프레네-세레트 공식

미분 기하학에서 Frenet-Serret 공식은 3차원 유클리드 공간 R에서³ 연속적이고 서로 다른 곡선을 따라 이동하는 입자의 운동학적 특성 또는 어떤 움직임과 관계 없이 곡선 자체의 기하학적 특성을 설명한다. 보다 구체적으로, 이 공식들은 소위 접선, 정상 및 이항 단위 벡터의 파생상품을 서로에 대한 관점에서 설명한다. 이 공식들은 1847년 그의 논문에서 장 프레데릭 프레네트와 1851년 조셉 알프레드 세레트의 이름을 따서 지어졌다. 벡터 표기법과 선형대수는 현재 이러한 공식을 쓰기 위해 사용되고 있는 것이 발견 당시 아직 사용되지 않고 있었다.

흔히 T, N, B라고 불리는 접선, 정상 및 이항원 단위 벡터 또는 Frenet-Serret 프레임 또는 TNB 프레임은 함께 R에³ 걸친 정사각형 기준을 형성하며 다음과 같이 정의된다.

• T는 곡선에 접하는 단위 벡터로서 움직임의 방향을 가리킨다.
• N은 일반 단위 벡터로서, 곡선의 arclength 매개변수에 관한 T의 파생이며, 그 길이로 나눈다.
• B는 T와 N의 교차 산물인 이항 단위 벡터다.

Frenet-Serret 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}}$

여기서 d/ds는 arclength에 관한 파생상품이고, κ은 곡선의 비틀림이다. 두 개의 스칼라 κ과 τ은 공간 곡선의 곡률과 비틀림을 효과적으로 정의한다. 관련 컬렉션인 T, N, B, κ, τ 등을 Frenet-Serret 기구라고 한다. 직관적으로 곡면성은 곡선의 고장을 직선으로 측정하는 반면 비틀림은 평면적으로 곡선의 실패를 측정한다.

정의들

r(t)를 시간의 함수로서 입자의 위치 벡터를 나타내는 유클리드 공간의 곡선이 되게 하라. Frenet-Serret 공식은 비감속 곡선에 적용되며, 대략 0이 아닌 곡선을 의미한다. 좀 더 형식적으로 이 상황에서 속도 벡터 r r(t)과 가속 벡터 r′′(t)은 비례하지 않아야 한다.

s(t)는 입자가 시간 t를 따라 곡선을 따라 이동한 호 길이를 나타낸다. 많은 다른 입자 경로가 동일한 기하학적 곡선을 다른 속도로 통과하여 추적할 수 있기 때문에, s는 입자의 궤적에 의해 추적된 곡선을 호 길이에 의한 자연 파라메트리제이션(즉, 호 길이 파라메트리제이션)으로 제공하는 데 사용된다. 세부적으로 s는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\왼쪽\\\\mathbf {r}'(\mathbf {r) '(\ma )\right\ d\d\ma .}$

더구나 r′ ≠ 0을 가정해 보았기 때문에 s(t)는 엄격히 단조롭게 증가하는 함수라는 것을 따른다. 따라서 s의 함수로 t에 대한 해결이 가능하여 r(s) = r(t)을 쓸 수 있다. 따라서 곡선은 호 길이에 의해 선호되는 방식으로 파라메트리된다.

비감소 곡선 r(s)의 경우, 호 길이로 매개변수를 표시한 후 Frenet-Serret 프레임(또는 TNB 프레임)을 정의할 수 있다.

• 접선 단위 벡터 T는 다음과 같이 정의된다.

  ${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {d\mathbf {r}{ds}}}}$

  (1)

• 정상 단위 벡터 N은 다음과 같이 정의된다.

  ${\displaystyle \mathbf{N} ={{\frac {d\mathbf{T}}{ds}}}\over \좌측\{\frac {d\mathbf{T}}}}}}}}$

  (2)

곡률 $\kappa {\displaystyle }$= ${\displaystyle \Vert \frac{d\mathbf{}}{}}$ t ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{s}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$을(를) 호출하면 자동으로$$ 첫 번째 관계를 얻게 된다는 점에 유의하십시오.

• 이항 단위 벡터 B는 T와 N의 교차 생산물로 정의된다.

  ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .}$

  (3)

등식 (2)에서 T는 항상 단위 크기를 가지기 때문에, N(T의 변화)은 T의 길이에는 변화가 없기 때문에 항상 T에 수직이다. (3)식에서 B는 항상 T와 N에 수직이다. 따라서 세 개의 단위 벡터 T, N, B는 모두 서로 수직이다.

