라플라스 방정식

피에르시몬 라플라스

수학과 물리학에서 라플레이스의 방정식은 그 성질을 처음 연구한 피에르 시몬 라플레이스의 이름을 딴 2차 부분 미분 방정식이다.이것은 종종 다음과 같이 쓰여진다.

\nabla ^{2}\!f=0

또는

\Delta f=0,

어디 Δ)∇⋅ ∇)∇ 2{\displaystyle\Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}은 라플라스 operator,[노트 1]∇ ⋅{\displaystyle \nabla \cdot}은 발산 연산자(또한 비유하고"div"),∇{\displaystyle \nabla}은 기울기 연산자(또한 비유하고"졸업생"), f(x, y, z){\displaystyle f(x,y,z.)}은2회 분할 가능한 실질 가치 함수따라서 라플라스 연산자는 스칼라 함수를 다른 스칼라 함수에 매핑한다.

만약 우측이 주어진 $h(x,y,z)$ 인 h $h(x,y,z)$ ( $h(x,y,z)$ , y $h(x,y,z)$ , $h(x,y,z)$ )로 지정되었다면 $,$ $우리는 다음$ 과 같다 $h(x,y,z)$

\displaystyle \Delta f=h.}

이것을 포아송 방정식이라고 하는데, 라플라스 방정식의 일반화다.라플레이스의 방정식과 포아송의 방정식은 타원 부분 미분 방정식의 가장 간단한 예다.라플레이스의 방정식도 헬름홀츠 방정식의 특수한 경우다.

라플레이스의 방정식에 대한 해법의 일반적인 이론은 전위 이론으로 알려져 있다.라플레이스의 방정식의 두 가지 연속적으로 다른 해법은 조화 함수로서,^[1] 특히 전기학, 중력, 유체 역학 등 물리학의 여러 분야에서 중요하다.열전도에 대한 연구에서 라플라스 방정식은 정상 상태 열 방정식이다.^[2]일반적으로 라플레이스의 방정식은 평형 상황, 즉 시간에 따라 명백하게 의존하지 않는 상황을 기술한다.

다른 좌표계의 양식

직사각형 좌표에서,^[3]

\fla^{2}f={\frac {\f}{{2}f}{\frac {\f^{2}}+{\fract y^{2}}}{\fract y^{\f}{\frac z^{2}}}=0}+{\p.

원통형 ^[3]좌표에서는

\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.

구형 좌표에서 $(r,\theta ,\varphi )$ ( $(r,\theta ,\varphi )$ $(r,\theta ,\varphi )$ ) $(r,\theta ,\varphi )$ 규약을 사용한다 $(r,\theta ,\varphi )$ .^[3]

\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.

보다 일반적으로 곡선 좌표에서는

\nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,

또는

\chla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt{g}}{\frac {\frac{\fract }{\fract \ci ^{i}}\!\left\sqrt {{}g^{ij}{\frac {\frac}{\pxi ^{j}\right)=0,\qquad(g=\detail\{g_{ij}\}}).

경계 조건

디리클레 경계조건

u (r =2)

=

0,

u (R =4)

= 4

sin(5 θ)

인 환형(내부 반지름

r

=

2

및 외측

반지름

R = 4)에 대한 라플레이스의 방정식

라플레이스의 방정식에 대한 디리클레 문제는 $D$ 의 경계에 있는 $φ$ 이 어떤 주어진 함수와 같도록 어떤 도메인 $D$ 에서 해결책 $φ$ 을 찾는 것으로 구성된다.라플라스 연산자가 열 방정식에 나타나기 때문에 이 문제에 대한 한 가지 물리적 해석은 다음과 같다: 경계 조건의 주어진 사양에 따라 영역의 경계에 온도를 고정한다.도메인의 각 지점의 온도가 더 이상 변하지 않는 정지 상태에 도달할 때까지 열이 흐르도록 한다.이후 실내 온도 분포는 해당 디리클레 문제에 대한 해결책에 의해 제공될 것이다.

라플레이스의 방정식에 대한 Neumann 경계 조건에는 $D$ 의 경계에서 함수 $φ$ 자체가 아니라 그 정상적인 파생상품이 명시되어 있다.물리적으로 이것은 $D$ 의 경계에서만 효과가 알려진 벡터장의 전위 구성과 일치한다.열 방정식의 예로는 경계를 통과하는 열량을 규정하는 것과 같다.특히 단열경계에서는 $of$ 의 정상적인 파생상품이 0이다.

