아이덴티티 요소
Identity element수학에서, 집합에서 동작하는 2진수 연산의 항등 요소 또는 중성 요소는 연산이 [1][2]적용되었을 때 집합의 모든 요소를 변경하지 않는 집합의 요소이다.이 개념은 군이나 링과 같은 대수 구조에 사용됩니다.아이덴티티 요소라는 용어는 혼동의 가능성이 없을 때 종종 아이덴티티로 단축되지만 아이덴티티는 연관된 이진 [3]연산에 암묵적으로 의존합니다.
정의들
(S, θ)를 2치 연산 θ를 갖춘 집합 S로 한다.그러면 S의 요소 e는 a라고 불립니다.S의 모든 s에 대해 e ∗ s = s인 경우 왼쪽 ID, [4]S의 모든 s에 대해 s e e = s인 경우 오른쪽 ID.만약 e가 왼쪽 아이덴티티와 오른쪽 아이덴티티 둘 다라면, 그것은 양면 아이덴티티 또는 단순히 [5][6][7][8][9]아이덴티티라고 불립니다.
덧셈에 관한 항등식을 덧셈 항등식(종종 0으로 표시), 곱셈에 관한 항등식을 곱셈 항등식(종종 [3]1로 표시)이라고 합니다.기본 연산이 다소 자의적일 수 있기 때문에 일반적인 덧셈과 곱셈일 필요는 없습니다.예를 들어 그룹의 경우 ID 요소는 단순히 ee로표시될 수 있습니다.가법 아이덴티티와 곱셈 아이덴티티의 구별은 링, 적분 도메인, 필드 등 바이너리 연산을 모두 지원하는 세트에 가장 많이 사용됩니다.승수 아이덴티티는 보통 후자의 컨텍스트([10][11][12]유니티가 있는 링)에서는 unity라고 불립니다.이것은 곱셈 역수를 갖는 모든 요소인 링 이론의 단위와 혼동해서는 안 된다.그 자체의 정의에 따르면, 통일성 자체는 반드시 하나의 [13][14]단위입니다.
예
| 세트 | 작동 | 신원 |
|---|---|---|
| 실수 | + (표준) | 0 |
| 실수 | ·(곱셈) | 1 |
| 복소수 | + (표준) | 0 |
| 복소수 | ·(곱셈) | 1 |
| 양의 정수 | 최소공배수 | 1 |
| 음수가 아닌 정수 | 최대 공약수 | 0(GCD의 대부분의 정의에서) |
| m-by-n 행렬 | 행렬 덧셈 | 제로 매트릭스 |
| n-xn제곱행렬 | 행렬 곱셈 | In(아이덴티티 매트릭스) |
| m-by-n 행렬 | ○(아다마드 제품) | Jm, n(일행렬) |
| 집합 M에서 자체까지의 모든 함수 | § (기능구성) | 항등함수 함수 |
| 그룹 G의 모든 분포 | θ (콘볼루션) | § (디락 델타) |
| 확장실수 | 최소/최소 | +∞ |
| 확장실수 | 최대/최고 | −∞ |
| 세트 M의 서브셋 | § (교차로) | M |
| 놓다 | § (조합) | ( (빈 세트) |
| 문자열, 목록 | 연결 | 빈 문자열, 빈 목록 |
| 부울 대수 | § (논리적이고) | § (진실) |
| 부울 대수 | ↔(논리적인 이중 조건) | § (진실) |
| 부울 대수 | § (논리 또는) | § (일시성) |
| 부울 대수 | § (표준 또는) | § (일시성) |
| 매듭 | 매듭합 | 매듭을 해제하다 |
| 컴팩트한 표면 | #(연결합계) | S2 |
| 무리 | 다이렉트 프로덕트 | 트리비얼 그룹 |
| 두 요소 {e, f} | §에 의해 정의됨 e ∗ e = f ∗ e = e 및 f ∗ f = e ∗ f = f | e와 f는 모두 왼쪽 아이덴티티입니다 하지만 올바른 정체성은 없다. 그리고 양면 정체성도 없고 |
| 집합 X의 동질 관계 | 상대곱 | 동일성 관계 |
특성.
주어진 등식을 갖는 예제 S = {e,f}에서 S는 반군이다.이것은 (S, ))가 여러 개의 왼쪽 아이덴티티를 가질 가능성을 보여준다.사실, 모든 요소는 왼쪽 아이덴티티가 될 수 있습니다.마찬가지로 여러 개의 올바른 ID가 있을 수 있습니다.그러나 올바른 정체성과 왼쪽 정체성이 모두 존재한다면, 그것들은 동일해야 하며, 결과적으로 하나의 양면 정체성이 된다.
이를 확인하려면 l이 왼쪽 아이덴티티이고 r이 오른쪽 아이덴티티일 경우 l = l ≤ r = r이라는 점에 유의하십시오.특히, 2개의 쌍방향 ID(예를 들어 e와 f)가 있는 경우 e f f는 e와 f 둘 다와 같아야 합니다.
또한 (S, θ)는 곱셈 [3]연산의 짝수 정수의 경우와 같이 항등원소가 [15]없는 경우도 꽤 있을 수 있다.또 다른 일반적인 예는 벡터의 교차곱입니다. 여기서 항등원소의 부재는 0이 아닌 교차곱의 방향이 항상 곱한 원소와 직교한다는 사실과 관련이 있습니다.즉, 원래와 같은 방향에서 0이 아닌 벡터를 얻을 수 없습니다.그러나 동일 요소가 없는 구조의 또 다른 예는 양의 자연수의 가법 반군을 포함한다.
「 」를 참조해 주세요.
주 및 참고 자료
- ^ Weisstein, Eric W. "Identity Element". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-01.
- ^ "Definition of IDENTITY ELEMENT". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-12-01.
- ^ a b c "Identity Element". www.encyclopedia.com. Retrieved 2019-12-01.
- ^ 프레일리(1976년, 페이지 21)
- ^ 보레가드 & 프롤리 (1973년, 96페이지)
- ^ 프레일리(1976년, 페이지 18)
- ^ 허스타인 (1964년, 페이지 26)
- ^ McCoy (1973년, 페이지 17)
- ^ "Identity Element Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2019-12-01.
- ^ 보레가드 & 프롤리 (1973년, 135페이지)
- ^ 프롤리 (1976년, 페이지 198년)
- ^ McCoy (1973년, 페이지 22)
- ^ 프레일리(1976년, 페이지 198, 266년
- ^ 허스타인 (1964년, 페이지 106년)
- ^ McCoy (1973년, 페이지 22)
참고 문헌
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
- Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
- McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225
추가 정보
- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Rewise Products and Graph, De Gruyter Expositions in Mathematics, Vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015-24-15, 14.
