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函數最高點同最低點

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函數最高點與最低點maxima and minima)分別係指函數入面數值最高同埋最低嘅一點。喺數學分析入面,主要討論嘅係間上連續函數嘅最高點同最低點。

最高點同最低點

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假設,同埋

最高點

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如果度有最高點(has an absolute maximum on ),即係話度有一點,對應所有嘅符合

噉就叫做「嘅最高點」(absolute maximum point for on )。

最低點

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如果度有最低點(has an absolute minimum on ),即係話度有一點,對應所有嘅符合

噉就叫做「嘅最低點」(absolute minimum point for on )。

最高點最低點定理

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假設係一個關閉又被綁定嘅間距上面係連續嘅。咁就會有喺到一點最高點同最低點。

證明:

考慮非空集係函數嘅所有數值。

利用間上綁定定理,得知

。(想證明有兩點符合

證明

因為,如果有一個,咁就唔係一個上限界。

咁即係就會有一個符合

因為係被綁定,咁數列都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理,得知有子數列趨向一點

因為係喺入面,所以都會係喺入面。

因為係喺呢點度連續,所以會趨向

因為子數列,所以成立。

因為,利用夾縫定理得知,即係

證明

因為,如果有一個,咁就唔係一個下限界。

咁即係就會有一個符合

因為係被綁定,咁數列都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理,得知有子數列趨向一點

因為係喺入面,所以都會係喺入面。

因為係喺呢點度連續,所以會趨向

因為子數列,所以成立。

因為,利用夾縫定理得知,即係

睇埋

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