查看“︁纳维-斯托克斯方程”︁的源代码

{{RoughTranslation}}
{{NoteTA|G1=Chemistry|G2=Physics}}

'''纳维－斯托克斯方程'''（{{lang|en|Navier-Stokes equations}}），是一组描述[[液体]]、[[空气]]等[[流体]]的運動的[[偏微分方程]]。该方程以法國物理學家[[克劳德-路易·纳维]]和愛爾蘭物理學家[[乔治·斯托克斯]]的名字命名。

纳维尔－斯托克斯方程描述了[[牛頓流體]]在运动过程中需要满足的[[動量守恆|動量]]和[[質量守恆]]性质。在纳维－斯托克斯方程的一些应用中，会将该方程与[[状态方程]]一同列出，以說明流體[[壓強]]、[[溫度]]和[[密度]]三者之間的關係。<ref>{{cite book |title=Understanding Aerodynamics: Arguing from the Real Physics |first=Doug |last=McLean |publisher=John Wiley & Sons |year=2012 |chapter=Continuum Fluid Mechanics and the Navier-Stokes Equations |pages=13&ndash;78 |quote=The main relationships comprising the NS equations are the basic conservation laws for mass, momentum, and energy. To have a complete equation set we also need an equation of state relating temperature, pressure, and density... |chapter-url=https://www.google.com/books/edition/Understanding_Aerodynamics/UE3sxu28R0wC?hl=en&gbpv=1&pg=PA13 |language = en}}</ref>

纳维－斯托克斯方程是将[[牛顿第二定律]]应用到[[流体动力学]]之后得到的结果。与[[歐拉方程 (流體動力學)|欧拉方程]]不同，纳维－斯托克斯方程考虑了流体的[[黏度|粘性]]。它假设流体在运动过程中，其所受的[[应力]]是正比于速度[[梯度]]的[[扩散]]黏性力和压力的总和。因此，纳维－斯托克斯方程可以描述有黏性流体的运动；而欧拉方程仅能描述[[无粘性流]]的运动。在流体黏性为零时，纳维-斯托克斯方程退化為歐拉方程。

纳维－斯托克斯方程的应用十分广泛。它可以用于模拟[[天气]]、[[洋流]]、管道中的水流、[[星系]]中恒星的运动、[[翼型]]周围的气流，也可以用于设计飞行器和车辆、研究血液循环、设计电站、分析污染效应等等。如果将纳维尔－斯托克斯方程與[[馬克士威方程組]]聯立，还可以研究[[磁流體力學]]。

纳维－斯托克斯方程难以求解。实用上，也只有最简单的情况才能用这种方法获得已知解。这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非[[紊流]]，其中流体的[[粘滞系数]]很大或者其速度很小（低[[雷诺数]]）。对于更复杂的情形，例如[[厄尔尼诺]]这样的全球性气象系统或[[机翼]]的[[升力]]，現時僅能借助计算机求出纳维-斯托克斯方程的[[數值解]]。这个科学领域称为[[计算流体力学]]。

虽然[[紊流]]是日常经验中就可以遇到的，但这类[[非线性系统|非线性问题]]在理論上极难求解，仍未能證明[[三維空間]]中是否總存在[[光滑函數|光滑解]]，甚至[[有界函數|有界解]]。此問題稱為[[納維-斯托克斯存在性與光滑性]]。[[克雷数学学院]]于2000年5月21日列入[[千禧年大獎難題|七大未解難題]]，懸賞一百萬[[美元]]，奖励找到[[數學證明]]或[[反例]]的任何人。<ref>{{Citation
| url = http://www.claymath.org/millennium-problems/navier%E2%80%93stokes-equation
| website = claymath.org
| title = Millennium Prize Problems—Navier–Stokes Equation
| publisher = Clay Mathematics Institute
| date = March 27, 2017
| access-date = 2017-04-02
| language = en
| archive-date = 2015-12-22
| archive-url = https://web.archive.org/web/20151222054637/http://www.claymath.org/millennium-problems/navier%E2%80%93stokes-equation
| dead-url = no
}}</ref><ref>{{cite web
 | url = http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf
 | title = Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation
 | last = Fefferman
 | first = Charles L.
 | website = claymath.org
 | publisher = Clay Mathematics Institute
 | access-date = 2017-04-02
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20150415042320/http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf
 | archive-date = 2015-04-15
 | url-status = dead
|language = en
 }}</ref>