라플레이스의 방정식의 해법은 조화함수라고 불리며, 모두 방정식이 충족되는 영역 내에서 분석한다.만약 어떤 두 가지 함수가 라플레이스의 방정식(또는 어떤 선형 동질 미분 방정식)에 대한 해법이라면, 그 합(또는 어떤 선형 결합)도 해결책이 된다.중첩의 원리로 불리는 이 속성은 매우 유용하다.예를 들어, 복잡한 문제에 대한 해결책은 간단한 해결책을 종합하여 구성할 수 있다.

2차원으로

직사각형 좌표에서 두 개의 독립 변수에 있는 라플레이스의 방정식은 형태를 가지고 있다.

{\frac {\fract ^{2}\properties x^{2}}+{\frac {\fract ^{2}\property }{\property y^{2}}}\equiv \{x}+_{y}=0.

분석함수

복합 분석 함수의 실제 부분과 가상 부분은 모두 라플라스 방정식을 만족한다. $즉$ , $z$ = x + $iy이면$

f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

그런

다음

f

(z)

를 분석해야 하는 필수 조건은

u

와

v

가 서로 다르고 Cauchy-Remann 방정식을 만족해야 한다는 것이다.

u_{x}=v_{y},\cHB v_{x}=-u_{y}.

여기서

u

는_x

x

에 관한

u

의 첫 번째 부분파생이다.그 뒤를 잇는다.

u_{y}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y}_{x}_{x}}

그러므로

너

는 라플라스 방정식을 만족시킨다.유사한 계산은

v

가 라플라스 방정식도 만족한다는 것을 보여준다.반대로 고조파 함수가 주어지면 분석함수의 실제 부분인

f (z)(

적어도 국소적)이다.평가판 양식이 다음과 같은 경우

f(z)=\varphi(x,y)+i\i\reason(x,y),

그러면 카우치-리만 방정식은 우리가 설정한다면 만족할 것이다.

\property_{x}=-\varphi _{y},\properties \properties _{y}=\varphi _{x}.

이 관계는

ψ

을 결정하는 것이 아니라 ψ의 증분만을 결정한다.

_{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy,dy.}

φ

에 대한 라플라스 방정식은

ψ

에 대한 통합성 조건이 충족됨을 의미한다.

\ft_{xy}=\ft_{yx}

따라서

ψ

은 적분 선으로 정의할 수 있다.통합성 조건과 스토크의 정리는 두 점을 연결하는 선 적분 값이 경로와 독립적이라는 것을 암시한다.라플라스 방정식의 결과적 해법 쌍을 결합 조화함수라고 한다.이 구조는 국지적으로만 유효하거나, 경로가 특이점을 중심으로 순환하지 않는 경우에만 유효하다.예를 들어

r

과

θ

이 극좌표인 경우

\varphi =\log r,

해당 분석 함수는

f(z)=\log z=\log r+i\theta .

그러나 $θ$ 각도는 원점을 둘러싸지 않는 지역에서만 단일값을 갖는다.

라플라스 방정식과 분석함수의 밀접한 연관성은 라플라스 방정식의 어떤 해법이 모든 주문의 파생상품을 가지고 있으며, 적어도 특이점을 둘러싸지 않는 원 안에서 파워 시리즈로 확장할 수 있음을 암시한다.이는 일반적으로 규칙성이^{[citation needed]} 떨어지는 파동 방정식의 해법과 극명하게 대비된다.

파워 시리즈와 푸리에 시리즈 사이에는 친밀한 관계가 있다.만약 우리가 반지름 $R$ 의 원 안에 있는 파워 시리즈에서 $함수$ f를 확장한다면, 이것은

f(z)=\sum _{n=0}^{\\infit }c_{n}z^{n}}}}

다음과 같이 실제 및 가상 부품이 주어지는 적절히 정의된 계수를 사용하여

c_{n}=a_{n}+ib_{n}.

그러므로

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right],

F

를 위한 푸리에 시리즈야이러한 삼각함수 자체는 다중 각도 공식을 사용하여 확장할 수 있다.

