셀버그 적분

수학에서 셀버그 적분은 앳 셀버그(1944년)가 도입한 n차원에 대한 오일러 베타 함수의 일반화다.

셀버그의 적분 공식

${\displaystyle {\reasoned}S_ᆮ(\alpha ,\beta ,\gamma)&,=\int _{0}^{1}\cdots t_{나는}-t_{j}^{2\gamma}\,dt_{1}\cdots dt_{n}\\& _{1\leq i<,j\leq n}_{0}^{1}\prod _ᆳ^ᆴt_ᆵ^ᆶ(1-t_{나는})^{\beta)}\prod \int,=\prod _{j=0}^{n-1}{\frac{\Gamma(\alpha +j\gamma)\Gamma(\beta +j\gamma)\Gamma(1+(j+1)\gamma)}{\Gamma(\alpha +\beta+(n+j-1)\gamma)\Gamma(1+\.감마)}}\end{정렬}}}$

셀버그의 공식은 잘 준비된 초기하학 시리즈에 대한 딕슨의 정체성과 다이슨의 추측에 대한 몇 가지 특별한 경우를 내포하고 있다.

아오모토의 적분식

아오모토(1987)는 약간 더 일반적인 적분 공식을 증명했다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\prod _{i=1}^{k}t_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n} t_{i}-t_{j} ^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}}$

${\displaystyle =S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^{}{\frac {\alpha +(n-j)\gamma }{\alpha +\beta + (2n-j-1)\gma }}}}.}$

메타의 적분

메타의 적분은

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\prod _{i=1}^{n}e^{-t_{i}^{2}/2}\prod _{1\leq i<j\leq n} t_{i}-t_{j} ^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}.}$

원점에 끌리는 선상에서 이동하는 점 전하 가스의 칸막이 기능이다(Mehta 2004).그것의 가치는 셀버그 일체형에서 추론할 수 있으며,

${\displaystyle \prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+j\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}.}$

이것은 셀베르그의 초기 작품을 모르는 메타&다이슨(1963년)이 추측한 것이다.

맥도날드의 적분

맥도날드(1982)는 모든 유한한 뿌리계통에 대한 메타의 적분인 메타의 다음 확장을 추측했다_n−1.

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \cdots \int \left \prod _{r}{\frac {2(x,r)}{(r,r)}}\right ^{\gamma }e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})/2}dx_{1}\cdots dx_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+d_{j}\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}}$

제품은 뿌리 시스템의 뿌리 r 위에 있고 숫자 d는_j 반사 그룹의 불변성 링의 발생기 정도 입니다.Opdam(1989)은 모든 결정학적 반사 그룹에 대해 획일적인 증거를 제시했다.몇 년 후, 그는 가반의 컴퓨터 보조 계산을 이용하면서 그것을 완전히 일반화하여 증명했다.dam)로 증명했다.

참조

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• Aomoto, K (1987), "On the complex Selberg integral", The Quarterly Journal of Mathematics, 38 (4): 385–399, doi:10.1093/qmath/38.4.385
• Forrester, Peter J.; Warnaar, S. Ole (2008), "The importance of the Selberg integral", Bull. Amer. Math. Soc., 45 (4): 489–534, arXiv:0710.3981, doi:10.1090/S0273-0979-08-01221-4
• Macdonald, I. G. (1982), "Some conjectures for root systems", SIAM Journal on Mathematical Analysis, 13 (6): 988–1007, doi:10.1137/0513070, ISSN 0036-1410, MR 0674768
• Mehta, Madan Lal (2004), Random matrices, Pure and Applied Mathematics (Amsterdam), vol. 142 (3rd ed.), Elsevier/Academic Press, Amsterdam, ISBN 978-0-12-088409-4, MR 2129906
• Mehta, Madan Lal; Dyson, Freeman J. (1963), "Statistical theory of the energy levels of complex systems. V", Journal of Mathematical Physics, 4 (5): 713–719, Bibcode:1963JMP.....4..713M, doi:10.1063/1.1704009, ISSN 0022-2488, MR 0151232
• Opdam, E.M. (1989), "Some applications of hypergeometric shift operators", Invent. Math., 98 (1): 275–282, Bibcode:1989InMat..98....1O, doi:10.1007/BF01388841, MR 1010152
• Opdam, E.M. (1993), "Dunkl operators, Bessel functions and the discriminant of a finite Coxeter group", Compositio Mathematica, 85 (3): 333–373, MR 1214452, Zbl 0778.33009
• Selberg, Atle (1944), "Remarks on a multiple integral", Norsk Mat. Tidsskr., 26: 71–78, MR 0018287