==性质==

===非线性===

纳维－斯托克斯方程的一般形式是[[非线性]]的[[偏微分方程]]，所以在大多数实际情况下仍是如此。<ref>Fluid Mechanics（Schaum's Series）, M. Potter, D.C. Wiggert, Schaum's Outlines, McGraw-Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-148781-8</ref><ref>Vectors, Tensors, and the basic Equations of Fluid Mechanics, R. Aris, Dover Publications, 1989, ISBN (10) 0-486-66110-5</ref>在特定情况，如一维流和[[斯托克斯流]]（又稱蠕动流）下，方程可以简化为线性方程组。非线性項的出現，令大部分问题變得很难，甚至無法求解。另一方面，方程組能描述[[湍流]]，而非線性正是湍流出現的重要因素。

方程式中的非线性項是[[对流]]加速（与点速度变化相关联的加速度），因此，任何对流，无论湍流与否，都会涉及非线性。有對流但仍為[[層流]]（而非湍流）的例子如下：考慮黏性液體（如油），流經一個細小並逐漸收窄的{{le|噴嘴|nozzle}}。此種流，不論能否確切解出，通常都能透徹研究、理解。<ref>{{cite book |title=McGraw Hill Encyclopaedia of Physics |edition=2nd |first=C. B. |last=Parker |year=1994 |isbn=0-07-051400-3 |language = en}}</ref>

=== 湍流 ===
{{see also|湍流}}

湍流是时变的[[混沌理论|混沌]]行为，这种行为常见于许多流体流动中。人们普遍认为，湍流的成因，是整個流體的[[慣性]]：时變加速度與对流加速度疊加，以產生亂流告終。因此惯性影响很小的流体，往往是层流（[[雷诺数]]量化了流所受惯性的大小）。虽然不完全确定，但一般相信纳维－斯托克斯方程能够合理地描述湍流。<ref>Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN（VHC Inc.）0-89573-752-3</ref>

纳维-斯托克斯方程关于湍流的数值解是非常难得到的，而且由于湍流之中，有多個显著不同的{{le|亂流模型|Turbulence modeling|混合长度}}尺度，若要得到穩定解，所需要的分辨率要極度精细，於是计算或{{le|直接數值模擬|Direct numerical simulation}}的时间長得不可行。若试圖用解层流的方法来解决湍流问题，通常会得到时间不稳定的解，而不能适当收敛。为了解决这个问题，[[計算流體力學]]中，實際模擬湍流的程序，多採用[[雷諾平均納維－斯托克斯方程]]（RANS）等时间平均方程，再辅以各湍流模型，如{{le|Spalart-Allmaras湍流模型|Spalart–Allmaras turbulence model|Spalart-Allmaras}}、{{le|k-ω湍流模型|k–omega turbulence model|{{mvar|k}}–{{mvar|ω}}}}、{{le|亂流動能|turbulence kinetic energy|{{mvar|k}}–{{mvar|ε}}}}、{{le|Menter剪應力傳輸|Menter's Shear Stress Transport|SST}}，以添加另外的方程<!--恕未能明白to bring closure to the RANS equations-->。另一种數值解法是[[大涡模拟]]（LES）。这种方法比RANS方法，佔用更多計算[[時間複雜度|时间]]和[[空間複雜度|記憶體空間]]，但效果較好，因为LES明确解出較大的湍流尺度。

===适用性===
連同其他方程（如[[质量守恒定律]]）和良好的[[边界条件]]一併考慮時，纳维－斯托克斯方程似乎是流体运动的精确模型；甚至湍流（平均而言）也符合实际观察结果。