Frenet-Serret 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} &\end{matrix}}}$

여기서 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$은(는) 곡면이고 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$은(는) 비틀림이다.

Frenet-Serret 공식은 Frenet-Serret 정리라고도 하며, 행렬 표기법을 사용하여 보다 간결하게 표현할 수 있다.^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

이 행렬은 스큐 대칭이다.

n차원의 공식

Frenet-Serret 공식은 1874년 Camille Jordan에 의해 보다 차원 높은 유클리드 공간으로 일반화되었다.

r이 R의 부드러운 곡선이며ⁿ, r의 첫 번째 n개의 파생상품이 선형적으로 독립적이라고 가정하자.^[2] Frenet-Serret 프레임의 벡터는 그램-슈미트 프로세스를 벡터(rr), r′′, ..., r⁽ⁿ⁾(s)에 적용하여 구성한 정형 기준이다.

세부적으로 단위 접선 벡터는 첫 번째 Frenet 벡터₁ e(s)로 정의되며

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}s={\frac {{\overline {\mathbf {e}{1}{1}}{\overline {\mathbf {e} _{1}}}}}$

어디에

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{1}=\mathbf {r}'s}$

곡률 벡터라고도 하는 정규 벡터는 직선일 때의 곡선의 이탈도를 나타낸다. 로 정의된다.

${\displaystyle {\mathbf {e} _{2}(s)=\mathbf {r}''''-\langle \mathbf {e} _{1}(s)\rangele \\\mathbf {e} _{1}s}$

정상화된 형태인 단위 정상 벡터는 두 번째 Frenet 벡터 e(s₂)로 정의되며

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}s={\frac {{\overline {\mathbf{e}}{\overline {\mathbf {e} _{2}}}}}$

점 s에서의 탄젠트 및 정규 벡터는 점 r(s)에서 오스카 평면을 정의한다.

프레임의 나머지 벡터(이항암, 삼항암 등)는 유사한 방법으로 정의된다.

${\displaystyle{\mathbf {e} _{j}={\frac {{\frac {{\mathbf{e}}{{j}}}{\overline {\mathbf{e}}}}}}{\mbox, }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{정렬}}}$

프레임의 마지막 벡터는 첫 번째 n-1 벡터의 교차 제품으로 정의된다.

${\displaystyle {\mathbf {e} _{n}}={n1}{n1}(s)\mathbf {e} _{2}}(s)\mathbf {e} \mathbf {e} _{n-2}}(s)\mathbf {e} _{n-1}}$

χ_i 이하에서 사용되는 실제 가치 함수를 일반화된 곡률이라고 하며 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \chi _{i}={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'s),\mathbf {e} _{i+1}s}\angle }{\mathbf {r}'s\}}}}}}}}$

매트릭스 언어로 표현된 Frenet-Serret 공식은

${\displaystyle{\begin{정렬}{\begin{bmatrix}\mathbf{e}_ᆲ'(s)\\\vdots \\\mathbf{e}_ᆴ'(s)\\\end{bmatrix}}=\\\end{정렬}})\mathbf{r}'(s)\ \cdot{\begin{정렬}{\begin{bmatrix}0&, \chi _ᆺ(s)&,&0\\-\chi _ᆻ(s)&, \ddots, \ddots & &, \\&, \ddots &, 0&,\chi _ᆼ(s)\\0&, &, -\chi _ᆽ(s)&, 0\\\end{bmatrix}.}{e}_ᆫ(s)\\\vdots{\begin{bmatrix}\mathbf \\\mathbf {e} _{n}(s)\\end{bmatrix}}\end{aigned}}}$

여기서 정의한 대로 일반화된 곡선 및 프레임은 다른 출처에서 발견되는 관습과 약간 다를 수 있다는 점에 유의하십시오. 상단 곡률 ${\displaystyle {\chi n}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \$$chi$ $_{n-1}($이 $맥락$에서 비틀림이라고도 함) 및 $프레임$의 마지막 $벡터$는 ${\displaystyle {}_{}}$로 다르다$.$

${\displaystyle \mathbf {r} \left(\mathbf {r}) ^{(1)},\mathbf {r} ^{(n)}\right)}$

(근거의 방향) 일반적인 비틀림에서. Frenet-Serret 공식은 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$와 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$의 기호를 모두 뒤집는 경우에도 불변하며$,$ 이러한 기호의 변경은 프레임의 방향을 긍정적으로 만든다. 위에서 정의한 대로 프레임은 $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 제트로부터 방향을 상속받는다$.$

증명

3 X 3 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {T}\\\mathbf {N}\\\mathbf {B}\end{bmatrix}}}}$

이 행렬의 행은 상호 수직인 단위 벡터: ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $3{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 직교 기준이다$.$ 결과적으로 Q의 전이가 Q: Q의 역행렬과 같다. Q는 직교 행렬이다. 라는 것을 보여 주는 것만으로도 충분하다.