유체 흐름

$u$ 와 $v$ 의 양을 2차원에서 일정하게 압축할 수 없고 비회전적인 흐름의 속도장의 수평 및 수직 구성요소가 되도록 한다.압축할 수 없는 흐름의 연속성 조건은

u_{x}+v_{y}=0,

그리고 흐름이 비뚤어진다는 조건은

\nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0.

함수의 차이를 정의하면

ψ

d\displaystyle d\board =v\,dx-u\,dy,}

그 다음 연속성 조건은 이 차이에 대한 통합성 조건이다. 결과 기능은 흐름선을 따라 일정하기 때문에 스트림 함수라고 불린다.

ψ

의 첫 번째 파생상품은 다음과 같다.

\property_{x}=v,\properties \properties _{y}=-u,

그리고 비회전성 조건은

ψ

이 라플라스 방정식을 만족한다는 것을 의미한다.

ψ

에 결합하는 조화 함수

φ

을 속도 전위라고 한다.Cauchy-Remann 방정식은 다음을 암시한다.

\varphi _{x}=-u,\cHB \varphi _{y}=-v.

따라서 모든 분석 기능은 평면에서 일정하게 압축할 수 없고 비회전적이며 비결정적인 유체 흐름에 해당한다.실제 부분은 속도전위, 상상의 부분은 스트림 기능이다.

전기 공학

맥스웰 방정식에 따르면 시간과 무관한 2개의 공간 차원의 전기장 $(u,$ $v)$ 이 만족한다.

\nabla \times(u,v,0)=(v_{x}-u_{y}){\hat {\mathbf{k}}}}=\mathbf {0},

그리고

\displaystyle \cdot(u,v)=\rho ,}

여기서

ρ

은 전하 밀도다.첫 번째 Maxwell 방정식은 디퍼렌셜의 통합성 조건이다.

d\displaystyle d\barphi =-u\,dx-v\,dy,}

그래서 전위

φ

은 만족하도록 구성될 수 있다.

\varphi _{x}=-u,\cHB \varphi _{y}=-v.

맥스웰 방정식의 두 번째 공식은 다음과 같은 것을 암시한다.

\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho ,

그게 포아송 방정식이야라플라스 방정식은 2차원과 마찬가지로 전기와 유체 흐름에서 3차원 문제에 사용될 수 있다.

3차원으로

근본해법

라플라스 방정식의 근본적인 해결책은

\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{z}=-\delta (x-x',y-y',z-z')

여기서 Dirac 델타 함수 Δ는 지점에 집중된 단위 선원을 나타낸다

(xx,

y',

z

').

어떤 함수도 이 성질을 가지고 있지 않다:사실 그것은 함수라기 보다는 분배다. 그러나 그것은 공간에 대한 통합이 통일이고, 그 지지(함수가 0이 아닌 지역)가 어느 정도 축소되는 함수의 한계라고 생각할 수 있다(약점 해결책 참조).이 방정식에 대해 기본 해결책을 정의할 때 일반적으로 하는 것과 다른 부호 규약을 취하는 것이 일반적이다.이러한 기호의 선택은 -Δ가 양수 연산자이기 때문에 작업하기에 편리하다.따라서 근본 해결책의 정의는

u

의 라플라시안(Laplacian)이 소스 포인트를 둘러싸고 있는 어떤 볼륨에 통합되어 있다면, 다음이 가능하다는 것을 암시한다.

\dV=-1의 \iint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=-1.}

좌표 회전에서는 라플라스 방정식이 변하지 않으며, 따라서 우리는 근원점으로부터의 거리 $r$ 에만 의존하는 해법들 사이에서 근본적인 해법이 얻어질 수 있다고 기대할 수 있다.만약 우리가 볼륨을 원점 주위의 $반지름$ a의 공으로 선택한다면, 가우스의 발산 정리는 다음과 같은 것을 암시한다.

-1=\iint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=\iint _{S}{\frac {du}}\dS=\왼쪽.4\pi a^{2}{\frac {du}{dr}}\right _{r=a}.

그 뒤를 잇는다.

{\frac {du}{dr}=-{\frac {1}{4\pi r^{2}}}

원점 중심인

반경

r의 구에 따라서

u={\frac {1}{4\pi r}}.