纳维－斯托克斯方程假定所研究的流体[[連續介質力學|連續]]（无限可分，而不是由粒子组成），且不具[[狹義相對論|相對論]]流速。在非常小的尺度或极端条件下，由离散分子组成的真实流体，与由纳维－斯托克斯方程描繪的连续流体，将产生不同的结果。例如，大梯度流的流體內層，有[[毛细现象]]。<ref>{{cite journal
| last1    = Gorban
| first1   = A.N.
| last2   = Karlin
| first2  = I. V.
| year     = 2016
| title    = Beyond Navier–Stokes equations: capillarity of ideal gas
| type    = Review article
| journal = Contemporary Physics
| volume   = 58
| issue   = 1
| pages   = 70–90
| doi = 10.1080/00107514.2016.1256123 
| url = https://www.researchgate.net/publication/310825466 
| arxiv= 1702.00831
| bibcode= 2017ConPh..58...70G| s2cid = 55317543
}}</ref>對於大[[克努森數]]的问题，用统计力学的[[波茲曼方程式]]可能更適合<ref>{{cite book
| last    = Cercignani
| first   = C.
| year     = 2002
| title    = Handbook of mathematical fluid dynamics 
| chapter  = The Boltzmann equation and fluid dynamics 
| volume  = 1
| publisher = North-Holland
| place    = Amsterdam
| pages = 1–70
| editor-last   = Friedlander
| editor-first  = S.
| editor2-last  = Serre
| editor2-first = D.
| isbn = 978-0444503305
| language = en
}}</ref> ，甚至要用[[分子动力学]]或其他混合方法<ref>{{cite journal
 |last1        = Nie
 |first1       = X.B.
 |last2        = Chen
 |first2       = S.Y.
 |last3        = Robbins
 |first3       = M.O.
 |year         = 2004
 |title        = A continuum and molecular dynamics hybrid method for micro-and nano-fluid flow
 |type         = Research article
 |journal      = Journal of Fluid Mechanics
 |volume       = 500
 |pages        = 55–64
 |doi          = 10.1017/S0022112003007225
 |url          = https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/a-continuum-and-molecular-dynamics-hybrid-method-for-micro-and-nano-fluid-flow/BE0D4513A0F90F844CD21D64F6D3F9EF
 |bibcode      = 2004JFM...500...55N
 |language     = en
 |access-date  = 2021-10-12
 |archive-date = 2018-08-09
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20180809111332/https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/a-continuum-and-molecular-dynamics-hybrid-method-for-micro-and-nano-fluid-flow/BE0D4513A0F90F844CD21D64F6D3F9EF
 |dead-url     = no
}}</ref>。

另一个限制是方程的复杂性。要刻劃一般常見的流体類，有行之有效的公式，但對於較罕見的類別，應用纳维－斯托克斯方程時，往往会得到非常复杂的描述，甚至是未解難題。出于这个原因，这些方程通常用于描述牛顿流体。研究这种液体是“简单”的，因为粘度模型最终被[[线性]]化；真正描述其他类型流体（如血液）的普遍模型，截至2012年还不存在。<ref>{{cite book
| last    = Öttinger 
| first   = H.C.
| year     = 2012
| title    = Stochastic processes in polymeric fluids
| publisher = Springer Science & Business Media
| place    = Berlin, Heidelberg
| isbn = 9783540583530
| doi = 10.1007/978-3-642-58290-5
|language = en
}}</ref>

== 基本假设 ==

在解释纳维－斯托克斯方程的细节之前，首先对流体的性质作几个假设。第一个假设是流体是连续的。这强调其内部沒有空隙，例如，汽水中有氣泡，便不屬此例；同樣，包含雾状粒子的氣體亦不屬此例。另一个必要的假设是，所有涉及到的场，即[[压强]]、[[速度]]、[[密度]]、[[温度]]等，全部都[[可微]]。

该方程从[[质量守恆]]、[[动量守恆]]、[[能量守恆]]等基本原理导出。推導過程中，經常考虑一个有限的任意体积，称为[[控制体积]]，並對其應用这些原理。该有限体积记为<math>\Omega</math>，而其[[边界 (拓扑学)|表面]]记为<math>\partial\Omega</math>。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。这会导致一些特殊的结果，見下文。

=== 随質导数 ===

运动流体的属性变化，譬如[[大气]]风速的变化，可以有两种不同的方法来测量：[[风速仪]]可以固定在气象站上，也可以隨气象气球飄動。第一种情况下，风速仪测量的速度，是所有运动的粒子经过一个固定点的速度；而第二种情况下，仪器测量的數值，是其随着流体运动时，速度的变化。同样的论证对于密度、温度等物理量的测量也是成立的。因此，当作微分时必须区分两种情况。第一种情况称为'''空间导数'''或者'''欧拉导数'''。第二种情况称为'''[[實質導數]]'''或'''拉格朗日导数'''。

随質导数定义为[[算子]]：

:<math>\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\star) = \frac{\partial(\star)}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)(\star)</math>

其中<math>\mathbf{v}</math>是流体的速度。方程右边的第一项是普通的欧拉导数（也就是在静止参照系中的导数），而第二项表示由于流体的运动带来的变化。这个效应称为{{le|移流|advection}}。

'''L'''在一个[[控制体积]]<math>\Omega</math>上守恆，可用以下积分式表示：

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\Omega \mathbf{L}\,\mathrm{d}\Omega = 0.</math>