${\displaystyle \left({\frac {dQ}{ds}}\오른쪽)Q^{\top }={\begin{bmatrix}0&\cappa &0\\\\\cappa &0&\tau \0&\end{bmatrix}}}}$

이 방정식의 첫 번째 행은 정상 N과 곡률 κ의 정의에 의해, 그리고 비틀림의 정의에 의해 마지막 행이 이미 고정되어 있다는 점에 유의한다. 그래서 그 사실을 보여 주는 것만으로도 충분하다. dQ/dsQ는^T 스큐 대칭 행렬이다. I = QQ이기^T 때문에 파생상품을 가져가고 제품규칙을 적용하면 산출물이 산출된다.

${\displaystyle {\pregated}0={\frac {d.I}{ds}=\왼쪽({\frac {dQ}{ds}}\오른쪽)Q^{\top }+Q\왼쪽({\frac {dQ}{ds}}\오른쪽)^{\top }\\\implies \왼쪽({\frac {dQ}{ds}}\오른쪽)Q^{\top }=-\왼쪽(\frac {dQ}{ds}}\오른쪽)Q^{\top }\오른쪽)^{\top }\\\end{arged}}}}$

필요한 꼬치꼬치 꼬치꼬치 따위를 설정한다.^[3]

적용 및 해석

프레임의 운동학

접선 T, 정상 N, 비노말 B로 구성된 Frenet-Serret 프레임은 총체적으로 3-공간의 직교 기준을 형성한다. 곡선의 각 지점에서 기준 또는 직선 좌표계의 프레임을 부착한다(이미지 참조).

Frenet-Serret 공식은 키네마틱 해석을 인정한다. 관찰자가 각 점에 부착된 프레임을 좌표계로 사용하여 시간에 따라 곡선을 따라 이동한다고 상상해 보십시오. Frenet-Serret 공식은 관찰자가 곡선을 따라 움직일 때 이 좌표계가 끊임없이 회전한다는 것을 의미한다. 따라서 이 좌표계는 항상 비침투적이다. 관찰자 좌표계의 각운동량은 프레임의 다부스 벡터에 비례한다.

구체적으로 관찰자가 곡선을 따라 (내부) 상판(또는 자이로스코프)을 운반한다고 가정한다. 곡선에 접선을 따라 상단 지점의 축이 있는 경우, 관측자의 비침입 좌표계에 상대적인 각도 속도 -각각 속도로 축을 중심으로 회전하는 것이 관찰된다. 반면, 상단의 축이 이항 방향인 경우, 각속도 -κ로 회전하는 것이 관찰된다. 이는 곡률이 양의 상수이고 비틀림이 사라지는 경우 쉽게 가시화된다. 그러면 관찰자는 균일하게 원을 그리며 움직인다. 상단부가 바이노말의 방향을 가리킬 경우 각운동량 보존에 의해 원형운동의 반대방향으로 회전해야 한다. 곡면성이 소멸되는 제한적인 경우, 관찰자의 정상적인 접선 벡터(targent vector)에 대한 전처리(precess)가 되며, 이와 유사하게 상단은 이 전처리(precession)의 반대 방향으로 회전한다.

일반적인 사례는 아래에 설명되어 있다. 위키미디어에 대한 추가 삽화가 있다.

신청서. 그 틀의 운동신경은 과학에 많은 응용을 가지고 있다.

