抛物线：修订间差异

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2024年2月6日 (二) 22:53的最新版本

抛物线（parabola）属一種圓錐曲線，定义是在一個平面内，此線上的每一點 $Pi$ ，其與一個固定点 $F$ 之間的距離等於 $Pi$ 與一条不經過此点 $F$ 的固定直线 $L$ 之間的距离。这固定点 $F$ 叫做抛物线的「焦点」，固定直线 $L$ 叫做抛物线的「准线」。抛物线的离心率 $e$ 必为1。

术语

准线、焦点：见上。
轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。
顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。
- 焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。
  - 正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。
直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。
- 主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。

拋物線即把物體拋擲出去，落在遠處地面，這物體在空中經過的曲線。

性质

光学性质

在焦点上的点光源发出的光线，经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴。典型应用如手电筒。

焦弦性质

过抛物线焦弦两端的切线的交点在抛物线的准线上；

过抛物线焦弦两端的切线互相垂直；

以抛物线焦弦为直径的圆与抛物线的准线相切；

过抛物线焦弦两端的切线的交点与抛物线的焦点的连线和焦点弦互相垂直；

过焦弦两端的切线的交点与焦弦中点的连线，被抛物线所平分；

过焦弦的一端作准线的垂线，垂足、頂点和焦弦的另一端点三点共线；

由焦弦两端分别作准线的垂线，两垂足与抛物线焦点的连线互相垂直；

在解析几何中

${\begin{smallmatrix}y=x^{2}\end{smallmatrix}}$ 的圖象

标准方程

抛物线的标准方程有四个：
$y^{2}=2px\quad \left(p>0\right)$ （开口向右）；
$y^{2}=-2px\quad \left(p>0\right)$ （开口向左）；
$x^{2}=2py\quad \left(p>0\right)$ （开口向上）；
$x^{2}=-2py\quad \left(p>0\right)$ （开口向下）；
（p为焦准距）

在抛物线 $y^{2}=4cx\quad \left(c>0\right)$ 中，焦点是 $F\left(c,0\right)$ ，准线 $l$ 的方程是 $x=-c$ ；
在抛物线 $y^{2}=-4cx\quad \left(c>0\right)$ 中，焦点是 $F\left(-c,0\right)$ ，准线 $l$ 的方程是 $x=c$ ；
在抛物线 $x^{2}=4cy\quad \left(c>0\right)$ 中，焦点是 $F\left(0,c\right)$ ，准线 $l$ 的方程是 $y=-c$ ；
在抛物线 $x^{2}=-4cy\quad \left(c>0\right)$ $x^{2}=-4cy\quad \left(c>0\right)$ 中，焦点是 $F\left(0,-c\right)$ $F\left(0,-c\right)$ ，准线 $l$ $l$ 的方程是 $y=c$ $y=c$ ；
- c=焦點至頂點之距離的絕對值

参数方程

焦点在 x 轴正半轴的抛物线参数方程为：

{\begin{cases}x=2pt^{2}\\y=2pt\end{cases}}

依據基礎定義的公式

拋物線上任意一點P $(x,y)$ 至準線 $ax+by+c=0$ 之距離與P至焦點C $(C_{1},C_{2})$ 的距離恆等
故得 ${\sqrt {(x-C_{1})^{2}+(y-C_{2})^{2}}}={\frac {|ax+by+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

抛物线的准线方程：将抛物线的方程化为标准形式：

抛物线的方程： $y^{2}=2px$ ，焦点在x轴上它的准线为： $x=-{\frac {1}{2}}p$

抛物线的方程： $x^{2}=2py$ ，焦点在y轴上它的准线为： $y=-{\frac {1}{2}}p$

抛物线 y² = 4cx 的相关术语

拋物線平移 $(y-k)^{2}=4c(x-h)$ 是自頂點 $(0,0)$ （上式）移至頂點 $(h,k)$

截距：抛物线在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距都是 $0$ ，也就是说，抛物线经过坐标原点，这个点是抛物线的顶点。
对称性：抛物线关于 $x$ 轴对称。
范围：因为 $y=\pm 2{\sqrt {cx}}\quad (p>0)$ ，所以当 $x\geq 0$ 时，y才有实数值。又因为 $x={\frac {y^{2}}{4c}}$ ，所以 $y$ 可取任何实数值。当 $x$ 增大时， $y$ 的绝对值也随之增大，因此该抛物线在 $y$ 轴的右侧向上、向下无限伸展。
离心率：抛物线上一点到焦点的距离与这一点到准线的距离的比叫做抛物线的离心率。抛物线的离心率等于 $1$ 。