設Ω共动（隨流體移動），則它随着时间而改变，所以不能将时间导数和积分简单的交换，但有：

:<math>0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\Omega \mathbf{L}\,\mathrm{d}\Omega=\int_{\Omega}\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{L}\,\mathrm{d}\Omega+\int_{\partial \Omega} \mathbf{L} \left(\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}\partial\Omega\right)=\int_\Omega \left[\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{L}+\nabla\cdot\left(\mathbf{L}\mathbf{v}\right)\right]\mathrm{d}\Omega.</math>

因为这个表达式对于所有<math>\Omega</math>成立，它可以简化为：

:<math>\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\mathbf{L} + \left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right) \mathbf{L} = \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{L}+ \nabla\cdot\left(\mathbf{v} \mathbf{L}\right) = 0</math>

（第一個等號用到隨質導數的定義，以及對<math>\nabla\cdot\left(\mathbf{v} \mathbf{L}\right)</math>用到[[乘積法則|導數的積法則]]）对于不是密度的量（因而它不必在空间中积分），<math>\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}</math>给出了正确的共动时间导数。

=== 守恒定律 ===
{{main|守恒定律}}

在上式中，依次取<math>\mathbf L</math>為下列各守恒量：

* 質量
* [[能量]]
* [[动量]]
* [[角动量]]

并且用[[状态方程|状态定律]]配合一些假设（比如假设流体为理想气体等），将各物理量写成由各守恒量表示的形式，就能推導出NS方程。

==== 连续性方程 ====

质量的守恒写作：

:<math>\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v})= 0</math>

其中<math>\rho</math>是流体的密度。

在[[不可压缩流体]]的情况，<math>\rho</math>是常數，不取決於时间或位置，於是方程简化为：

:<math>\nabla\cdot\mathbf{v} = 0</math>

==== 动量守恒 ====

动量守恒写作：

:<math>\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\mathbf{v}\right) + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) = \sum\rho\mathbf{f},</math>

注意<math>\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}</math>是一个[[张量]]，<math>\otimes</math>代表[[张量积]]。

可以进一步简化，利用连续性方程，上式變成：

:<math>\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t}=\sum\rho\mathbf{f},</math>

可以认出这就是通常[[牛頓第二定律]]<math>m \mathbf a = \mathbf F</math>。

== 方程组 ==

=== 一般形式 ===

==== 方程组的形式 ====

纳维-斯托克斯方程的一般形式是：

:<math>\rho\frac{\mathrm{D}\mathbf{v}}{\mathrm{D} t} = \nabla \cdot\mathbb{P} + \rho\mathbf{f}</math>

关于动量守恒。[[张量]]<math>\mathbb{P}</math>代表施加在一个流体粒子上的表面力（[[应力张量]]）。除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，<math>\mathbb{P}</math>是一个对称张量。一般来讲，我们有如下形式：

:<math>\mathbb{P} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} &  \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} &  \tau_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix}
=
-
\begin{pmatrix}
p&0&0\\
0&p&0\\
0&0&p
\end{pmatrix}
+ 
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx}+p &  \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy}+p & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} &  \tau_{zy} & \sigma_{zz}+p
\end{pmatrix} </math>

其中<math>\sigma</math>是法向约束，而<math>\tau</math>是切向约束。

[[迹]]<math>\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}</math>在流体处于平衡态时为0。这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。

我们再加上连续性方程：

:<math>\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} + \rho\nabla\cdot\mathbf{v} = 0</math>

对于''处于平衡''的液体，<math>\mathbb{P}</math>的迹是3''p''。 

其中
:''p''是压强

最后，我们得到：

:<math>\rho\frac{\mathrm{D}\mathbf{v}}{\mathrm{D} t} = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \rho\mathbf{f}</math>

其中<math>\mathbb{T}</math>是<math>\mathbb{P}</math>的非对角线部分。

==== 闭合问题 ====

这些方程是不完整的，对具有不同物理性质的流体的可以有不同的解。要对它们进行完备化，必须对<math>\mathbb{P}</math>的形式作一些假设。例如在[[理想流体]]的情况<math>\tau</math>分量为0。用于完备方程组的方程是[[状态方程]]。

再如，[[压强]]可以主要是[[密度]]和[[温度]]的函数。

要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和[[温度]]。流场假定为[[可微]]并[[连续函数|连续]]，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转化为[[涡度]]和[[流函数]]这些次变量的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质（例如[[粘滞度]]、[[比热]]、和[[热导率]]），并且依赖于所研究的区域的边界条件。

<math>\mathbb{P}</math>的分量是流体的一个[[无穷小]]元上面的约束。它们代表垂直和剪切约束。<math>\mathbb{P}</math>是[[对称]]的，除非存在非零的[[自旋密度]]。

