대수의 양자화로서

보편적 재산과 건축

기초 및 치수

예: 실제와 복소수 클리포드 대수

실수

복소수

예: 4분의 1과 2분의 1의 2의 4분의 1의 구성

쿼터니온스

이중 사분위수

예: 작은 치수

치수 1

치수 2

특성.

외부 대수와의 관계

채점

반동형사상

클리포드 스칼라 곱

클리포드 대수의 구조

립시츠 군

스피너 노름

스핀 및 핀 그룹

스피너

실제 스피너

적용들

미분 지오메트리

물리

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