유계 집합
Bounded set
수학 해석과 수학의 관련 영역에서, 집합이 어떤 의미에서 유한 크기일 경우, 집합은 유계라고 불립니다.반대로, 경계가 없는 집합을 무한 집합이라고 합니다.해당 메트릭이 없는 일반 위상 공간에서 '경계'라는 단어는 의미가 없습니다.
실수의 정의
실수의 집합 S는 S의 모든 s에 대해 k µ s가 되는 (꼭 S에 있는 것은 아니다) 어떤 실수 k가 존재하는 경우 위에서부터의 경계라고 불린다.숫자 k를 S의 상한이라고 합니다.아래에서 경계가 되는 항과 하한에서 경계가 되는 항도 비슷하게 정의됩니다.
집합 S에 상한과 하한이 모두 있는 경우, 그 집합 S는 유계된다.따라서, 유한한 간격에 포함되는 실수의 집합은 한정됩니다.
메트릭 공간의 정의
메트릭 공간(M, d)의 서브셋 S는 r > 0이 존재하여 S의 모든 s 및 t에 대해 d(s, t) < r을 가진다.메트릭 공간(M, d)은 M이 그 서브셋으로서 경계가 있는 메트릭 공간(또는 d는 경계가 있는 메트릭)이다.
- 전체 유계성은 유계성을 암시합니다.R의 부분n 집합의 경우 이 두 가지는 동일합니다.
- 메트릭 공간은 완전하고 완전한 경계가 있는 경우에만 컴팩트합니다.
- 유클리드 공간n R의 부분 집합은 닫혀 있고 경계가 있는 경우에만 압축된다.
위상 벡터 공간의 경계성
위상 벡터 공간에서는 유계집합에 대한 다른 정의가 존재하는데, 이것은 때때로 폰 노이만 유계집합이라고 불린다.만약 위상 벡터 공간의 위상이 노름 벡터 공간의 노름에 의해 유도되는 메트릭의 경우와 같이 균일한 메트릭에 의해 유도된다면, 두 정의는 일치한다.
순서론의 경계성
실수의 집합은 상한과 하한이 있는 경우에만 한정됩니다.이 정의는 부분적으로 정렬된 집합의 하위 집합으로 확장할 수 있습니다.이 보다 일반적인 경계성의 개념은 "크기"의 개념에 해당되지 않습니다.
부분순서 집합 P의 부분집합 S는 P에 원소 k가 존재하여 S에 있는 모든 s에 대해 k µs가 존재하는 경우 위의 유계집합 S라고 한다.요소 k를 S의 상한이라고 합니다.아래 경계와 하한의 개념은 유사하게 정의된다(상하한 참조).
부분순서 집합 P의 부분집합 S는 상한과 하한을 모두 가지면 유계라고 하고, 간격에 포함되는 경우에는 등가라고 한다.이것은 집합 S의 특성뿐만 아니라 집합 S의 하위 집합으로서 집합 S의 하나이기도 합니다.
유계 포지트 P(즉, 서브셋이 아닌 것)는 최소 요소와 최대 요소를 가진 것입니다.이 유계성의 개념은 유한 크기와는 무관하며, P에 대한 차수의 제한이 있는 유계 포지트 P의 부분 집합 S가 반드시 유계 포지트일 필요는 없다는 점에 유의한다.
R의n 부분집합 S는 R의n 부분집합으로서 곱순서에 의해 경계가 되는 경우에만 유클리드 거리에 대해 경계가 된다.그러나, S는 사전적 순서로 R의 부분n 집합으로 제한될 수 있지만, 유클리드 거리에 관해서는 제한되지 않는다.
서수의 클래스는 무한하다고 불리며, 서수가 주어지면 그 클래스에는 항상 그보다 큰 요소가 있다.따라서 이 경우 "무제한"은 그 자체로 무한함을 의미하는 것이 아니라 모든 서수 클래스의 하위 클래스로서 무한함을 의미합니다.
「 」를 참조해 주세요.
레퍼런스
- Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1982). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-05944-7.
- Richtmyer, Robert D. (1978). Principles of Advanced Mathematical Physics. New York: Springer. ISBN 0-387-08873-3.
