梯形

梯形（美式英语：trapezoid，英式英语：trapezium）是只有一组對邊平行的凸四邊形。梯形平行的兩條邊为底边，分別稱為上底和下底，其间的距離為高，不平行的两条边为腰。下底与腰的夹角为底角，上底与腰的夹角为顶角。有的也将梯形定义为有至少一组对边平等的凸四边形，从而将平行四边形也视为一种梯形。

梯形
梯形
類型	四邊形
對偶	平行四邊形
邊	4
頂點	4
面積	${\frac {1}{2}}(a+b)h$
特性	凸

性质

中位线

由梯形两腰的中点连成的线段称为梯形的中位线。梯形的中位线与上底和下底都平行，长度为上底与下底的长度之和的一半，即：$$m={\frac {\left(a+b\right)}{2}}$$

高

若$a,b$為梯形的底邊，$c,d$為梯形的兩腰，其中$a\neq b$，則两个底之间的距离称为高，其长度为： $$h={\frac {\sqrt {-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{2\left|a-b\right|}}$$

面積

梯形的面積$S$满足： $$S={\frac {1}{2}}(a+b)h$$ 其中，$h$是梯形的高，$a$和$b$分别为其上底和下底。

事实上，由于中位线$m={\frac {a+b}{2}}$因此梯形面積$S$亦满足： $$S=mh$$ 其中 $m$ 为中位线的长度。

以上两个公式均适用于任何梯形，也包括平行四边形。

边与角的关系

• 上下底边平行，因此上下邻角互为补角，度数和为180度。
• 对角线分割另一条对角线的比相同。

分类

等腰梯形

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两腰长度相等的梯形称为等腰梯形，具有如下性质：

1. 两条对角线相等。
2. 同一底上的二内角相等。
3. 对角互补，四顶点共圆。

依据以上性质，判定一个四边形是等腰梯形可以通过以下命题：

1. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
2. 同一底上的二内角相等的梯形是等腰梯形。
3. 四顶点共圆的梯形是等腰梯形。

直角梯形

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一个底角为90°的梯形是直角梯形。由于梯形的二底边平行，因此根据同旁内角关系，直角梯形一腰上的两个底角都是90°。

正交梯形

对角线相互垂直的梯形是正交梯形。

圆外切梯形

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存在内切圆的梯形称为圆外切梯形，此外还有圆外切等腰梯形和圆外切直角梯形子类型。

参考文献

• The Trapezoid Law, Theorem and Their Applications