所谓[[非牛顿流体]]就是其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体

== 特殊形式 ==

这些是问题的特定的常见简化，有时解是已知的。

=== 牛顿流体 ===
{{main|牛顿流体}}

在牛顿流体中，如下假设成立：

:<math>\tau_{ij}=\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right)</math>

其中
:<math>\mu</math>是液体的[[黏度|粘滞度]]。

:<math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\nabla_{\mathbf{v}}\mathbf{v}\right)=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu\left(\Delta \mathbf{v}+\frac{1}{3}\nabla\left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right)\right)</math>

:<math>\rho \left(\frac{\partial v_i}{\partial t}+v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\mu\left(\frac{\partial ^2 v_i}{\partial x_j \partial x_j}+\frac{1}{3}\frac{\partial ^2 v_j}{\partial x_i \partial x_j}\right)</math>

其中为简化书写，对脚标使用了[[爱因斯坦求和约定]]。

不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：

动量守恒：
:<math> \rho \cdot \left({\partial u \over \partial t}+ u {\partial u \over \partial x}+ v {\partial u \over \partial y}+ w {\partial u \over \partial z}\right) = k_x -{\partial p \over \partial x} + {\partial \over \partial x} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial u \over \partial x}-\frac{2}{3}\cdot (\nabla \cdot \vec{v}) \right) \right] + {\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y} + {\partial v \over \partial x}  \right) \right] + {\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x} + {\partial u \over \partial z}  \right) \right]</math>

:<math> \rho \cdot \left({\partial v \over \partial t}+ u {\partial v \over \partial x}+ v {\partial v \over \partial y}+ w {\partial v \over \partial z}\right) = k_y -{\partial p \over \partial y} + {\partial \over \partial y} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial v \over \partial y}-\frac{2}{3}\cdot (\nabla \cdot \vec{v}) \right) \right] + {\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z} + {\partial w \over \partial y}  \right) \right] + {\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y} + {\partial v \over \partial x}  \right) \right]</math>

:<math> \rho \cdot \left({\partial w \over \partial t}+ u {\partial w \over \partial x}+ v {\partial w \over \partial y}+ w {\partial w \over \partial z}\right) = k_z -{\partial p \over \partial z} + {\partial \over \partial z} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial w \over \partial z}-\frac{2}{3}\cdot (\nabla \cdot \vec{v}) \right) \right] + {\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x} + {\partial u \over \partial z}  \right) \right] + {\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z} + {\partial w \over \partial y}  \right) \right]</math>

质量守恒：
:<math> {\partial \rho \over \partial t} + {\partial(\rho \cdot u)\over \partial x}+{\partial(\rho \cdot v) \over \partial y}+{\partial(\rho \cdot w) \over \partial z}=0 </math>

因为''密度''是一个未知数，我们需要另一个方程。

能量守恒：
:<math> \rho \left({\partial e \over \partial t}+ u {\partial e \over \partial x}+ v {\partial e \over \partial y}+ w {\partial e \over \partial z}\right) = \left( {\partial \over \partial x} \left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial x} \right) + {\partial \over \partial y} \left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial y} \right) + {\partial \over \partial z} \left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial z} \right) \right) - p \cdot \left( \nabla \cdot \vec{v} \right) + \vec{k} \cdot \vec{v} + \rho \cdot \dot{q}_s + \mu \cdot \Phi</math>

其中：
:<math>\Phi = 2 \cdot \left[ \left({\partial u \over \partial x} \right)^2+\left({\partial v \over \partial y}\right)^2+\left({\partial w \over \partial z}\right)^2 \right]
+ \left({\partial v \over \partial x}+{\partial u \over \partial y} \right)^2
+ \left({\partial w \over \partial y}+{\partial v \over \partial z} \right)^2
+ \left({\partial u \over \partial z}+{\partial w \over \partial x} \right)^2
-\frac{2}{3} \cdot \left({\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z} \right)^2</math>

假设一个[[理想气体]]：
:<math>e = c_p \cdot T - \frac{p}{\rho}</math>

上面是一共6个方程6个未知数的系统。（u，v，w，T，e以及　<math>\rho</math>）。

=== 宾汉（Bingham）流体 ===
{{main|宾汉流体}}

在宾汉流体中，我们有稍微不同的假设：

:<math>\tau_{ij}=\tau_0 + \mu\frac{\partial v_i}{\partial x_j},\;\frac{\partial v_i}{\partial x_j}>0 </math>

