하우스도르프 공간

분리 공리
위상학적으로
분리 공리; 위상학적으로
콜모고로프 분류
T0	(콜모고로프)
T1	(프레셰트)
T2	(하우스도르프)
T2½	(우리존)
완전2 T	(완전히 하우스도르프)
T3	(정규 하우스도르프)
T3½	(Tychonoff)
T4	(정상적인 하우스도르프)
T5	(일반적인); 하우스도르프)
T6	(일반적인); 하우스도르프)
	역사;

수학의 위상 및 관련 분야, 하우스도르프 공간, 분리된 공간 또는 T 공간은₂ 서로 단절된 두 개의 뚜렷한 지점의 이웃이 존재하는 위상학적 공간이다. 위상학적 공간에 부과할 수 있는 많은 분리 공리 중에서 '하우스도르프 조건'(T₂)이 가장 많이 사용되고 논의되고 있다. 시퀀스, 그물, 필터 등의 한계의 고유성을 내포하고 있다.^[1]

하우스도르프 공간은 위상의 창시자 중 한 명인 펠릭스 하우스도르프의 이름을 따서 지어졌다. 하우스도르프의 원래 위상적 공간에 대한 정의(1914년)는 하우스도르프 조건을 공리로 포함시켰다.

정의들

각 인접 지역 U와 V로 구분된 x와 y 지점.

위상학적 공간 $X$ ${\displaystyle$ $X$ $}$ 의 $y$ $점$ x ${\$ $displaystyle$ $x$ $}$ 과 $x$ $x$ (와)y {\ $displaystyle$ y}의 인접U {\ $displaystyle$ U}과 $y$ (와)y{\ $displaysty$ $y$ }의 $U$ $V$ 인접성 V ${\displaystytype V$ }이( $와$ $)$ 가 있는 경우 인접 영역으로 구분할 수 있다 $X$ . $스타일$ $U}$ 과 $U$ (와) $V$ $V$ 은 $V$ (는) 분리됨( $U\cap V=\emptyset$ $U\cap V=\emptyset$ V $U\cap V=\emptyset$ = $U\cap V=\emptyset$ ${\displaystyle U\cap V=\empteset }).$ $X$ $X$ 의 모든 고유 지점이 쌍으로 인접성을 구분할 $X$ 수 있는 경우 X {\dorff 공간이다 $X$ . 이 조건은 세 번째 분리 공리( $T_{0},T_{1}$ 0 $T_{0},T_{1}$ , $T_{0},T_{1}$ 1 ${\$ }:{1 $})$ 이므로 하우스도르프 공간을 T $T_{2}$ ${\$ 2}} 공간이라고도 $한다$ . 분리된 공간이라는 명칭도 사용된다.

연관성이 있지만 약하다는 개념은 사전 규칙적인 공간이다. $X$ $X$ 은(는) 위상학적으로 구별할 수 있는 두 점을 분리하여 사용할 수 있는 경우 사전 정규 공간이다 $X$ . 사전정규 공간은 $R_{1}$ $R_{1}$ ${\$ } 공간이라고도 $R_{1}$ 한다.

이 두 조건의 관계는 다음과 같다. 위상학적 공간은 사전적(즉, 위상학적으로 구별할 수 있는 점은 이웃에 의해 구분된다)과 콜모고로프(즉, 구별되는 점은 위상학적으로 구별할 수 있다) 둘 다인 경우에만 하우스도르프다. 위상학적 공간은 콜모고로프 지수가 하우스도르프일 경우에만 사전 규칙적이다.

