호모토피 원리

수학에서 호모토피 원리(또는 h-원칙)는 부분 미분 방정식(PDE)을 푸는 매우 일반적인 방법이며, 보다 일반적으로 부분 미분 관계(PDR)를 푸는 방법이다.h-원칙은 몰입 문제, 등축 몰입 문제, 유체 역학 및 기타 영역에서 발생하는 것과 같이 충분히 결정되지 않은 PDE 또는 PDR에 좋다.

이 이론은 야코프 엘리아쉬베르크, 미하일 그로모프, 앤서니 5세에 의해 시작되었다.필립스그것은 특히 몰입에 대해 호모토피에 대한 부분적인 미분 관계를 감소시킨 이전의 결과에 근거했다.h-원칙의 첫 번째 증거는 휘트니-그루스타인 정리에 나타났다.이것은 내시-쿠이퍼 등축 C 내장¹ 정리 및 스말-히르슈 몰입 정리가 뒤따랐다.

어림짐작

좌표$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{u\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle u_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$)에서 도 k의 부분 미분 방정식을 만족하는 함수 ƒ을 R에^m 찾고 싶다고 가정하자$(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})$로 다시 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle \Psi(u_{1},u_{2},\dots,u_{m},J_{f}^{k}=0}$

여기서 ${\displaystyle {Jf}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 주문 k까지의 partial의 모든 부분파생물을 의미한다$$.${\displaystyle {}_{}^{}}$ k ${\$${\displaystyle {displaystyle\mathrm{}}_{}}$ $J_{f}^{k}}$의 모든 변수를 새로운 독립 변수 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,{}_{}{y}_{}}$. {\$displaystyle y_{$1},$y_{$2},\$dots,y_{$N}}}에$$ 대해 교환해 보자. 그러면$$ 우리의 원래 방정식은 의 체계라고 생각할 수 있다.

${\displaystyle \Psi \{}^{}{{1}(u_{1}, u_{2},\dots, u_{m}, y_{1}, \dots ,y_{N}=0}$

다음 유형의 방정식 몇 개

${\displaystyle y_{j}={\displaystyle _{j_}={\k}f \over \cHB_{1}}\ldots \cHB_{j_{k}}}}}.}$

의 해결책

${\displaystyle \Psi \{}^{}{{1}(u_{1}, u_{2},\dots, u_{m}, y_{1}, \dots ,y_{N}=0}$

비홀로닉 솔루션이라고 불리며, 우리의 원래 PDE의 해결책이기도 한 시스템의 솔루션을 홀로닉 솔루션이라고 부른다.

우리의 원래 방정식에 대한 해결책이 존재하는지 확인하기 위해서는 우선 비혼성 솔루션이 존재하는지 확인할 수 있다.보통 이것은 꽤 쉬운데, 만약 비혼성 용액이 없다면, 우리의 원래 방정식은 어떤 해법도 가지고 있지 않았다.

PSE는 비혼합성 용액이 비혼합 용액의 등급에서 홀노믹 용액으로 변형될 수 있는 경우 h-원칙을 만족한다.따라서 h-원칙이 존재하는 경우, 차등 위상학적 문제는 대수적 위상학적 문제로 감소한다.보다 분명히 이것은 위상학적 방해 외에 홀로노믹 용액의 존재에 다른 방해물이 없다는 것을 의미한다.비혼합성 용액을 찾는 위상학적 문제는 다루기 훨씬 쉬우며 위상적 번들에 대한 방해 이론으로 해결할 수 있다.

결정되지 않은 많은 부분 미분 방정식은 h-원칙을 만족시킨다.그러나 h-원칙의 허위는 또한 흥미로운 진술이며, 이는 직관적으로 연구되고 있는 물체들이 위상으로 축소될 수 없는 비종교적 기하학을 가지고 있다는 것을 의미한다.예를 들어, 공감각 다지관에 포함된 라그랑비아인들은 h-원칙을 만족시키지 못하는데, 이를 증명하기 위해서는 사이비-홀모픽 곡선으로부터 오는 불변성을 찾을 필요가 있다.

