수렴 모드

수학에서는 수열이나 시리즈가 수렴된다고 하는 감각들이 많다.이 글은 다양한 융합 모드(종 또는 종)를 정의한 설정에서 설명한다.수렴 모드 목록은 수렴 모드(공지 지수)를 참조하십시오.

다음의 각 개체는 그 앞에 있는 유형의 특별한 경우: 집합, 위상학적 공간, 균일한 공간, TAG(위상학적 아벨리아 그룹), 규범화된 공간, 유클리드 공간 및 실제/복잡한 수라는 점에 유의한다.또한 모든 메트릭 공간은 균일한 공간이라는 점에 유의하십시오.

위상학적 공간의 요소

수렴은 첫 번째 카운트 가능한 공간의 시퀀스 측면에서 정의될 수 있다.그물은 먼저 셀 수 없는 공간에서 유용한 시퀀스의 일반화다.필터는 수렴 개념을 더욱 일반화한다.

미터법 공간에서는 Cauchy 시퀀스를 정의할 수 있다.코치 그물과 필터는 균일한 공간에 대한 일반화다.더 일반적으로, Cauchy 공간은 Cauchy 필터를 정의할 수 있는 공간이다.수렴은 "Cauchy-conversence"를 내포하고, Cauchy-conversence는 수렴의 존재와 함께 수렴을 내포하고 있다.미터법 공간의 완전성 개념과 그 일반화는 Cauchy 시퀀스의 관점에서 정의된다.

위상학적 아벨 그룹의 일련의 원소

위상학 아벨리아 그룹에서, 시리즈의 정합성은 부분 합계의 순서의 정합화로 정의된다.시리즈를 고려할 때 중요한 개념은 무조건적인 수렴이며, 이는 총계 순열에서 시리즈의 한계가 불변함을 보장한다.

규범 벡터 공간에서는 절대 수렴을 일련의 규범들의 수렴으로 정의할 수 있다( ( $\Sigma |b_{k}|$ $\Sigma |b_{k}|$ $displaystyle \Sigma b_{k} }).$ 절대 수렴은 부분 합계(삼각형 불평등에 의한) 순서의 코치 수렴을 의미하며, 이는 다시 어떤 그룹의 절대 수렴(재순서가 아닌)을 의미한다.그룹화하여 얻은 부분합계의 순서는 원본 계열의 부분합계를 반복한 것이다.절대 수렴 영상 시리즈의 표준 수렴은 정규화된 선형 공간이 바나흐(즉: 완료)가 되는 것과 동등한 조건이다.

절대 수렴과 수렴이 함께 이루어진다는 것은 무조건 수렴을 의미하지만, 무조건 수렴이 Banach라고 하더라도 그 함축이 $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {R} ^{d}$ {\ $d}{d$ 에 있다고 하더라도 전반적으로 절대 수렴을 의미하지는 않는다.

위상학적 공간에서의 함수 순서의 수렴

일련의 함수에 대한 가장 기본적인 형태의 수렴(특히 함수의 영역에 어떤 위상학적 구조를 가정하지 않는다)은 포인트와이즈 융합이다.모든 지점에서 함수의 값 순서의 정합화로 정의된다.함수가 동일한 공간에서 그 값을 취한다면, 포인트와이즈의 코치 수렴, 균일한 수렴, 그리고 순서의 균일한 코치 수렴을 정의할 수 있다.

포인트와이즈 수렴은 포인트와이즈 카우치-컨버전스를 내포하고, 역은 함수가 값을 가져가는 공간이 완성되면 유지한다.균일한 수렴은 점적 수렴과 균일한 Cauchy 수렴을 의미한다.균일한 코치 수렴과 점근 수렴은 시퀀스의 균일한 수렴을 의미하며, 코도메인이 완성되면 균일한 코치 수렴은 균일한 수렴을 의미한다.