반대 기호 규약(물리학에서 사용됨)으로, 이것은 포아송 방정식의 해법에서 발생하는 역제곱 법칙력에 대해 점 입자에 의해 생성되는 잠재력이라는 점에 유의한다.비슷한 주장은 2차원에서

u=-{\frac {\log(r)}{2\pi }}.

여기서

로그(r)

는 자연 로그를 나타낸다.반대 부호 규약과 함께, 이것은 점 같은 싱크(점 입자 참조)에 의해 발생되는 전위인데, 이것은 2차원 비압력 흐름에서 오일러 방정식의 해법이다.

그린의 기능

그린의 기능은 $V권$ 의 경계 $S$ 에 적합한 조건도 만족시키는 근본적인 해결책이다.예를 들어.

G(x,y,z;x',y',z')

만족할 수 있다

\nabla \cdot \nabla G=-\delta(x-x',y-y',z-z')\qquad {\text{}V,

G=0\quad {\text{if}\quad(x,y,z)\qquad {\text{}S.

$이제$ $u$ 가 V의 포아송 방정식에 대한 해법이라면:

\displaystyle \cdla \cdot \cdla u=-f,}

그리고 $u$ 는 $S$ 에서 경계값 $g$ 를 가정하고, 그리고 나서 우리는 다음과 같이 명시하는 Green의 정체성을 적용할 수 있다.

\iiint _{V}\left[G\,\nabla \cdot \nabla u-u\,\nabla \cdot \nabla G\right]\,dV=\iiint _{V}\nabla \cdot \left[G\nabla u-u\nabla G\right]\,dV=\iint _{S}\left[Gu_{n}-uG_{n}\right]\,dS.\,

u와_n G는_n $S$ 에 대한 일반적인 파생상품을 나타낸다. $u$ 와 $G$ 가 만족하는 조건으로 볼 때, 이 결과는 다음과 같이 단순화된다.

u(x',y',z')=\iint _{V}Gf\,dV+\iint _{S}G_{n}g\,dS.\,

$따라서$ 그린의 함수는 데이터 f와 $g$ 의( $x$ $z,$ y $',$ z′)에서 영향을 설명한다. $반지름$ a 구 내부의 경우, 그린의 기능은 반사를 통해 얻을 수 있다(Sommerfeld 1949). 구 중심에서 거리 $ρ$ 에 있는 소스 포인트 $P$ 는 반경 선을 따라 멀리 있는 지점 P'까지 반사된다.

\rho '={\frac {a^{2}}{\\rho }}\,

$만약$ P가 구 안에 있다면, P는 구 밖에 있게 된다는 것에 유의한다.그린의 기능은 다음에 의해 주어진다.

{\frac {1}{4\pi R}-{\frac {a}{4\pi \rho R'},\,

여기서

R

은 선원점

P

까지의 거리를 나타내고

R

and

은 반사점 P까지의 거리를 나타낸다.그린의 함수에 대한 이 표현식의 결과는 포아송 적분 공식이다.

ρ

,

θ

,

φ

을 소스 포인트

P

의 구형 좌표로 한다.여기서

θ

은 수직축과의 각도를 나타내며, 이는 일반적인 미국의 수학적 표기법과는 반대되는 것이지만, 표준적인 유럽 및 물리적 실천에 동의한다.그 다음 구내 디리클레 경계 값

g

을 가진 라플라스 방정식의 해법은 다음과 같다(Zachmanoglu 1986, 페이지 228).

u(P)={\frac {1}{4\pi }}a^{3}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}\right)\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {g(\theta ',\varphi ')\sin \theta '}{(a^{2}+\rho ^{2}-2a\rho \cos \Theta )^{\frac {3}{2}}}}d\theta '\,d\varphi '

어디에

\displaystyle \cos \theta =\cos \cos \theta '+\sin \theta \cos(\varphi -\varphi')}

(θ

,

φ)

와 (

θ,

θ

) 사이의 각도의 코사인이다

.

이 공식의 간단한 결과는 만약

u

가 조화 함수라면, 구의 중심에 있는

u

의 값은 구에 대한 값의 평균값이다.이 평균값 속성은 내부 지점에서 일정하지 않은 고조파 함수가 최대값을 가정할 수 없음을 즉시 암시한다.