過拋物線上一點 (x₀, y₀) 之切線方程式公式

若拋物線方程式為： $(y-k)^{2}=4c(x-h)$ ，

則過此拋物線上一點 $(x_{0},y_{0})$ 之切線方程式為 $(y_{0}-k)(y-k)=4c{\frac {(x_{0}-h)+(x-h)}{2}}$

若拋物線方程式為： $(x-h)^{2}=4c(y-k)$ ，

則過此拋物線上一點 $(x_{0},y_{0})$ 之切線方程式為 $(x_{0}-h)(x-h)=4c{\frac {(y_{0}-k)+(y-k)}{2}}$

記憶方式：拋物線中的 $x,y$ 項，二次项为两半， $x^{2}$ 改成 $x_{0}\cdot x$ ，

$x$ 改成 ${\frac {x_{0}+x}{2}}$ ，

$y^{2}$ 改成 $y_{0}\cdot y$ ， $y$ 改成 ${\frac {y_{0}+y}{2}}$ ，

一般式 $y=ax^{2}+bx+c$ 及 $x=ay^{2}+by+c$ 亦同 ( $a\neq 0$ )

参见

@@ 第1行： / 第1行： @@
 {{NoteTA|G1=Math}}
-[[File:Bouncing ball strobe edit.jpg|250px|right|thumb|每秒25次拍摄的跳跃的球所形成的抛物线轨迹]]
+[[Image:Parabola with focus and directrix.svg|right|thumb|200px|抛物线、準線L與焦點F]]
+[[File:Bouncing ball strobe edit.jpg|250px|right|thumb|每秒30次拍摄的跳跃的球所形成的抛物线轨迹]]
 [[Image:Pahoeoe fountain original.jpg|thumb|250px|[[拋物線]]形[[熔岩流]]]]
-'''抛物线'''是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的[[轨迹]]。这一定点叫做抛物线的'''焦点'''，定直线叫做抛物线的'''准线'''。
+'''抛物线'''（parabola）属一種[[圓錐曲線]]，定义是在一個平面内，此線上的每一點 <math>Pi</math>，其與一個固定点 <math>F</math> 之間的距離等於 <math>Pi</math> 與一条不經過此点 <math>F</math> 的固定直线 <math>L</math> 之間的距离。这固定点 <math>F</math> 叫做抛物线的「焦点」，固定直线 <math>L</math> 叫做抛物线的「准线」。抛物线的[[离心率]] <math>e</math> 必为1。
-'''抛物线'''是一種[[圓錐曲線]]。
 == 术语 ==
 *准线、焦点：见上。
-*轴：抛物线是[[轴对称]]图形，它的[[对称轴]]简称'''轴'''。
+*轴：抛物线是[[轴对称]]图形，它的[[轴对称|对称轴]]简称'''轴'''。
-*顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的'''顶点'''。
+*顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的'''[[頂點 (曲線)|顶点]]'''。
 *弦：抛物线的'''弦'''是连接抛物线上任意两点的[[线段]]。
 **焦弦：抛物线的'''焦弦'''是经过抛物线焦点的弦。
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 == 性质 ==
+=== 光学性质  ===
+在[[焦点]]上的点光源发出的光线，经抛物线反射后平行于抛物线的[[對稱|对称轴]]。典型应用如[[手电筒]]。
 === 焦弦性质 ===
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 *过抛物线焦弦两端的切线的交点与抛物线的焦点的连线和焦点弦互相垂直；
-*过焦弦两端的切线的交点与焦点弦中点的连线，被抛物线所平分；
+*过焦弦两端的切线的交点与焦弦中点的连线，被抛物线所平分；
-*过焦弦的一端作准线的垂线，垂足、原点和焦点弦的另一端点三点共线；
+*过焦弦的一端作准线的垂线，垂足、頂点和焦弦的另一端点三点共线；
 *由焦弦两端分别作准线的垂线，两垂足与抛物线焦点的连线互相垂直；
 == 在[[解析几何]]中 ==
-[[File:Qfunction.png|thumb|[[x^2|{{smallmath|f=y=x^2}} 的圖象]]]]
+[[File:Qfunction.png|thumb|[[x^2|{{smallmath|f=y=x^2}}的圖象]]]]
-抛物线的[[标准方程]]有四个：
+===标准方程===
-<math>y^2=4px \quad \left (p>0 \right)</math>（开口向右）；<br />
+抛物线的[[标准方程]]有四个：<br />
-<math>y^2=-4px \quad \left (p>0 \right)</math>（开口向左）；<br />
