기본 함수

수학에서 기초함수는 단일 변수(일반적으로 실제 또는 복합)의 함수로서, 역함수(예: 아크신, 로그 또는^1/n x)를 포함하여 미세하게 많은 다항함수, 이성, 삼각함수, 쌍곡함수, 지수함수의 합, 제품 및 구성을 취하는 것으로 정의된다.^[1]

기본적인 기능들은 1833년부터 1841년까지 조셉 리우빌에 의해 일련의 논문에서 소개되었다.^[2][3][4] 기본적인 기능에 대한 대수학적 치료는 1930년대에 조셉 펠스 리트에 의해 시작되었다.^[5]

예

기본 예시

단일 변수 x의 기본 함수에는 다음이 포함된다.

• 상수$$ 함수: $2{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle \text{π}}$, ${\displaystyle \text{e}}$, ${\displaystyle$ 2$,\\pi ,\$ e$,}$ 등.
• 전원 함수: $x{\displaystyle }$, x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$x ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle x,\ x^{2},\ x^{3$$}$ 등
• $제곱근{\displaystyle \sqrt{}}$ 함수: x ${\$
• n번째 루트 함수: $x{\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$,${\displaystyle \text{exception 25:}\text{x}\text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$,${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}},\\\sqrt[{4}]{x},}$ 등$$.
• 지수 함수: $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$, ${\displaystyle x^{}}$ ${\$ a$^{x}}$
• 로그: ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ln x,\log _{a}x}$ ${\displaystyle {로그}_{}}$
• 삼각함수: ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle \cos \cos }$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{tann}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \sin$ x$,\cos$ x$,\\tan$ x$,}$ 등
• 역삼각$$ 함수: ${\displaystyle \arcsin }$x ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \arccos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \arcsin$ x$,\ \arccos$ x$,}$ 등
• 쌍곡선 함수: ${\displaystyle \sinh }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle ,}$ x , ${\displaystyle \sinh$ x$,\ \cosh$ x$,}$ 등
• 역방향 쌍곡선 함수: ${\displaystyle \mathrm{arsinh}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \mathrm{arcosh}}$ ${\displaystyle }$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle \operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh}$ x$$$,}$ 등
• 이전 함수의^[6] 유한 개수를 추가, 빼기, 곱하기 또는 분할하여 얻은 모든 함수
• 이전에 열거된 함수 중 어느 하나라도 한정된 수의 함수를 구성하여 얻은 모든 함수

$z{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ z ${\displaystyle \log z$과 같은 단일 복합 변수 z의 특정 기본 기능은 다중값일 수 있다.

복합 예제

기본 기능의 예는 다음과 같다.

• 추가(예: (x+1)
• 곱하기, 예: (2x)
• 다항함수
• ${\displaystyle {\frac {e^{\tan x}{1+x^{2}}}}\sin \left\sqrt {1+(\ln x)^{2}}}\오른쪽)}$
• ${\displaystyle -i\ln \left(x+i{\sqrt{1-x^{2}}\오른쪽)}$

마지막 함수는 전체 복잡한 평면에서 역 코사인$$${\displaystyle \arccos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \arccos x}$과 같다.

모든 단항, 다항식, 합리적 기능은 초보적이다. 또한 $real{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x$에 대한 절대값 함수는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$: $x$= $x\sqrt{{}^{}}$ $\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}$ ${\$x$={\sqrt{x^{$2$\}\}:$$$.

비원소함수

기초가 아닌 함수의 예로는 오류함수가 있다.

• ${\displaystyle \mathrm {erf}(x)={\frac {2}{\\sqrt {\pi }\}\{0}^{x}e^{-t^{2}}\\,dt,}$

즉시 명백하지 않을 수도 있지만 Risch 알고리즘을 사용하여 증명될 수 있는 사실

• Liouvillian 함수와 Nonelementary 적분 예제를 참조하십시오.

폐쇄

산술 연산과 구성에서 기초함수의 집합이 닫힌다는 정의에서 직접 따온 것이다. 기본 기능은 차별화 하에서 폐쇄된다. 그들은 한계와 무한의 금액에 의해 닫히지 않는다. 중요한 것은, 리우빌의 정리에서도 알 수 있듯이, 기본적인 기능들은 통합하에서는 닫히지 않는다. Nonelementary integrity를 참조하라. Liouvillian 함수는 기본 함수와 반복적으로 Liouvillian 함수의 통합으로 정의된다.

미분대수학

기초함수의 수학적 정의, 즉 기초형태의 함수는 미분대수의 맥락에서 고려된다. 미분대수는 유도(분화의 대수적 버전)의 추가 연산을 갖는 대수다. 유도연산을 사용하면 새로운 방정식을 작성할 수 있고 그 해법은 대수확장에 사용될 수 있다. 합리적 기능의 분야를 시작으로, 두 가지 특별한 형태의 초월 확장(로그와 지수)을 기본 기능이 포함된 타워를 건설하는 현장에 추가할 수 있다.

미분장 F는 유도지도 u → ∂u와 함께 필드 F₀(예를 들어 이성 Q에 대한 Rational 함수)이다.(여기서 ∂u는 새로운 함수다. 때로는 u′라는 표기법이 사용된다.) 파생은 분화의 특성을 포착하여, 베이스 필드의 어떤 두 요소에 대해서도, 파생은 선형이다.

$\displaystyle \property(u+v)=\put u+\put v}$

라이프니즈 제품 규칙을 만족시키십시오.

$\displaystyle \cdot v)=\display u\cdot v+u\cdot \b\,}$

원소 h는 hh = 0이면 상수로, 베이스 필드가 이성 위에 있는 경우, 필요한 초월 상수를 추가하기 위해 필드를 확장할 때 주의를 기울여야 한다.

차동장 F의 차동 확장자 F[u]의 함수 u는 함수 u가 F보다 기본 함수인 경우

• F보다 대수학인가?
• 지수, 즉 ∂u = u F의 u ∂a 또는
• 로그, 즉 ∂u = ∂a / a for ∈ F.

(Louville의 정리도 참조)

참고 항목

• 폐쇄형식식
• 미분 갈루아 이론
• 대수함수
• 초월함수

메모들

참조

• Liouville, Joseph (1833a). "Premier mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique". Journal de l'École Polytechnique. tome XIV: 124–148.
• Liouville, Joseph (1833b). "Second mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique". Journal de l'École Polytechnique. tome XIV: 149–193.
• Liouville, Joseph (1833c). "Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 10: 347–359.
• Ritt, Joseph (1950). Differential Algebra. AMS.
• Rosenlicht, Maxwell (1972). "Integration in finite terms". American Mathematical Monthly. 79 (9): 963–972. doi:10.2307/2318066. JSTOR 2318066.

추가 읽기

• 데이븐포트, J. H.: "기능 이해"의 의미 In: Kauers, M., Kerber, M, Miner, R., Windsteiger, W. 기계화된 수리 보조원을 향해. 스프링거, 베를린/하이델베르크 2007, 페이지 55-65. [1]

외부 링크

• 수학 백과사전의 기초적 기능
• Weisstein, Eric W. "Elementary function". MathWorld.