• 생명과학에서, 특히 미생물 운동 모델에서, Frenet-Serret 프레임의 고려사항은 점성 매체에서 움직이는 유기체가 방향을 바꾸는 메커니즘을 설명하기 위해 사용되었다.^[4]
• 물리학에서 Frenet-Serret 프레임은 궤도에 자연 좌표계를 할당하는 것이 불가능하거나 불편할 때 유용하다. 예를 들어 상대성 이론에서 그러한 경우가 많다. 이 설정 내에서 Frenet-Serret 프레임이 중력 우물에서 자이로스코프의 전 과정을 모형화하는 데 사용되었다.^[5]

그래픽 일러스트레이션

1. 비비안의 곡선을 따라 움직이는 Frenet 기준의 예(T in Blue, N in green, B in purple)

2. 토러스 매듭의 예에는 접선 벡터 T, 정상 벡터 N, 이항 벡터 B와 곡률 κ, 비틀림 τ이 표시된다.
   비틀림 기능의 피크에서는 접선 벡터 주위의 Frenet-Serret 프레임(T,N,B)의 회전이 선명하게 보인다.

3. 곡률의 운동학적 유의성은 평면 곡선(상수 비틀림이 0과 같음)으로 가장 잘 설명된다. 평면 곡선의 곡면성에 대한 페이지를 참조하십시오.

Frenet-Serret 공식은 미적분학에서

Frenet-Serret 공식은 나선과 같은 우주 곡선 연구의 동반자로서 다변량 미적분학 과정에 자주 도입된다. 나선은 한 바퀴의 높이 2㎛h와 반지름 r로 특징지어질 수 있다. 나선형(반경이 일정함)의 곡률과 비틀림은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \kappa ={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}}}$

${\displaystyle \tau =\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}.}$

비틀림 부호는 나선이 중심축을 중심으로 휘어지는 오른손 또는 왼손 감각에 의해 결정된다. 명시적으로 높이 2㎛h, 반지름 r의 오른손잡이 나선형 한 바퀴의 파라메트리제이션이다.

x = r cos t

y = r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π)

왼손잡이 나선의 경우

x = r cos t

y = −r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π)

이는 호 길이 파라메트리제이션이 아니라는 점에 유의하십시오(이 경우 x, y, z 각각을 $h{\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$}}로 나누어야 함).$}}}}$.)

루디 러커는^[6] 곡선의 기하학에 대한 설명서에서 비틀림과 곡률의 의미를 설명하기 위해 슬링키 모형을 사용한다. 그가 말하길, 슬링키는 그 양이 가진 재산의 특징이라고 한다.

${\displaystyle A^{2}=h^{2}+r^{2}}}$

슬링키가 중심축을 따라 수직으로 뻗어 있는 경우에도 일정하게 유지된다. (여기서 2πh는 슬링키의 단일 트위스트의 높이와 반지름 r) 특히 곡률과 비틀림은 구부러진 부분을 스트레칭해 곡률의 희생으로 비틀림을 증가시킬 수 있다는 점에서 보완적이다.

테일러 팽창

반복적으로 곡선을 구분하고 Frenet-Serret 공식을 적용하면 다음과 같은 Taylor가 s = 0에 가까운 곡선에 근사치를 제공한다.^[7]

${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{4}).}$

비바니싱 비틀림이 있는 일반 곡선의 경우, s = 0에서 T, N, B 좌표계의 다양한 좌표면에 대한 곡선의 투영에는 다음과 같은 해석이 있다.

• 오스카 평면은 T와 N이 들어 있는 평면이다. 이 평면에 대한 곡선의 투영 형식은 다음과 같다.
  $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+s {T}+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N}(0)+o(s^{2}).}$$

  
  이것은 순서 o(s²)의 조건까지의 포물선이며, 0의 곡률은 κ(0)과 같다.
• 정상 평면은 N과 B를 포함하는 평면이다. 이 평면에 대한 곡선의 투영 형식은 다음과 같다.
  $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$$

  
  o³(s)를 주문할 수 있는 정육면체.
• 정류면은 T와 B를 포함하는 평면이다. 이 평면에 대한 곡선의 투영은 다음과 같다.
  $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$$

  
  o를 주문하기³ 위해 입방 다항식의 그래프를 추적한다.

리본 및 튜브

Frenet-Serret 기구는 곡선을 중심으로 한 특정 최적의 리본과 튜브를 정의할 수 있다. 이것들은 컴퓨터 그래픽뿐만 아니라 ^[8]재료 과학과 탄성 이론에도 다양한 응용을 가지고 있다.^[9]

C 곡선을 따라가는 Frenet 리본은^[10] 곡선을 따라 정상 단위에서 생성된 선 세그먼트[-N,N]를 쓸어낸 표면이다. 이 표면은 때때로 C의 오스카상 평면의 E 봉투인 탄젠트 현상 가능과 혼동된다. 이것은 아마도 Frenet 리본과 E 모두 C를 따라 비슷한 성질을 보이기 때문일 것이다. 즉, 이 시트들이 교차하는 단수 위치 C 근처에 있는 E의 양쪽 시트 탄젠트 평면은 C의 오스카하는 평면에 접근한다; C를 따라 있는 Frenet 리본의 탄젠트 평면은 이 오스카하는 평면과 같다. Frenet 리본은 일반적으로 개발할 수 없다.

