크레이머스-모얄 확장

확률적 공정에서 크라머스-모얄 팽창은 한스 크레이머스와 호세 엔리케 모얄의 이름을 딴 테일러 시리즈의 마스터 방정식 확장을 말한다.^[1][2]이 팽창은 정수-차동 마스터 방정식을 변환한다.

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}=\intdx'[W(x'x')p(x')-W(x'x)p(x,t)]}}$

여기서 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x{}_{}}$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$, t ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle p(x,t x_{0},t_{0}}}($간단한 경우 이 $확률$은 ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$,${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle p(x,t$는 무한 순서 부분 미분 방정식에^[3][4][5] 대한 전환 확률 밀도입니다.

${\displaystyle {\frac {\frac(x,t)}{\put t}=\sum _{n=1}^{n1}{\frac {(-1)^{n}!}}{\frac {\frac ^{n}{n}}{\fil x^{n}}}[\filency _{n}p(x,t)]}}$

어디에

${\displaystyle \alpha _{n}(x)=\int_{-\nft }^{}^{\n(x'-x)^{n(x'\mid x)\dx'.}$

여기서 $W{\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle W(x'\mid$ x$)}$은 전환 확률 비율이다.Fokker-Plank 방정식은 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가 드리프트이고$$ $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}가 확산$$ 계수인 시리즈의 처음 두 항만 유지함으로써 얻어진다.

파울라 정리

파울라 정리는 팽창이 1기 또는 2기 이후에 멈춘다고 명시한다.^[6][7]만약 팽창이 두 번째 항을 지나도 계속된다면, 방정식에 대한 해법이 확률밀도함수로 해석될 수 있도록 무한한 수의 항을 포함해야 한다.^[8]

구현

• Python 패키지로 구현

참조