간단한 예

모노톤 함수

아마도 가장 간단한 부분적 차등관계는 파생상품이 사라지지 않는 것일 것이다: $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f'(x)\neq 0.}$적게$$, 이것은 하나의 변수에 함수인 것처럼 일반적인 차등관계다.

이 관계에 대한 홀로노믹 솔루션은 파생상품이 어디에서도 사라지지 않는 함수, 즉 증가하거나 감소하는 엄격히 단조로운 차별화 함수다.그러한 기능의 공간은 증가하는 것과 감소하는 것의 두 개의 분리형 볼록 세트로 구성되며, 호모토피 타입은 2점이다.

이 관계에 대한 비혼합성 솔루션은 두 가지 함수인 f(x)와 연속 함수 g(x)의 데이터로 구성되며 g(x)는 사라지지 않는다.홀노믹 용액은 g(x) = f'(x)를 취함으로써 비홀노믹 용액을 발생시킨다.비혼성 용액의 공간은 g(x)가 양수 또는 음수이므로 두 개의 분리형 볼록 세트로 구성된다.

따라서 비혼성 용액에 홀노믹을 포함시키는 것은 h-원칙을 만족시킨다.

이 사소한 예는 비종교적인 일반화를 가지고 있다: 이것을 원의 범용적 범용 커버 공간에 지도를 들어 올리고 결과적인 모노톤 지도에 위의 분석을 적용함으로써 원 자체의 범용적인 범용적인 범용성을 분류한다 – 선형 지도는 곱하기 각도에 해당한다:${\displaystyle \mathrm{angle}}$ n : ${\displaystyle \t$.$a \mapsto$ n$\theta}($${\displaystyle z^{}}$ z n ${\$ z$^{n$$}).$여기서 순서 0의 몰입은 없다는 것에 유의하십시오. 순서는 스스로 되돌아와야 하기 때문이다.이것을 비행기에 담근 원들로 확장하는 것 – 정확히 몰입 조건은 파생물이 사라지지 않는 조건이다 – 휘트니-그루스타인 정리는 가우스 지도의 호모토피 클래스를 고려하고 이것이 h-원칙을 만족한다는 것을 보여줌으로써 숫자를 돌려서 분류했다; 여기서 다시 순서 0은 더 복잡하다.

Smale은 구의 몰입을 Stiefel 다지관의 호모토피 그룹으로 분류하고, Hirsch는 이를 프레임 다발 지도의 호모토피 등급으로 분류되는 다지관의 몰수로 일반화하는 것은 훨씬 더 일반화되며, 훨씬 더 많이 포함되지만 원칙적으로는 유사하다 -몰입은 h에 대한 파생화가 필요하다.ave 랭크 k는 각 방향의 부분파생물이 사라지지 않고 선형적으로 독립되어야 하며, 그로 인한 가우스 지도의 아날로그는 스티펠 다지관, 또는 더 일반적으로 프레임 묶음 사이에 있는 지도다.

비행기 안에 있는 차

또 다른 간단한 예로, 비행기에서 움직이는 자동차를 생각해보자.평면에서 자동차의 위치는 위치에 대한$$ 두 개의 좌표 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$ 및$$ y ${\displaystyle y}$과($좋은{\displaystyle }$ 선택은 뒷바퀴 사이의 중간 지점의 위치), 자동차의 방향을 설명하는$$ 각도 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 세 가지 매개변수로 결정된다.자동차의 움직임이 방정식을 만족시킨다.

${\dot 스타일 {\dot{x}\sin = {\dot {y}\coses \cos \coses .}$

왜냐하면 비구동 자동차는 바퀴의 방향으로 움직여야 하기 때문이다.로봇공학 용어로는 작업 공간의 모든 경로가 홀노믹한 것은 아니다.

