폰 스토트 코닉

Von Staudt conic

투사 기하학에서 폰 스토트 원뿔은 절대점을 갖는 극성의 모든 절대점에 의해 정의된 지점 세트다.실제 투영면에서 폰 스토트 원뿔은 통상적인 의미에서 원뿔형 단면이다.더 일반적인 투영 평면에서 이것은 항상 그런 것은 아니다.Karl Georg Christian von Staudt는 투영 기하학에서 모든 계량적 개념을 제거하려는 시도의 일환으로 Geometrie der Lage(1847)에서 이 정의를 소개했다.

극성

투영면 P의 극성인 π은 발생 관계를 보존하는 P의 선과 점 사이의 무의식적인 (즉 순서 2의) 편향이다.따라서 극성은 점 Q와 선 Q와 관련되며, 게르곤느에 이어 Q와 Q의 극성이라고 불린다. [1]극성의 절대점(선)은 그 극성(극성)과 충돌하는 것이다.[2][3]

극성에는 절대점이 있을 수도 있고 없을 수도 있다.절대점이 있는 극성을 쌍곡극성이라고 하고 절대점이 없는 극성을 타원극성이라고 한다.[4]복잡한 투영 평면에서 모든 극성은 쌍곡선이지만 실제 투영 평면에서 일부만 그렇다.[4]

임의의 영역에 대한 극성의 분류는 비르코프와 폰 노이만이 준 세시린 형태의 분류에서 따온 것이다.[5]대칭 이선형상에 해당하는 직교 극성을 일반 극성이라고도 하며, 절대점들의 중심은 장에 특성 2가 없는 경우 비분해성 원뿔(좌표를 만족하는 점들의 집합)을 형성한다.특성 2에서 직교 극성을 유사점이라고 하며 평면에서는 절대점이 선을 형성한다.[6]

유한 투영 평면

만일 π이 유한한 투영면(데시언할 필요는 없음), 순서 n의 P의 극성이라면, 그 절대점(또는 절대선)의 수는 다음과 같이 a(π)가 주어진다.

a(iii) = n + 2r√n + 1

여기서 r은 음이 아닌 정수다.[7]a(π)는 정수이므로 n이 정사각형이 아니면 a(π) = n + 1이며, 이 경우 π을 직교 극성이라고 한다.

R. Baer는 n이 홀수일 경우 직교 극성의 절대점이 타원(즉, n + 1 점, 공선 없음)을 형성하는 반면, n이 짝수일 경우 절대점이 비절대 선에 놓여 있다는 것을 보여주었다.[8]

요약하자면, 폰 스토트 원뿔은 일정한 순서의 유한 투영 평면에서 난자가 아니다.[9][10]

다른 유형의 원뿔과의 관계

주요 기사: 비 데카게스 평면 § 코닉스

파피안 평면(즉, 밭에 의해 조정되는 투영 평면)에서, 필드에 특성 2가 없는 경우, 폰 스타우트 원뿔은 슈타이너 원뿔에 해당한다.[11]그러나 R. Artzy는 이러한 원뿔의 두 가지 정의가 (무한) 무방 평면에서 비이성형 물체를 생산할 수 있다는 것을 보여 주었다.[12]

메모들

  1. ^ Coxeter 1964, 페이지 60
  2. ^ 가너 1979, 페이지 132
  3. ^ 콕시터와 몇몇 다른 작가들은 절대적이 아닌 자기 콘주게이트라는 용어를 사용한다.
  4. ^ a b Coxeter 1964, 페이지 72
  5. ^ Birkhoff, G.; von Neumann, J. (1936), "The logic of quantum mechanics", Ann. Math., 37: 823–843
  6. ^ Barwick, Susan; Ebert, Gary (2008), Unitals in Projective Planes, Springer, pp. 16–18, ISBN 978-0-387-76364-4
  7. ^ Ball, R.W. (1948), "Dualities of Finite Projective Planes", Duke Mathematical Journal, 15: 929–940, doi:10.1215/s0012-7094-48-01581-6
  8. ^ Baer, Reinhold (1946), "Polarities in Finite Projective Planes", Bulletin of the American Mathematical Society, 52: 77–93, doi:10.1090/s0002-9904-1946-08506-7
  9. ^ 가너 1979, 페이지 133
  10. ^ 뎀보스키 1968, 페이지 154-155
  11. ^ Coxeter 1964, 페이지 80
  12. ^ Artzy, R. (1971), "The Conic y = x2 in Moufang Planes", Aequationes Mathematicae, 6: 30–35, doi:10.1007/bf01833234

참조

추가 읽기

  • Ostrom, T.G. (1981), "Conicoids: Conic-like figures in Non-Pappian planes", in Plaumann, Peter; Strambach, Karl (eds.), Geometry - von Staudt's Point of View, D. Reidel, pp. 175–196, ISBN 90-277-1283-2