라플레이스의 구형 고조파

실제

(Laplace) 구면

고조파 ℓ m

Y =

0, ..., 4

(위아래) 및

m

=

0,

...,

ℓ

(좌우)가장 왼쪽의 기둥, 주 대각선 및 그 밖의 다른 기둥을 따라 영역, 섹터럴, 테스럴 고조파가 각각 묘사된다.(음순 고조파 Y ℓ

Y_{\ell }^{-m}

-

Y_{\ell }^{-m}

{\

(

90^{\circ }/m

고조파

Y_{\ell }^{-m}

90^{\circ }/m

- m

{\displaystyle 90^{\circ }m

구형 좌표에서의 라플레이스의 방정식은 다음과 같다.^[4]

\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.

$f (r,$ $θ,$ $φ)$ = $R (r)$ $Y (θ$ , $φ)$ 형식의 솔루션을 찾는 문제를 고려한다.변수의 분리에 의해 라플레이스의 방정식을 부과함으로써 다음과 같은 두 가지 미분 방정식이 발생한다.

{\frac{1}{R}{\frac {d}{dr}\left(r^{2})=\lambda,\qquad {\frac {1}{1}{dr}\frac {1}{dr}}{dr}}}}{\f^{d}}}}}}}}}{{{{{{{dr)=}}}}}}}}}}}}}Y}{\frac{1}{\sin \theta }{\frac {\partial }}{\partial \theta}}}{\partial Y}{\partial \theta }}}+{\partial \frac {1}{\frac {1}{\partial }{{}{partial }}}}}}}}}}}}}}}{partial \fracY}{\frac{1}{\sin ^{2}\theta }}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}=-\lambda .

$두$ 번째 방정식은 $Y$ 의 $형식$ 이 $Y(,, ))$ = $(())$ ((() $((()$ 이라는 $가정$ 하에 단순화할 수 있다 $.$ 두 번째 방정식에 변수의 분리를 다시 적용하면 미분 방정식의 쌍이 된다.

{\displaystyle {\frac {1}{\Phi }{{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}=-m^{2}}:

\displaystyle \sin \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\\세타 }}{\frac {d}{d\theta }}\왼쪽(\sin \theta {\frac {d\)세타 }{d\theta }}}\오른쪽)=m^{2}}

$몇$ 번인가 m.a priori, $m$ 은 복합 상수지만, $φ$ 은 주기가 $2π$ 를 균등하게 나누는 주기 함수여야 하기 때문에 $m$ 은 반드시 정수, $φ$ 은 복합 $지수 \pm imφ$ e의 선형 결합이다.용액함수 $Y (θ$ , $φ)$ 는 구의 극에서 규칙적이며 여기서 $θ$ = $0,$ $π$ 이다.이 규칙성을 영역의 경계점에서 두 번째 방정식의 해법 $Ⅱ$ 에 부과하는 것은 $ℓ ℓ$ 의 일부 비음수 정수에 대해 $λ$ = $ℓ$ ( $ℓ + 1$ )형식으로 매개변수 λ을 강요하는 스터름-리우빌 문제인데, 이는 궤도 각운동량 측면에서도 아래에 설명된다.또한 변수 $t$ = $cos$ $cos$ 의 변경은 이 방정식을 범례 방정식으로 변환시킨다. 이 방정식은 연관된 범례 다항식 $P ℓ m (cos$ $θ)$ ^[5]의 배수이다. 마지막으로, $R$ 에 대한 방정식은 $R (r)$ = $A ℓ$ + B r $형식$ 의^{−ℓ − 1} 솔루션을 가지고 있다. 즉, $해결책$ 은³ $R$ 힘 B = $0$ 에 걸쳐 정규화되어야 한다.

여기서 용액은 $Y (θ$ , $φ)$ = $θ(θ)$ φ(φ) φ(φ) φ $(φ$ ) φ(φ $)$ 이라고 가정하였다.주어진 $ℓ$ 값의 경우, 이 형태의 2 $solutions$ + $1$ 독립 해법이 $있는데$ , 각 $정수$ m에 대해 -≤≤ m $ℓ$ 이 있다.이러한 각도 용액은 삼각함수의 산물이며, 여기에서 복합 지수 및 관련 범례 다항식으로 표현된다.