-<math>x^2=4py \quad \left (p>0 \right)</math>（开口向上）；<br />
+<math>y^2=2px \quad \left(p>0 \right)</math>（开口向右）；<br />
-<math>x^2=-4py \quad \left (p>0 \right)</math>（开口向下）；<br />
+<math>y^2=-2px \quad \left(p>0 \right)</math>（开口向左）；<br />
+<math>x^2=2py \quad \left(p>0 \right)</math>（开口向上）；<br />
-（2p为准焦距）
+<math>x^2=-2py \quad \left(p>0 \right)</math>（开口向下）；<br />
+（p为焦准距）
-*在抛物线 <math>y^2=4cx \quad \left (c>0 \right)</math>中， 焦点是<math>F \left (c,0 \right)</math>，准线<math>l</math>的方程是<math>x=-c</math>；
-*在抛物线<math>y^2=-4cx\quad \left (c>0 \right)</math> 中，焦点是<math>F \left (-c,0\right)</math>，准线<math>l</math>的方程是<math>x=c</math>；
+*在抛物线<math>y^2=4cx \quad \left(c>0 \right)</math>中，焦点是<math>F \left(c,0 \right)</math>，准线<math>l</math>的方程是<math>x=-c</math>；
-*在抛物线 <math>x^2=4cy \quad \left (c>0 \right)</math>中， 焦点是<math>F \left (0,c \right)</math>，准线<math>l</math>的方程是<math>y=-c</math>；
+*在抛物线<math>y^2=-4cx\quad \left(c>0 \right)</math>中，焦点是<math>F \left(-c,0\right)</math>，准线<math>l</math>的方程是<math>x=c</math>；
-*在抛物线<math>x^2=-4cy\quad \left (c>0 \right)</math> 中，焦点是<math>F \left (0,-c\right)</math>，准线<math>l</math>的方程是<math>y=c</math>；
+*在抛物线<math>x^2=4cy \quad \left(c>0 \right)</math>中，焦点是<math>F \left(0,c \right)</math>，准线<math>l</math>的方程是<math>y=-c</math>；
+*在抛物线<math>x^2=-4cy\quad \left(c>0 \right)</math>中，焦点是<math>F \left(0,-c\right)</math>，准线<math>l</math>的方程是<math>y=c</math>；
 **c=焦點至頂點之距離的絕對值
+===参数方程===
+焦点在 x 轴正半轴的抛物线[[参数方程]]为：
+:<math>\begin{cases}
+x=2pt^2\\
+y=2pt\end{cases}</math>
 ===依據基礎定義的公式===
-拋物線上任意點P<math>(x,y)</math>至準線<math>ax+by+c</math>之距離與P至焦點C<math>(C_{1},C_{2})</math>的距離恆等<br />
+拋物線上任意一點P<math>(x,y)</math>至準線<math>ax+by+c=0</math>之距離與P至焦點C<math>(C_{1},C_{2})</math>的距離恆等<br />
-故得<math>\sqrt{(x-C_{1})^2+(y-C_{2})^2}=\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}</math><br />
+故得<math>\sqrt{(x-C_{1})^2+(y-C_{2})^2}=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>
+抛物线的准线方程：将抛物线的方程化为标准形式：
-===抛物线<math>y^2=4cx</math>的相关术语===
+抛物线的方程：<math>y^2=2px</math>，焦点在x轴上
+它的准线为：<math>x=-\frac{1}{2}p</math>
+抛物线的方程：<math>x^2=2py</math>，焦点在y轴上
+它的准线为：<math>y=-\frac{1}{2}p</math>
+===抛物线 y<sup>2</sup> = 4cx 的相关术语===
 [[File:LaPedreraParabola.jpg|thumb|[[安東尼·高第]]所設計的[[米拉公寓]]的拱型結構]]