那些流体在开始流动之前能够承受一定的剪切。[[牙膏]]是一个例子。

=== 幂律流体 ===
{{main|幂律流体}}

这是一种理想化的[[流体]]，其[[剪切应力]]，<math>\tau</math>，由下式给出

:<math>\tau = K \left( \frac {\partial u} {\partial y} \right)^n </math>

该形式对于模拟各种一般流体有用。

=== 不可壓缩流體 ===
{{main|不可壓缩流體}}

其纳维－斯托克斯方程（Navier-Stoke equation）分为[[動量守恆]]公式

<!--強行添加繁簡處理，若編輯有更佳解決方法懇請賜教-->
-{zh-hant:
<math>\quad\overbrace{\rho \Big(
\underbrace{\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{非 穩 態}\\
  \text{加 速}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{對 流} \\
  \text{加 速}
\end{smallmatrix}}\Big)} = 
\underbrace{-\nabla p}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{壓 強} \\
  \text{梯 度}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{\mu \nabla^2 \mathbf{v}}_{\text{黏 滯 力}} + 
\underbrace{\mathbf{f}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{其 他 力} 
\end{smallmatrix}}</math>;
zh-hans:
<math>\quad\overbrace{\rho \Big(
\underbrace{\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{非 稳 态}\\
  \text{加 速}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{对 流} \\
  \text{加 速}
\end{smallmatrix}}\Big)} = 
\underbrace{-\nabla p}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{压 強} \\
  \text{梯 度}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{\mu \nabla^2 \mathbf{v}}_{\text{粘 滞 力}} + 
\underbrace{\mathbf{f}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{其 他 力} 
\end{smallmatrix}}</math>;
}-

和[[質量守恆]]公式
:<math>\nabla\cdot\mathbf{v}=0</math>。

其中，對不可壓縮牛頓流體來說，只有對流項（convective terms）為非線性形式。對流加速度（convective acceleration）來自於流體流動隨空間之變化所產生的速度改變，例如：當流體通過一個漸縮噴嘴（convergent nozzle）時，流體產生加速之情況。由於此項的存在，對於暫態運動中的流體來說，其流場速度變化不再單是時間的函數，亦與空間有關。

另外一個重要的觀察重點，在於黏滯力（viscosity）在流場中的以流體速度作拉普拉斯運算來表現。這暗示了在牛頓流體中，黏滯力為動量擴散（diffusion of momentum），與熱擴散方程式非常類似。

:<math>e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)</math>;
:<math>\Delta=e_{ii}</math>是[[散度]]，
:<math>\delta_{ij}</math>是[[克罗内克记号]]。

若<math>\mu</math>在整个流体上均匀，动量方程简化为

:<math>
\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}
+\mu
\left(
  \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+                                                                                                                                         \frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right)
</math>

（若<math>\mu=0</math>这个方程称为[[欧拉方程 (流体动力学)|欧拉方程]]；那里的重点是[[可压缩流]]和[[冲击波]]）。

如果现在再有<math>\rho</math>为常数，我们得到如下系统：
:<math> \rho \left({\partial v_x \over \partial t}+ v_x {\partial v_x \over \partial x}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}+ v_z {\partial v_x \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_x \over \partial x^2}+{\partial^2 v_x \over \partial y^2}+{\partial^2 v_x \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial x} +\rho g_x</math>
:<math> \rho \left({\partial v_y \over \partial t}+ v_x {\partial v_y \over \partial x}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}+ v_z {\partial v_y \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_y \over \partial x^2}+{\partial^2 v_y \over \partial y^2}+{\partial^2 v_y \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial y} +\rho g_y</math>
:<math> \rho \left({\partial v_z \over \partial t}+ v_x {\partial v_z \over \partial x}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}+ v_z {\partial v_z \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_z \over \partial x^2}+{\partial^2 v_z \over \partial y^2}+{\partial^2 v_z \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial z} +\rho g_z</math>

连续性方程（假设不可压缩性）：

:<math> {\partial v_x \over \partial x}+{\partial v_y \over \partial y}+{\partial v_z \over \partial z}=0 </math>

: N-S方程的简化版本。采用《'''不可压缩流'''》，Ronald Panton所著第二版

注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，而且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其他物质（例如悬浮粒子和溶解的气体）的混合体组成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的连续并且齐性的液体不同的结果。依赖于问题的纳森数，统计力学可能是一个更合适的方法。但是，纳维－斯托克斯方程对于很大范围的实际问题是有效的，只要记住他们的缺陷是天生的就可以了。