{\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=네^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta}}})

어느 정도 충족되는

r^{2}\bla ^{2}Y_{\\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell(\ell +1)Y_{\\ell }^{m}(\theta ,\varphi )

여기서 $Y$ 는_ℓ^m 도 $ℓ$ 과 순서 $m$ 의 구형 고조파 함수로 불리고, $P$ 는_ℓ^m 연관된 레전드레 다항식이며, $N$ 은 정상화 상수이며, $and$ 과 and은 각각 콜로라도와 경도를 나타낸다.특히 콜로라도 $θ$ , 즉 극각은 북극의 $0$ 부터 적도 $π /2$ 까지, 남극의 $π까지$ 이며, 경도 $φ$ , 방위각은 $0 \leq$ < 2 $π$ 으로 모든 값을 가정할 수 있다.고정 정수 $ℓ$ 의 경우 고유값 문제의 모든 $솔루션$ Y $(θ$ , $φ)$

r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell(\ell +1)Y

Y

의_ℓ^m 선형 결합이다.실제로 그러한 해법에 대해 r

Y ℓ (θ,

φ)

는 조화인 동종 다항식의 구형 좌표(아래 참조)로 표현되며, 따라서 치수를 계산하면 그러한 다항식이

2ℓ

+

1

이 선형적으로 독립되어 있음을 알 수 있다.

원점을 중심으로 한 공에서 라플레이스의 방정식에 대한 일반적인 해법은 구형 고조파 함수에 적절한 배율 계수 $r$ 을^ℓ 곱한 선형 조합이다.

{\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{m=-\el }^{m=-\el }^{f_{\ell }^{m}r^{{m}Y_{\ell }^{m}}}}}{m}(ta,\varphi),}).

여기서

f

는_ℓ^m 상수이고

요인 ℓ

r

Y

는_ℓ^m 고체 고조파라고 알려져 있다.그러한 확장은 무도회에서 유효하다.

r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell\to \inforty \}f_{\ell }^{1}{1}/{\ell }}}}}}.

$r>R$ > $r>R$ $r>R$ 의 경우 $r>R$ 대신 $r$ $r$ 의 음의 힘을 가진 고체 고조파를 선택한다 $r$ .그럴 경우 테일러 시리즈( $r=0$ r $r=0$ = $r=0$ $r=0$ ) 대신 $r=\infty$ Laurent 시리즈의 알려진 지역( $r=\infty$ r $r=\infty$ = $r=\infty$ {\ $displaystyle$ r $=\inflt })$ 의 솔루션을 확장하여 용어와 일치시키고 $f_{\ell }^{m}$ ${\$ f_ ${\ell$ }^{ $m$ 을 찾을 필요가 있다. $r=0$

전기 공학

$\mathbf {E}$ ${\$ 을(를) 전기장으로 하고 $\mathbf {E}$ , { $\rho$ 을 $\rho$ (를) 전하 밀도로 하고, $\varepsilon _{0}$ $\varepsilon _{0}$ ${\$ 을 $\varepsilon _{0}$ 자유 공간의 허용성으로 한다.그 후 가우스의 전기 법칙(맥스웰의 첫 번째 방정식)은 미분형 상태에서^[6] 나타난다.

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\barepsilon _{0}}}.

이제, 전기장은 $전위$ V ${\displaystyle$ V}의 음의 경사로 표현될 수 있다 $V$

\mathbf {E} =-\nabla V,

필드가 비회전적인 경우,

\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}

\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}

=

\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}

{\

\mathbf {E}

{\

의 비회전성은 정전기 조건이라고도 한다

\mathbf {E}

\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}

^[6]

\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot(-\nabla V)=-\nabla ^{2}V

\nabla ^{2}V=-\nabla \cdot \mathbf {E}

이 관계를 가우스의 법칙에 연결하면, 우리는 포아송의 전기 방정식을 얻는다.^[6]

\nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\barepsilon _{0}}.