등가성

위상학적 공간 $X$ ${\displaystyle X$ 의 경우 다음과 같다.^[2]

$X$ $X$ 는 $X$ 하우스도르프 공간이다.
$X$ $X$ 의 그물 제한은 고유하다 $X$ .^[3]
$X$ $X$ 의 필터 제한은 고유하다 $X$ .^[4]
모든 싱글톤 세트 $\{x\}\subset X$ { $\{x\}\subset X$ } $\{x\}\subset X$ $\{x\}\subset X$ \\ $displaystyle \{x\}\subset X}$ 은 X $X$ 의 모든 닫힌 인접 영역의 교차점과 동일하다.(X $\{x\}\subset X$ $X$ 의 $X$ 닫힌 인접성은 x를 포함하는 열린 집합이다 $X$ ^[5]
대각선 $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ = $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ { $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ ( $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ , x $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ ) $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ x $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ } ${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid$ x $\in X\}$ 제품 공간 $X\times X$ $X\times X$ $X\times X$ ${\displaystyle$ X $\time X}$ 의 하위 집합으로 닫힌다 $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ $X\times X$
$X$ $X$ 에 대한 두 점을 갖는 이산 공간으로부터의 주입은 두 개의 개방점과 하나의 폐쇄점을 가진 유한 위상학적 공간에서 단일 점까지 지도와 관련된 리프팅 속성을 가진다 $X$ .

하우스도르프 및 비 하우스도르프 공간의 예

분석에서 접하는 거의 모든 공간은 하우스도르프(Hausdorff)이다. 가장 중요한 것은 (실수의 표준 미터 위상 아래) 실수는 하우스도르프 공간이다. 보다 일반적으로 모든 미터법 공간은 하우스도르프다. 사실 위상학 그룹과 위상학 다지관과 같은 분석에서 많은 사용 공간은 하우스도르프 조건을 그 정의에 명시적으로 명시하고 있다.

T이지만₁ 하우스도르프가 아닌 위상의 간단한 예는 무한 집합에 정의된 공동 피니트 위상이다.

가성공간은 전형적으로 하우스도르프가 아니라 프리 정규공간이며, 분석에서 사용하는 것은 보통 하우스도르프 게이지 공간 구축에만 있다. 실제로, 분석가들이 하우스도르프가 아닌 공간을 가로질러 달릴 때, 그것은 여전히 최소한 사전적일 것이다. 그리고 그들은 단순히 콜모고로프 지수인 하우스도르프(Hausdorff)^[6]로 대체한다.

이와는 대조적으로, 비정규 공간은 추상 대수학 및 대수 기하학에서 특히 대수학 다양성의 자리스키 위상이나 링의 스펙트럼처럼 훨씬 자주 접하게 된다. 그것들은 또한 직관 논리학의 모델 이론에서 발생한다: 모든 완전한 헤이팅 대수학은 어떤 위상학적 공간의 열린 집합의 대수학이지만, 이 공간은 훨씬 덜 규칙적일 필요가 없으며, 사실 보통은 그렇지 않다. 스콧 도메인의 관련 개념도 비정기적인 공간으로 구성된다.

수렴망과 필터에 대한 고유 한계의 존재는 공간이 하우스도르프라는 것을 내포하고 있지만, 모든 수렴 순서가 고유한 한계를 갖는 비하우스도르프 T 공간이₁ 있다.^[7]

특성.

하우스도르프 공간의 서브 스페이스와 제품은 하우스도르프지만,^[8] 하우스도르프 공간의 지수 공간은 하우스도르프가 될 필요가 없다. 사실 모든 위상학적 공간은 어떤 하우스도르프 공간의 몫으로 실현될 수 있다.^[9]

하우스도르프 공간은 T로₁ 모든 단골격이 닫혀 있다는 뜻이다. 마찬가지로, 사전정규 공간은 R이다₀. 비록 그 역은 일반적으로 사실이 아니지만 모든 하우스도르프 공간은 술취한 공간이다.

하우스도르프 공간의 또 다른 좋은 특성은 콤팩트 세트가 항상 닫혀 있다는 것이다.^[10] 하우스도르프가 아닌 공간의 경우, 모든 콤팩트 세트가 닫힌 세트(예: 셀 수 없는 세트의 코코운트 가능 위상)이거나 아닐 수 있다(예: 무한 세트의 코피나이트 위상 및 시에르피에스키 공간).