== 程式模擬 ==
參考MIT18086_NAVIERSTOKES

<ref>{{Cite journal |last=Chen |first=Weijia |last2=Chen |first2=JC |date=2011-06-06 |title=Combined compact difference method for solving the incompressible Navier-Stokes equations |url=http://dx.doi.org/10.1002/fld.2602 |journal=International Journal for Numerical Methods in Fluids |volume=68 |issue=10 |doi=10.1002/fld.2602 |issn=0271-2091}}</ref><syntaxhighlight lang="matlab" line="1">
function mit18086_navierstokes
%MIT18086_NAVIERSTOKES
%    Solves the incompressible Navier-Stokes equations in a
%    rectangular domain with prescribed velocities along the
%    boundary. The solution method is finite differencing on
%    a staggered grid with implicit diffusion and a Chorin
%    projection method for the pressure.
%    Visualization is done by a colormap-isoline plot for
%    pressure and normalized quiver and streamline plot for
%    the velocity field.
%    The standard setup solves a lid driven cavity problem.

% 07/2007 by Benjamin Seibold
%            http://www-math.mit.edu/~seibold/
% Feel free to modify for teaching and learning.
%-----------------------------------------------------------------------
Re = 1e2;     % Reynolds number
dt = 1e-2;    % time step
tf = 4e-0;    % final time
lx = 1;       % width of box
ly = 1;       % height of box
nx = 90;      % number of x-gridpoints
ny = 90;      % number of y-gridpoints
nsteps = 10;  % number of steps with graphic output
%-----------------------------------------------------------------------
nt = ceil(tf/dt); dt = tf/nt;
x = linspace(0,lx,nx+1); hx = lx/nx;
y = linspace(0,ly,ny+1); hy = ly/ny;
[X,Y] = meshgrid(y,x);
%-----------------------------------------------------------------------
% initial conditions
U = zeros(nx-1,ny); V = zeros(nx,ny-1);
% boundary conditions
uN = x*0+1;    vN = avg(x)*0;
uS = x*0;      vS = avg(x)*0;
uW = avg(y)*0; vW = y*0;
uE = avg(y)*0; vE = y*0;
%-----------------------------------------------------------------------
Ubc = dt/Re*([2*uS(2:end-1)' zeros(nx-1,ny-2) 2*uN(2:end-1)']/hx^2+...
      [uW;zeros(nx-3,ny);uE]/hy^2);
Vbc = dt/Re*([vS' zeros(nx,ny-3) vN']/hx^2+...
      [2*vW(2:end-1);zeros(nx-2,ny-1);2*vE(2:end-1)]/hy^2);

fprintf('initialization')
Lp = kron(speye(ny),K1(nx,hx,1))+kron(K1(ny,hy,1),speye(nx));
Lp(1,1) = 3/2*Lp(1,1);
perp = symamd(Lp); Rp = chol(Lp(perp,perp)); Rpt = Rp';
Lu = speye((nx-1)*ny)+dt/Re*(kron(speye(ny),K1(nx-1,hx,2))+...
     kron(K1(ny,hy,3),speye(nx-1)));
peru = symamd(Lu); Ru = chol(Lu(peru,peru)); Rut = Ru';
Lv = speye(nx*(ny-1))+dt/Re*(kron(speye(ny-1),K1(nx,hx,3))+...
     kron(K1(ny-1,hy,2),speye(nx)));
perv = symamd(Lv); Rv = chol(Lv(perv,perv)); Rvt = Rv';
Lq = kron(speye(ny-1),K1(nx-1,hx,2))+kron(K1(ny-1,hy,2),speye(nx-1));
perq = symamd(Lq); Rq = chol(Lq(perq,perq)); Rqt = Rq';

fprintf(', time loop\n--20%%--40%%--60%%--80%%-100%%\n')
for k = 1:nt
   % treat nonlinear terms
   gamma = min(1.2*dt*max(max(max(abs(U)))/hx,max(max(abs(V)))/hy),1);
   Ue = [uW;U;uE]; Ue = [2*uS'-Ue(:,1) Ue 2*uN'-Ue(:,end)];
   Ve = [vS' V vN']; Ve = [2*vW-Ve(1,:);Ve;2*vE-Ve(end,:)];
   Ua = avg(Ue')'; Ud = diff(Ue')'/2;
   Va = avg(Ve);   Vd = diff(Ve)/2;
   UVx = diff(Ua.*Va-gamma*abs(Ua).*Vd)/hx;
   UVy = diff((Ua.*Va-gamma*Ud.*abs(Va))')'/hy;
   Ua = avg(Ue(:,2:end-1));   Ud = diff(Ue(:,2:end-1))/2;
   Va = avg(Ve(2:end-1,:)')'; Vd = diff(Ve(2:end-1,:)')'/2;
   U2x = diff(Ua.^2-gamma*abs(Ua).*Ud)/hx;
   V2y = diff((Va.^2-gamma*abs(Va).*Vd)')'/hy;
   U = U-dt*(UVy(2:end-1,:)+U2x);
   V = V-dt*(UVx(:,2:end-1)+V2y);
   