소스가 없는 지역의 특별한 경우 $\rho =0$ = $\rho =0$ ${\displaystyle \rho =0},$ 포아송의 방정식은 전위에 대한 라플레이스의 방정식으로 감소한다.^[6]

영역 ${\mathcal {R}}$ ${\$ 의 경계에 정전기 전위 $V$ $V$ 이(가) 지정된 $V$ 경우 ${\mathcal {R}}$ 이 값은 고유하게 결정된다. ${\mathcal {R}}$ ${\$ 이(가) 지정된 충전 밀도 $\rho$ ${\displaystyle \rho$ $\rho$ 의 전도 물질로 둘러싸여 있고 ${\mathcal {R}}$ 총 충전 $Q$ ${\\displaystyle$ Q}이 $($ 가 $Q$ )^[7] 알려진 경우 $V$ ${\displaystytyle V}$ 도 고유하다 $V$ .

경계 조건과 함께 라플레이스의 방정식을 만족시키지 못하는 전위는 무효한 정전기 전위다.

중력

$\mathbf {g}$ ${\$ 를) 중력장으로 하고 $\mathbf {g}$ , $\rho$ $\rho$ 질량 밀도, $G$ ${\displaystyle$ G $}$ 을(를 $G$ ) 중력 상수로 한다.그렇다면 가우스의 미분형 중력 법칙은 다음과 같다.

\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .

중력장은 보수적이므로 중력 전위의 음의 구배라고 표현할 수 있다.

{\begin{aligned}\mathbf {g} &=-\nabla V,\\\nabla \cdot \mathbf {g} &=\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V,\\\implies \nabla ^{2}V&=-\nabla \cdot \mathbf {g} .\end{aligned}}

가우스의 중력 법칙의 차등 형태를 이용하여 우리는

\nabla ^{2}V=4\pi G\rho ,

포아송의 중력장 방정식이지

빈 공간에서는 $\rho =0$ = 0 $\rho =0$ 을 $\rho =0$ (를) 사용하고

\nabla ^{2}V=0,

중력장에 대한 라플레이스의 방정식이지

슈바르츠실트 미터법에서

S. 페르시데스는^[8] 슈바르츠실트 스페이스의 라플라스 방정식을 상수 $t$ 의 초저체에서 풀었다. $표준변수$ r, $θ$ , $φ$ 을 사용하여 용액은

\Psi(r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{l}(\theta ,\varphi ),

여기서

Y l (θ

,

φ)

는 구형 고조파 함수로서,

R(r)=(-1)^{l}{\frac {(l!)^{2}r_{s}^{l}}}}{{l}}}}{(2l)!}}}{l}\왼쪽(1-{\frac {2r}{r_{s}}\오른쪽)+(-1)^{l+1}{\frac {2l+1)!}{{(l)!^{2}r_{s}^{l+1}}}}}Q_{l}\왼쪽(1-{\frac {2r}{r_{s}}\오른쪽).

여기서 $P$ 와_l $Q$ 는_l 각각 제1종과 제2종의 레전드르 함수인 반면, $r$ 은_s 슈바르츠실트 반지름이다. $매개변수$ l는 임의의 음이 아닌 정수다.

참고 항목

6-sphere 좌표, 라플레이스의 방정식이 R-분리 가능한 좌표계
라플라스 방정식의 일반적인 경우인 헬름홀츠 방정식.
구형 고조파
4차 도메인
전위론
전위 흐름
베이트먼 변환
어니쇼의 정리는 라플라스 방정식을 사용하여 안정적인 정적 강자성 서스펜션이 불가능함을 보여준다.
벡터 라플라시안
근본해법

메모들

^ 델타 기호인 Δ는 어떤 양의 유한 변화를 나타내는 데에도 일반적으로 사용되는데,예를 들어 Δ xcmx1-x2{\displaystyle\Delta x=x_{1}-x_{2}}.라플라시안(Laplacian)을 나타내는 용도는 이 용도와 혼동해서는 안 된다.