곡선의 일치

고전적인 유클리드 기하학에서는 일치하에서도 불변하는 평면의 인물의 성질을 연구하는 데 관심이 있으므로, 두 개의 형상이 일치하면 반드시 같은 성질을 가져야 한다. Frenet-Serret 기구는 곡률과 비틀림을 공간 곡선의 숫자 불변제로 제시한다.

대략적으로 말하면, 우주에서 C와 C가 두 곡선을 다른 곡선으로 경직되게 이동할 수 있다면 합치된다. 경직된 동작은 번역과 회전의 조합으로 이루어진다. 번역은 C의 한 점을 C의 한 점으로 이동시킨다. 그런 다음 회전은 C곡선의 방향에 맞춰 C곡선의 방향을 조정한다. 이런 번역과 회전의 조합을 유클리드 운동이라고 한다. 첫 번째 곡선 C를 정의하는 파라메트리제이션 r(t) 측면에서 C의 일반 유클리드 운동은 다음 연산의 복합이다.

• (번역) r(t) → r(t) + v, 여기서 v는 상수 벡터다.
• (회전) r(t) + v → M(r(t) + v), 여기서 M은 회전 행렬이다.

Frenet-Serret 프레임은 유클리드적 동작에 관해서 특히 품행이 단정하다. 첫째, T, N, B는 모두 곡선의 파라메트리제이션의 연속파생물로 주어질 수 있으므로, 각각 r(t)에 일정한 벡터를 추가하는 것에 둔감하다. 직관적으로 r(t)에 부착된 TNB 프레임은 새로운 곡선 r(t) + v에 부착된 TNB 프레임과 동일하다.

이것은 단지 회전만을 고려할 뿐이다. 직관적으로 우리가 회전 M을 곡선에 적용하면 TNB 프레임도 회전한다. 보다 정확히 말하면, Frenet-Serret 프레임의 TNB 벡터인 행렬 Q는 회전 행렬에 의해 변화한다.

$QM(디스플레이 스타일 QM.}$

fortiori, 행렬 dQ/dsQ는^T 회전에도 영향을 받지 않는다.

${\displaystyle {\frac {d(QM)}{ds}:{ds}^{\top }={\frac {dQ}{ds}}}}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {dQ}{ds}}}}}Q^{\top }}$

회전^T 행렬의 경우 MM = I이기 때문에

따라서 dQ/dsQ의^T κ과 τ은 유클리드 운동에 따른 곡선의 불변량이다. 만일 유클리드 운동이 곡선에 적용된다면, 결과 곡선은 동일한 곡률과 비틀림을 가진다.

또한 Frenet-Serret 프레임을 사용하면 반대도 입증할 수 있다. 곡률과 비틀림 기능이 동일한 두 곡선은 유클리드 운동에 의해 일치해야 한다. 대략 Frenet-Serret 공식은 TNB 프레임의 Darboux 파생상품을 표현한다. 만약 두 프레임의 Darboux 파생상품이 동일하다면, 미적분학의 기본 정리의 버전은 곡선이 일치한다고 주장한다. 특히 곡률과 비틀림(torsion)은 3차원 곡선에 대한 완전한 불변제 집합이다.

프레임의 기타 표현식

T, N, B에 대해 위에 주어진 공식은 길쭉한 모수의 측면에서 주어진 곡선에 따라 달라진다. 이것은 유클리드 기하학에서 자연적인 가정인데, 이는 아르클릴레르가 곡선의 유클리드 불변성이기 때문이다. 물리학의 용어에서, arclength parametrization은 게이지의 자연스러운 선택이다. 하지만 실제로 함께 일하기엔 어색할 수도 있다. 다른 많은 등가 표현들을 사용할 수 있다.