   % implicit viscosity
   rhs = reshape(U+Ubc,[],1);
   u(peru) = Ru\(Rut\rhs(peru));
   U = reshape(u,nx-1,ny);
   rhs = reshape(V+Vbc,[],1);
   v(perv) = Rv\(Rvt\rhs(perv));
   V = reshape(v,nx,ny-1);
   
   % pressure correction
   rhs = reshape(diff([uW;U;uE])/hx+diff([vS' V vN']')'/hy,[],1);
   p(perp) = -Rp\(Rpt\rhs(perp));
   P = reshape(p,nx,ny);
   U = U-diff(P)/hx;
   V = V-diff(P')'/hy;
   
   % visualization
   if floor(25*k/nt)>floor(25*(k-1)/nt), fprintf('.'), end
   if k==1|floor(nsteps*k/nt)>floor(nsteps*(k-1)/nt)
      % stream function
      rhs = reshape(diff(U')'/hy-diff(V)/hx,[],1);
      q(perq) = Rq\(Rqt\rhs(perq));
      Q = zeros(nx+1,ny+1);
      Q(2:end-1,2:end-1) = reshape(q,nx-1,ny-1);
      clf, contourf(avg(x),avg(y),P',20,'w-'), hold on
      contour(x,y,Q',20,'k-');
      Ue = [uS' avg([uW;U;uE]')' uN'];
      Ve = [vW;avg([vS' V vN']);vE];
      Len = sqrt(Ue.^2+Ve.^2+eps);
      quiver(x,y,(Ue./Len)',(Ve./Len)',.4,'k-')
      hold off, axis equal, axis([0 lx 0 ly])
      p = sort(p); caxis(p([8 end-7]))
      title(sprintf('Re = %0.1g   t = %0.2g',Re,k*dt))
      drawnow
   end
end
fprintf('\n')

%=======================================================================

function B = avg(A,k)
if nargin<2, k = 1; end
if size(A,1)==1, A = A'; end
if k<2, B = (A(2:end,:)+A(1:end-1,:))/2; else, B = avg(A,k-1); end
if size(A,2)==1, B = B'; end

function A = K1(n,h,a11)
% a11: Neumann=1, Dirichlet=2, Dirichlet mid=3;
A = spdiags([-1 a11 0;ones(n-2,1)*[-1 2 -1];0 a11 -1],-1:1,n,n)'/h^2;
</syntaxhighlight>模擬結果

執行MATLAB 即可觀察4秒的模擬結果

== 参看 ==
* [[雷诺数]]
* [[马赫数]]
* [[雷诺平均纳维－斯托克斯方程]]
* [[納維-斯托克斯存在性與光滑性]]

== 参考文献 ==
<div class="references-small">
<references />
* {{lang|en|Inge L. Rhyming ''Dynamique des fluides'', 1991 PPUR.}}
* {{lang|en|Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A., ''Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering'', Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8.}}
</div>

== 外部链接 ==

* [https://web.archive.org/web/20100613001632/http://claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/ 克雷数学研究院纳维-斯托克斯方程大奖]
** [https://web.archive.org/web/20051031010327/http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/Official_Problem_Description.pdf 该问题的正式命题]
* [https://web.archive.org/web/20050828100019/http://astron.berkeley.edu/~jrg/ay202/node50.html 纳维-斯托克斯方程的一个推导]
* [http://www.allstar.fiu.edu/aero/Flow2.htm 纳维-斯托克斯方程的推导] {{Wayback|url=http://www.allstar.fiu.edu/aero/Flow2.htm |date=20171129091339 }}
* [https://web.archive.org/web/20120427032818/http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/nseqs.html NASA关于纳维-斯托克斯方程的网页]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde6102.pdf 纳维-斯托克斯方程（一些精确解）] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde6102.pdf |date=20200209015646 }}，位于EqWorld:数学方程的世界

{{连续介质力学}}

{{Authority control}}
[[Category:基本物理概念]]
[[Category:连续介质力学]]
[[Category:偏微分方程]]
[[Category:空气动力学]]
[[Category:流体力学中的方程]]
[[Category:千禧年大奖难题]]