이 경우 비혼성 용액은 대략적으로 말하면 비행기에서 미끄러짐으로써 자동차를 움직이는 것에 해당한다.이 경우 비혼합성 용액은 홀노믹 용액에 동질적일 뿐만 아니라 홀노믹 용액에 의해 임의적으로 잘 근사할 수 있다(제한된 공간에서 평행 주차와 같이 앞뒤로 이동). 이 방법은 임의로 차량의 위치와 각도를 근접하게 근사하게 한다는 점에 유의한다.이것은 이론적으로, 당신의 차 길이보다 더 긴 공간에 평행 주차하는 것이 가능하다는 것을 암시한다.또한 접촉 3 다지관에서는 모든 곡선이 C ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$ -전설 곡선 가까이에 있음을$$ 암시한다.${\displaystyle {이\mathrm{}}^{}}$ 마지막 속성은 일반 h-원칙보다 강하며, C $0{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ C$^{0}$ -dense$$ h-원칙이라고 불린다.

While this example is simple, compare to the Nash embedding theorem, specifically the Nash–Kuiper theorem, which says that any short smooth (${\displaystyle C^{\infty }}$) embedding or immersion of ${\displaystyle M^{m}}$ in ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m+1}}$ or larger can be arbitrarily well approx등축 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$1} -임베딩$$(존중, 몰입)으로 모방.이것은 또한 밀도 높은 h-원칙이며, 비록 훨씬 더 관련이 있지만 비행기의 자동차와 본질적으로 유사한 "흔들림" 또는 오히려 선회하는 기술로 증명될 수 있다.

h-원칙을 증명하는 방법

• 그로모프와 엘리아쉬베르크에 의해 개발된 특이점의 제거
• 스말과 허쉬의 작품을 바탕으로 한 셰프 기법.^[1][2]
• 내시와 카이퍼의 작업에 기초한 볼록 통합.^[3][4][5]

어떤 역설

여기에 h-원칙을 적용하여 증명할 수 있는 몇 가지 반직관적 결과를 나열한다.

• 원뿔 퇴행.^[6]Consider functions f on R² without origin f(x) = x . Then there is a continuous one-parameter family of functions ${\displaystyle f_{t}}$ such that ${\displaystyle f_{0}=f}$, ${\displaystyle f_{1}=-f}$ and for any ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \operatorname$${grad}(f_{t})$은(는) 어느 시점에서도 0이 아니다$$.
• 어떤 열린 다지관도 리만 계의 양(또는 음) 곡률을 허용한다.
• 주름이나 찢어짐이 없는 구면역전은 $S{\displaystyle {}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle$ C$^{1}{{$1} 임팩션$$ ${\displaystyle {S2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle S^{2$
• 그 Nash-Kuiper C1는 등거리 포매 정리, 특히가 C1{\displaystyle C^{1}은 둥근 S2{\displaystyle S^{2}의}등축 몰입}R3{\displaystyle \mathbb{R}^{3}의 임의의 작은 공에 빠져 있다.}. 이 몰입이 될 수 없C 2{\displaystyle C^{2}}왜냐하면을 암시한다.e작은 오셀링 구체는 주요 곡선에 대해 큰 하한을 제공할 수 있으며, 따라서 ${\displaystyle {몰입도}^{}}$가 C 2 {\$displaystyle C^{2}}$인 경우 이는$$ 모든 곳에서 1과 같아야 하며, 표준 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ S$^{2}}$by.가우스의 이론가 에그레기움.

참조

추가 읽기

• 아다치 마사히사, 임베딩과 몰입, 번역 키키 허드슨
• Eliashberg, Y.; Mishachev, N.; Ariki, S. (2002). Introduction to the h-principle. American Mathematical Society.
• Gromov, M. (1986). Partial differential relations. Springer. ISBN 3-540-12177-3.
• De Lellis, Camillo; Székelyhidi, László Jr. (2012). "The h-principle and the equations of fluid dynamics". Bull. Amer. Math. Soc. 49: 347–375. doi:10.1090/S0273-0979-2012-01376-9.