참조

^ 스튜어트, 제임스미적분 : 초기 초월체.7부, 브룩스/콜레, Cengage Learning, 2012.14장: 부분파생상품. 페이지 908. ISBN978-0-538-49790-9
^ 질, 데니스 G, 그리고 마이클 R 컬런.경계-값 문제가 있는 미분 방정식.제8판 / Edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013.12장: 사각 좌표의 경계 값 문제. 페이지 462.ISBN 978-1-111-82706-9
^ ^a ^b ^c 그리피스, 데이비드 J. 전기역학 소개2013년 4월 4일, 피어슨.내부 전면 커버.ISBN 978-1-108-42041-9
^ 여기에서 구면 고조파에 대한 접근방식은 (Courant & Hilbert 1966, §V.8, § VII.5) harv error: no target: CITREFCourant Hilbert1966 (도움말)에서 찾을 수 있다.
^ 물리적 애플리케이션은 종종 무한대에서 사라지는 솔루션을 취하여 $A$ = $0$ 이 된다.이는 구형 고조파의 각도 부분에는 영향을 미치지 않는다.
^ ^a ^b ^c ^d 그리피스, 데이비드 J. 전기역학 소개4번가 피어슨, 2013년제2장: 전기 공학. 페이지 83-4.ISBN 978-1-108-42041-9
^ 그리피스, 데이비드 J. 전기역학 소개4번가 피어슨, 2013년제3장:잠재력. 페이지 119-121.ISBN 978-1-108-42041-9
^ Persides, S. (1973). "The Laplace and poisson equations in Schwarzschild's space-time". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 43 (3): 571–578. Bibcode:1973JMAA...43..571P. doi:10.1016/0022-247X(73)90277-1.

추가 읽기

Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0772-9.
Petrovsky, I. G. (1967). Partial Differential Equations. Philadelphia: W. B. Saunders.
Polyanin, A. D. (2002). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-299-2.
Sommerfeld, A. (1949). Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press.
Zachmanoglou, E. C. (1986). Introduction to Partial Differential Equations with Applications. New York: Dover.

외부 링크

"Laplace equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
EqWorld의 Laplace 방정식(특히 솔루션 및 경계 값 문제):수학 방정식의 세계.
exampleproblems.com의 Laplace 방정식을 사용한 초기-초기화 가치 문제의 예.
Weisstein, Eric W. "Laplace's Equation". MathWorld.
라플레이스의 방정식에 의해 관리되는 경계 값 문제가 경계 요소 방법에 의해 수치로 해결될 수 있는 방법을 알아 보십시오.

[1] 델타 기호인 Δ는 어떤 양의 유한 변화를 나타내는 데에도 일반적으로 사용되는데,예를 들어 Δ xcmx1-x2{\displaystyle\Delta x=x_{1}-x_{2}}.라플라시안(Laplacian)을 나타내는 용도는 이 용도와 혼동해서는 안 된다.

[2] 스튜어트, 제임스미적분 : 초기 초월체.7부, 브룩스/콜레, Cengage Learning, 2012.14장: 부분파생상품. 페이지 908. ISBN978-0-538-49790-9

[3] 질, 데니스 G, 그리고 마이클 R 컬런.경계-값 문제가 있는 미분 방정식.제8판 / Edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013.12장: 사각 좌표의 경계 값 문제. 페이지 462.ISBN 978-1-111-82706-9

[Griffiths-4] 그리피스, 데이비드 J. 전기역학 소개2013년 4월 4일, 피어슨.내부 전면 커버.ISBN 978-1-108-42041-9

[5] 여기에서 구면 고조파에 대한 접근방식은 (Courant & Hilbert 1966, §V.8, § VII.5) harv error: no target: CITREFCourant Hilbert1966 (도움말)에서 찾을 수 있다.

[6] 물리적 애플리케이션은 종종 무한대에서 사라지는 솔루션을 취하여 $A$ = $0$ 이 된다.이는 구형 고조파의 각도 부분에는 영향을 미치지 않는다.

[Griffiths-2-7] 그리피스, 데이비드 J. 전기역학 소개4번가 피어슨, 2013년제2장: 전기 공학. 페이지 83-4.ISBN 978-1-108-42041-9

[Griffiths-3-8] 그리피스, 데이비드 J. 전기역학 소개4번가 피어슨, 2013년제3장:잠재력. 페이지 119-121.ISBN 978-1-108-42041-9

[9] Persides, S. (1973). "The Laplace and poisson equations in Schwarzschild's space-time". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 43 (3): 571–578. Bibcode:1973JMAA...43..571P. doi:10.1016/0022-247X(73)90277-1.

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