이 곡선이 r(t)에 의해 주어진다고 가정합시다. 여기서 매개변수는 더 이상 arclength가 필요하지 않다. 그런 다음 단위 접선 벡터 T를 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {T}(t)={\frac {\mathbf {r}'(t){\\mathbf {r}'(t)\}}}}}$

정규 벡터 N이 형태를 취함

${\displaystyle \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\ \mathbf {T} '(t)\ }}={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \left(\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right)}{\left\ \mathbf {r} '(t)\right\ \,\left\ \mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right\ }}}$

B이노말 B는 그때

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\ \mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\ }}}$

같은 표현에 도달하기 위한 대안은 r′(t), r′′(t), r′′(t), r′′′(t)의 첫 번째 세 가지 파생상품을 취하여 그램-슈미트 공정을 적용하는 것이다. 결과적으로 정렬된 정형외과적 기준은 정확히 TNB 프레임이다. 이 절차는 또한 Frenet 프레임을 더 높은 차원으로 제작하기 위해 일반화된다.

매개변수 t의 관점에서 Frenet-Serret 공식은 체인 규칙 때문에 r((t)의 추가 인자를 선택한다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\ \mathbf {r} '(t)\ {\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}}$

곡률과 비틀림에 대한 명시적 표현은 계산할 수 있다. 예를 들어,

${\displaystyle \kappa ={\frac {\mathbf {r} '(t)\mathbf {r}'(t)\{3}}}}$

비틀림은 다음과 같이 스칼라 트리플 제품을 사용하여 표현할 수 있다.

${\displaystyle \tau ={\frac {r} '(t),\mathbf {r}'(t),\mathbf {r}''(t)]{\\mathbf {r}'(t)\{2}}:$

특례

곡률이 항상 0이면 곡선은 직선이 된다. 여기서 벡터 N, B 및 비틀림이 잘 정의되어 있지 않다.

비틀림이 항상 0이면 곡선은 평면에 놓일 것이다.

곡선은 0이 아닌 곡률과 0의 비틀림을 가질 수 있다. 예를 들어 z=0 평면에서 r(t)=(R cos t, R sin t, 0)에 의해 주어진 반지름 R의 원은 비틀림이 0이고 곡률도 1/R과 같다. 그러나 그 반대는 거짓이다. 즉, 비틀림이 0이 아닌 정규 곡선은 0이 아닌 곡률을 가져야 한다. (이것은 곡률 0이 비틀림 0을 의미한다는 사실의 모순일 뿐이다.)

나선은 일정한 곡률과 일정한 비틀림을 가지고 있다.

평면 곡선

x-y 평면에 포함된 곡선을 볼 때 접선 벡터 T도 해당 평면에 포함된다. 그것의 이항 벡터 B는 (z축을 따라) 평면에 대한 정상과 일치하도록 자연적으로 가정될 수 있다. 마지막으로, 곡선 정규는 오른손잡이 시스템인 N = B × T를 완성하는 것을 발견할 수 있다.^[11] 이 형태는 곡률이 0인 경우에도 잘 정의된다. 예를 들어 평면에서 직선까지의 정규 분포는 탄젠트, 모든 공동 평면도에 수직이 된다.

참고 항목

• 곡선의 부착 기하학
• 곡선의 차등 기하학
• 다르부스 틀
• 운동학
• 이동 프레임
• 접선성분 및 일반성분

메모들

참조

• Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet, L. (1993), "Orientation by Helical Motion II. Changing the direction of the axis of motion", Bulletin of Mathematical Biology, 55 (1): 213–230, doi:10.1016/s0092-8240(05)80070-9
• Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino (1995), Salas and Hille's Calculus — One and Several Variables (7th ed.), John Wiley & Sons, p. 896
• Frenet, F. (1847), Sur les courbes à double courbure (PDF), Thèse, Toulouse. Journal de Mathématique Pures et Appliquées 17, 1852년.
• Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R. (2006), "Elastic growth models", BIOMAT-2006 (PDF), Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on 2006-12-29.
• Griffiths, Phillip (1974), "On Cartan's method of Lie groups and moving frames as applied to uniqueness and existence questions in differential geometry", Duke Mathematical Journal, 41 (4): 775–814, doi:10.1215/S0012-7094-74-04180-5, S2CID 12966544.
• Guggenheimer, Heinrich (1977), Differential Geometry, Dover, ISBN 0-486-63433-7
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• Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall
• Struik, Dirk J. (1961), Lectures on Classical Differential Geometry, Reading, Mass: Addison-Wesley.

외부 링크

• 움직이는 Frenet-Serret 프레임, 곡률 및 비틀림 함수의 애니메이션 그림 만들기(Maple Workshot)
• 루디 러커의 카파타우 페이퍼.
• 삼면체에는 아주 멋진 시각적 표현이 있다.