卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利方程

这张在法国大西洋岸雷岛（RHE）鲸鱼灯塔拍摄的照片，显示浅海上田字形的椭圆余弦波列。这种浅水中的孤波可以由卡东穆夫-彼得韦亚斯维利方程模拟

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卡东穆夫-彼得韦亚斯维利方程(Kadomtsev-Petviashvili equation)，简称KP方程，是1970年苏联物理学家波里斯·卡东穆夫 和弗拉基米尔-彼得韦亚斯维利创立以模拟非线性波动的非线性偏微分方程：

$\displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0$

其中 $\lambda =\pm 1$.

解析解

卡东穆夫-彼得韦亚斯维利方程有解析解

行波解

$u(x,y,t)=C5+12.*_{C}2*\tanh(_{C}1+_{C}2*x+_{C}3*y-(.50000000000000000000*(8.*_{C}2^{4}+_{C}3^{2}))*t/_{C}2)$

代人参数： C5 = 1, _C1 = 0, _C2 = 1, _C3 = 3

得：$u=1+12.*tanh(x+3*y-8.5000000000000000000*t)$

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  Kadomtsev-Petviahivili equation 3D plot
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  Kadomtsev-Petviashivili pde animation

Sech 函数亮孤立子解

利用sech函数展开法可得卡东穆夫-彼得韦亚斯维利方程的sech函数解和tanh函数解。

$u:=a*sech(a*x+b*y+c*z-(a^{4}+3*b^{2}+3*c^{2})/a)*t$

参数：a = -2 .. 2, b = -2 .. 2, c = 0

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  Kadomtsev Petviashivili pde sech solution 3d plot
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  卡东穆夫-彼得韦亚斯维利方程sech函数亮孤立子

tanh 函数解

$u:=2*a^{2}*tanh(a*x+b*y+(8*a^{4}-3*b^{2})/a)^{2}*t$。

参数：a = 2, b = -2；

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  KP方程暗tanh函数暗孤立子

雅可比橢圓函數解

通过朗斯基行列式展开法可得卡东穆夫-彼得韦亚斯维利方程多个雅可比橢圓函數解。 L¨ $u4:={\frac {(-4*m^{2}*k[1]^{2}*g)}{({\sqrt {1-m^{2}}}*sn(xi[1],k)*sin(xi[2])+dn(xi[1],k)*cos(xi[2])*cn(xi[1],k))^{2})}}$

其中：

$g=(m^{2}-1)*sn(\xi [1],k)^{2}+(2-2*m^{2})*sn(\xi [1],k)^{4}+cos(\xi [2])^{2};-2*sn(\xi [1],k)^{2}*cos(\xi [2])^{2}+m^{2}*sn(\xi [1],k)^{4}*cos(\xi [2])^{2}$

$xi[1]=k[1]*x+\lambda [1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1]$

$\xi [2]={\sqrt {1-m^{2}}}*(k[1]*x+\lambda [1]*y+(-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t)-\gamma [2]$

代入后得：

$f4:=-4*m^{2}*k[1]^{2}*((m^{2}-1)*JacobiSN(k[1]*x+lambda[1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}$

$-3*sigma^{2}*lambda[1]^{2}/k[1])*t+gamma[1],k)^{2}+(2-2*m^{2})*JacobiSN(k[1]*x+lambda[1]*y$

$+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*sigma^{2}*lambda[1]^{2}/k[1])*t+gamma[1],k)^{4}+$

$cos(sqrt(1-m^{2})*(k[1]*x+lambda[1]*y+(-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*sigma^{2}*lambda[1]^{2}/k[1])*t)$

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle -gamma[2])^2)/(sqrt(1-m^2)*JacobiSN(k[1]*x+lambda[1]*y+(4*m^2*k[1]^3+16*k[1]^3-}

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 3*sigma^2*lambda[1]^2/k[1])*t+gamma[1], k)*sin(sqrt(1-m^2)*(k[1]*x+lambda[1]*y+}

$(-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*sigma^{2}*lambda[1]^{2}/k[1])*t)-gamma[2])+JacobiDN(k[1]*x+lambda[1]*y+$

$(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*sigma^{2}*lambda[1]^{2}/k[1])*t+gamma[1],k)*cos(sqrt(1-m^{2})*(k[1]*x+lambda[1]*y+$

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (-4*m^2*k[1]^3+16*k[1]^3-3*sigma^2*lambda[1]^2/k[1])*t)-gamma[2])*JacobiCN(k[1]*x+}

$lambda[1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*sigma^{2}*lambda[1]^{2}/k[1])*t+gamma[1],k))^{2}$

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  Kadomtsev Petviashivili pde elliptic function solution 3d plot