하우스도르프 공간의 정의는 점들이 이웃에 의해 분리될 수 있다고 말한다. 이것은 겉으로 보기에 더 강한 것을 암시하는 것으로 밝혀졌다: 하우스도르프 공간에서는 모든 쌍의 분리 콤팩트 세트도 이웃에 의해 분리될 수 있다.^[11] 즉, 한 세트의 이웃과 다른 한 세트의 이웃이 있어서 두 이웃이 분리된다. 콤팩트 세트가 종종 포인트처럼 행동하는 일반적인 규칙의 예다.

압축 조건과 사전 정규성은 종종 더 강한 분리 공리를 암시한다. 예를 들어, 지역적으로 컴팩트한 사전 정규 공간은 완전히 규칙적이다. 콤팩트한 사전정규 공간은 정상으로 우리존의 보조정리, 티에체 확장 정리를 만족시키고 국소적으로 유한한 오픈커버에 종속된 통합의 파티션을 갖는 것을 의미한다. 이러한 진술의 하우스도르프 버전은 모든 지역적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간은 타이코노프(Tychonoff)이며, 모든 컴팩트한 하우스도르프 공간은 정상적인 하우스도르프(Hausdorff)이다.

다음 결과는 하우스도르프 공간과의 지도(연속 및 기타)에 관한 몇 가지 기술적 특성이다.

$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 을(를) 연속 함수로 하고 $f:X\to Y$ $Y$ $Y$ 이 $Y$ (가) Hausdorff라고 가정한다. 그러면 $f$ ${\displaystyle$ $f$ $f$ $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ { $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ ( $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ , $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ ( $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ x ) $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ ) $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ x $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ } ${\displaystyle \{(x,f(x)\mid x\in$ X $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ 의 그래프는 $X\times Y$ $X\times Y$ $X\times Y$ ${\displaysty$ X $\time Y}$ 의 닫힌 부분 집합이다 $X\times Y$

Let $f:X\to Y$ be a function and let $\operatorname {ker} (f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}$ be its kernel regarded as a subspace of $X\times X$ .

$f$ $f$ 이 $f$ (가) 연속이고 $Y$ $Y$ 이 $Y$ ( $\ker(f)$ ) Hausdorff이면 $\ker(f)$ ker $\ker(f)$ f ${\displaystyle$ \ker( $f)}$ 이(가 $\ker(f)$ ) 닫힌다.
$f$ $f$ 이 $f$ (가) 열린 돌출이고 $\ker(f)$ ker( $\ker(f)$ $\ker(f)$ $\ker(f)$ 이 $\ker(f)$ (가) 닫힌 경우 $Y$ $Y$ 은(가) 하우스도르프(Hausdorff)이다 $Y$ .
$f$ $f$ 이(가) 연속적인 개방형 추론(즉, 개방된 지수 지도)인 $f$ 경우 $Y$ $Y$ 은(는) $\ker(f)$ ker $\ker(f)$ ) ${\displaysty \ker(f)}$ 이 $\ker(f)$ (가) 닫힌 경우에만 Hausdorff가 된다 $Y$ .

If $f,g:X\to Y$ are continuous maps and $Y$ is Hausdorff then the equalizer ${\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}$ is closed in $X$ . It follows that if $Y$ is Hausdorff and $f$ $f$ 과 $f$ $g$ $g$ 은 $g$ (는) $X$ $X$ 과 $X$ (와) $f=g$ = g $f=g$ 의 밀도 하위 집합에 대한 값에 따라 연속 함수가 결정된다 $f=g$