기능의 영역이 위상학적 공간인 경우, 국소 균일 수렴(즉, 각 지점의 근방에 대한 균일한 수렴)과 콤팩트(균일한) 수렴(즉, 모든 콤팩트 서브셋에 대한 균일한 수렴)을 정의할 수 있다."compact pointwise convergence"는 "pointwise convergence"(점수는 항상 콤팩트)"와 같은 것을 의미하기 때문에 "compact convergence"는 항상 "compact confirm convergence"의 줄임말이라는 점에 유의한다.

균일 수렴은 국소 균일 수렴과 콤팩트 융합을 모두 의미하는데, 이는 모두 국소 개념인 반면 균일 수렴은 전지구적이기 때문이다.X가 국소적으로 콤팩트하다면(가장 약한 의미에서도: 모든 점에는 콤팩트한 근방이 있다), 국소 균일 수렴은 콤팩트(통일된) 수렴에 해당한다.대략적으로 말하면, 이것은 "로컬"과 "콤팩트"가 같은 것을 의미하기 때문이다.

위상학적 아벨 그룹의 일련의 기능

일련의 함수의 점적 및 균일한 수렴은 부분 합계 순서의 수렴이라는 관점에서 정의된다.

정규화된 선형 공간에서 값을 취하는 함수의 경우 절대 수렴은 일련의 양의 실제 값 함수 $\Sigma |g_{k}|$ g $\Sigma |g_{k}|$ $displaystyle \Sigma g_{k}}$ 의 정합성을 가리킨다. $\Sigma |g_{k}|$ "포인트와이즈 절대 수렴"은 단순히 $\Sigma |g_{k}|$ $\Sigma |g_{k}|$ $\Sigma |g_{k}|$ $displaystyle \Sigma g_{k}}}$ 의 점합합을 의미한다 $\Sigma |g_{k}|$

정상 수렴은 시리즈 $\Sigma |g_{k}|$ 각 기능의 균일( $\Sigma |g_{k}|$ , "sup") 규범을 취함으로써 얻은 일련의 비음성 실수의 수렴이다( $\Sigma |g_{k}|$ convergence of the series). $\Sigma |g_{k}|$ \ $displaystyle \Sigma g_{k}}$ }). $\Sigma |g_{k}|$ 바나흐 공간에서는 점괘 절대 수렴은 점괘 수렴을 의미하며, 정상 수렴은 균일한 수렴을 의미한다.

위상학적 공간에 정의된 함수의 경우, 시리즈 부분 합계의 관점에서 국소 균일 수렴과 콤팩트(균일) 수렴을 정의할 수 있다.또한 함수가 정규화된 선형 공간에서 값을 취한다면 국소 정규 수렴(로컬, 균일, 절대 수렴)과 콤팩트 정규 수렴(콤팩트 세트에 대한 절대 수렴)을 정의할 수 있다.

정상 수렴은 국소 정규 수렴과 콤팩트 정규 수렴을 모두 의미한다.그리고 도메인이 국소적(가장 약한 의미에서도)이라면 국소적 정상 수렴은 콤팩트한 정상 수렴을 의미한다.

측정 공간에 정의된 함수

측정할 수 있는 함수의 순서를 고려한다면 위상적 특성만이 아니라 측정-이론에 의존하는 여러 가지 수렴 모드가 발생한다.여기에는 거의 모든 곳에 있는 점의 수렴, p-mean의 수렴 및 측정의 수렴이 포함된다.이것들은 확률 이론에 특히 관심이 있다.

참고 항목

랜덤 변수의 수렴 – 확률론적 수렴 개념, 추정 및 점근법 분석에 적용
위상의 필터 – 모든 기본 위상학적 개념과 결과를 설명하고 특성화하기 위한 필터 사용.
시퀀스의 한계 – 무한 시퀀스의 경향이 있는 값
수렴 모드(공지지수) – 다양한 수렴 모드의 주석 지수
순(수학) – 일련의 점의 일반화
선형 지도 공간의 토폴로지

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