-*拋物線平移<math> (y-k)^2=4c(x-h)</math> 是自頂點 <math>(0,0)</math>(上式)移至頂點<math>(h,k)</math>
+*拋物線平移<math>(y-k)^2=4c(x-h)</math>是自頂點<math>(0,0)</math>（上式）移至頂點<math>(h,k)</math>
 #截距：抛物线在<math>x</math>轴和<math>y</math>轴上的[[截距]]都是<math>0</math>，也就是说，抛物线经过[[平面直角坐标系|坐标]][[原点]]，这个点是抛物线的顶点。
 #对称性：抛物线关于<math>x</math>轴对称。
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 #离心率：抛物线上一点到焦点的距离与这一点到准线的距离的比叫做抛物线的离心率。抛物线的离心率等于<math>1</math>。
-===過拋物線上一點 <math>(x_{0}, y_{0})</math> 之切線方程式公式===
+===過拋物線上一點 (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) 之切線方程式公式===
 若拋物線方程式為'''：<math>(y-k)^{2}=4c(x-h)</math>'''，
-則過此拋物線上一點 '''<math>(x_{0},y_{0})</math>''' 之切線方程式為
+則過此拋物線上一點'''<math>(x_{0},y_{0})</math>'''之切線方程式為
 <math>(y_{0}-k)(y-k)=4c\frac{(x_{0}-h)+(x-h)}{2}
 </math>
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 若拋物線方程式為'''：<math>(x-h)^{2}=4c(y-k)</math>'''，
-則過此拋物線上一點 '''<math>(x_{0}, y_{0})</math>''' 之切線方程式為
+則過此拋物線上一點'''<math>(x_{0}, y_{0})</math>'''之切線方程式為
 <math>(x_{0}-h)(x-h)=4c\frac{(y_{0}-k)+(y-k)}{2}
 </math>
+*記憶方式：拋物線中的<math>x, y</math>項，二次项为两半，<math>x^{2}</math>改成<math>x_{0}\cdot x</math>，
-*記憶方式：拋物線中的<math>x, y</math>項，
-二次項拆兩半，<math>x^{2}</math>改成<math>x_{0}\cdot x</math>，
 <math>x</math>改成<math>\frac{x_{0}+x}{2}</math>，
@@ 第86行： / 第98行： @@
 <math>y</math>改成<math>\frac{y_{0}+y}{2}</math>，
+*一般式'''<math>y=ax^{2}+bx+c</math>'''及'''<math>x=ay^{2}+by+c</math>'''亦同 (<math>a \neq 0</math>)
-*一般式'''<math>y=ax^{2}+bx+c</math>'''及'''<math>x=ay^{2}+by+c</math>'''亦同
 == 参见 ==
@@ 第95行： / 第105行： @@
 *[[拋物線坐標系]]
 *[[拋物面坐標系]]
+*[[半立方抛物线]]
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查论编几何学术语
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直线和曲线	线段射线直线切线（主）法线副法線曲线圆锥曲线双曲线抛物线正弦曲線蚌线蜗线螺线（阿基米德螺线、等角螺线……）摆线（最速降線問題）悬链线曳物线漸開線渐屈线渐近线测地线邊周界弦弧矢垂直平分線代數曲線椭圆曲线超橢圓星形线三尖瓣线方圓形勒洛三角形
平面圖形	圆（广义圆）椭圆扇形弓形环形多边形三角形四邊形五边形六边形多边形正多边形梯形平行四边形菱形矩形正方形鷂形卵形线梭形星形五角星六角星
立體圖形	多面体正多面體四面體長方體立方體平行六面体棱柱反棱柱棱锥棱台圆柱体圆锥圆台椭球（長球體、扁球體）球體球缺球冠球台準線母線
曲面	二次曲面旋轉曲面抛物面雙曲面马鞍面球面橢球面類球面环面莫比乌斯带流形黎曼曲面
高維空間	超平面超面超曲面胞多胞形超球體超方形超立方體克莱因瓶四維柱體柱
圖形關係	相似全等對稱平行垂直相交相切相離镜像旋转反演截面缩放
三角形關係	相似三角形全等三角形
量	距离长度周长弧长高度面积表面積体积容積角度曲率撓率離心率凹凸性有向曲面可展曲面直紋曲面
作圖	尺直尺三角尺圆规尺规作图二刻尺作圖
分支	平面幾何立体几何三角学解析几何微分几何拓扑学图论摺紙數學欧几里得几何非欧几里得几何（双曲几何、球面幾何……）分形
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