$f:X\to Y$ : $f^{-1}(y)$ $f:X\to Y$ → Y ${\displaystyle f$ $f^{-1}(y)$ $X\to$ Y $}$ 을(를) 모든 $y\in Y$ $f^{-1}(y)$ $y\in Y$ $y\in Y$ ${\displaystyle$ $f^{-1(y)}$ 이(가 $)$ 압축되어 $f^{-1}(y)$ 있는 폐쇄적인 추론이 되도록 $f:X\to Y$ 두십시오 $y\in Y$ $그러면$ X{\ $displaystyle$ X}이 $X$ $f^{-1}(y)$ $가$ ) Hausdorff라면 Y{\ $dorf$

$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y $f:X\to Y$ 을 $X$ (를) 콤팩트한 하우스도르프 공간을 $가진$ X $X$ 을(를) 가진 지수 맵이 되게 $f:X\to Y$ 하라. 그 후 다음과 같다.

$Y$ $Y$ 는 $Y$ 하우스도르프다.
$[\displaystyle f}$ 는 $f$ 폐쇄된 지도다.
$\ker(f)$ $\ker(f)$ ( $\ker(f)$ ) $\ker(f)$ 이(가) 닫힘 $\ker(f)$ .

사전정기 대 정기성

모든 규칙적인 공간은 모두 하우스도르프 공간과 마찬가지로 사전 규칙적인 공간이다. 정규 공간과 하우스도르프 공간 모두를 지탱하는 위상학적 공간에는 많은 결과가 있다. 대부분의 경우, 이러한 결과는 모든 사전 정규 공간에 대해 적용된다. 사전 정규 공간에 대한 아이디어는 나중에 나왔기 때문에 정규 공간과 하우스도르프 공간에 별도로 등재되었다. 반면에, 진정으로 규칙성에 관한 그러한 결과는 일반적으로 비정규적인 하우스도르프 공간에도 적용되지 않는다.

사전정규성이 충족되면 위상 공간의 또 다른 조건(예: 파라콤팩트성 또는 국소 콤팩트성)이 규칙성을 암시하는 상황이 많다. 그러한 조건들은 종종 정규 버전과 하우스도르프 버전 두 가지 버전으로 나온다. 비록 하우스도르프 공간은 아니지만, 일반적으로는 지역적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간도 규칙적일 것이다. 왜냐하면 어떤 하우스도르프 공간도 사전 규칙적이기 때문이다. 따라서 어떤 관점에서 보면 이런 상황에서 중요한 것은 규칙성보다는 정말로 사전정칙성이다. 그러나 이러한 조건이 사전적 규칙성보다 더 잘 알려져 있기 때문에, 정의는 대개 규칙성의 관점에서 여전히 표현된다.

이 문제에 대한 자세한 내용은 분리 공리의 기록을 참조하십시오.

변형

'하우스도르프', '분리', '사전정기' 등의 용어는 위상학적 공간에서는 균일한 공간, 카우치 공간, 융합 공간 등에도 적용될 수 있다. 이러한 모든 예에서 개념을 통합하는 특징은 그물망과 필터의 한계(존재할 때)가 고유하거나(분리된 공간의 경우) 위상학적 구별이 불가능(사전 정규 공간의 경우)까지 고유하다는 점이다.

밝혀진 바와 같이 균일한 공간, 그리고 보다 일반적으로 카우치 공간은 항상 사전 규칙적이기 때문에 이러한 경우의 하우스도르프 상태는 T 상태로₀ 감소한다. 이것들은 또한 완전성이 일리가 있는 공간이며, 하우스도르프성은 이러한 경우 완전성의 자연스러운 동반자다. 구체적으로, 공간은 모든 카우치 네트가 적어도 하나의 한계를 가지고 있는 경우에 한해서만 완전한 반면, 공간은 모든 카우치 네트가 최대 하나의 한계를 가지고 있는 경우에 한해서만 하우스도르프다(애초에 카우치 그물만이 한계를 가질 수 있기 때문이다).

함수 대수

콤팩트한 하우스도르프 공간에서의 연속(실제 또는 복합) 함수의 대수학(대수학)은 정류 C*-알지브라(communative C*-algebra)이며, 반대로 바나흐-스톤 정리(Banach-Stone)에 의해 연속함수의 대수학 특성에서 공간의 위상을 회복할 수 있다. 이것은 비확정 기하학으로 이어지며, 여기서 비확정 C*-algebras는 비확정 공간의 함수의 알제브라를 나타내는 것으로 간주한다.

학문적 유머

하우스도르프 조건은 하우스도르프 공간에서는 두 점 중 어느 것이든 오픈 세트로 서로 "호스트오프"할 수 있다는 말장난으로 잘 드러난다.^[12]
펠릭스 하우스도르프가 연구하고 강의한 본대학 수학연구소에는 하우스도르프-라움이라는 특정 방이 있다. 라움이 독일어로 공간과 공간을 모두 의미하기 때문에 이것은 말장난이다.

참고 항목

퀘이시토폴로지 공간
허약한 하우스도르프 공간
고정점 공간, 모든 연속함수 $f$ : $X$ → $X$ 가 고정점을 갖는 Hausdorff 공간 X.

메모들

^ ^{[필요하다]}https://ncatlab.org/nlab/show/separation+axioms
^ "separation axioms in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2020-01-01.
^ 윌러드, 86-87쪽
^ 윌러드, 86-87쪽
^ 부르바키, 페이지 75.
^ Lp space#Lp space, Banach-Mazur compactum 등을 참조하십시오.
^ van Douwen, Eric K. (1993). "An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits". Topology and Its Applications. 51 (2): 147–158. doi:10.1016/0166-8641(93)90147-6.
^ "Hausdorff property is hereditary". PlanetMath.
^ Shimrat, M. (1956). "Decomposition spaces and separation properties". Quart. J. Math. 2: 128–129. doi:10.1093/qmath/7.1.128.
^ "A compact set in a Hausdorff space is closed (proof)". PlanetMath.
^ 윌러드, 124페이지
^ 콜린 아담스와 로버트 프란조사. 토폴로지 소개: 순수하고 적용됨. 페이지 42

참조

아르한겔스키, A.V. L.S. 폰트랴긴, 제너럴 토폴로지 I, (1990) 베를린 스프링거-베를라크. ISBN 3-540-18178-4.
부르바키; 수학의 요소: 일반 위상, 애디슨 웨슬리(1966년).
"Hausdorff space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

[1] {[필요하다]}https://ncatlab.org/nlab/show/separation+axioms

[2] "separation axioms in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2020-01-01.

[3] 윌러드, 86-87쪽

[4] 윌러드, 86-87쪽

[5] 부르바키, 페이지 75.

[6] Lp space#Lp space, Banach-Mazur compactum 등을 참조하십시오.

[7] van Douwen, Eric K. (1993). "An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits". Topology and Its Applications. 51 (2): 147–158. doi:10.1016/0166-8641(93)90147-6.

[8] "Hausdorff property is hereditary". PlanetMath.

[9] Shimrat, M. (1956). "Decomposition spaces and separation properties". Quart. J. Math. 2: 128–129. doi:10.1093/qmath/7.1.128.

[10] "A compact set in a Hausdorff space is closed (proof)". PlanetMath.

[11] 윌러드, 124페이지

[12] 콜린 아담스와 로버트 프란조사. 토폴로지 소개: 순수하고 적용됨. 페이지 42

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v t 위상
필드	일반(포인트 세트) 대수학 콤비네토리얼 연속체 미분 기하학 저차원의 호몰로지 코호몰로지 세트-테오틱
주요개념	오픈 세트 / 클로즈드 세트 연속성 공간 작은 연결된 하우스도르프 미터법 획일적인 호모토피 호모토피 그룹 기본 집단 심플리컬 콤플렉스 CW 콤플렉스 다지관 세컨드 카운트 가능 공간
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