实质条件

此条目页的主題是邏輯運算符。关于邏輯門，請見「蘊含閘」。

文氏图$A\rightarrow B$

在命题演算，或在数学的逻辑演算中，实质条件、實質蘊涵(容易和語意蘊涵$\vDash$搞混，建議不要用蘊涵這兩字)或蕴涵算子是一种二元的真值泛函的逻辑运算符，它有着如下形式

如果A那么B，

这裡的A和B是陈述变量（可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代）。在这种形式的陈述中，第一项这裡的A，叫做前件；第二项这裡的B，叫做后件。

这个算子使用右箭头“→”（有时用符号“⇒”或“⊃”）来符号化，其語義僅爲“如果A為真，那么B亦為真”。它的常見寫法見下：

• $A\to B$
• $A\supset B$
• $A\Rightarrow B$

須注意的是，$\Rightarrow$更常用於語意蘊含（等同符號$\vDash$）。這也是大多數初學者易搞混的點。

真值表

涉及实质蕴涵的真值表定义如下：

$~A$	$~B$	$~A\rightarrow ~B$（符合了「如果A為真，那麼B必為真」）
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

由此可见，$A\to B$ 等价于$\neg A\lor B$。

形式性質

實質條件不要混淆於蘊涵關係$\models$。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立：

• 如果$\Gamma \models \psi$則$\emptyset \models \phi _{1}\land \dots \land \phi _{n}\rightarrow \psi$對于某些$\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\in \Gamma$。（這是演繹定理的特定形式。）

• 上述的逆命題

• $\rightarrow$和$\models$而二者都是單調的；就是說如果$\Gamma \models \psi$則$\Delta \cup \Gamma \models \psi$，并且如果$\phi \rightarrow \psi$則$(\phi \land \alpha )\rightarrow \psi$對於任何α, Δ。（用結構規則的術語說，這叫做弱化。）

但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中，也不成立於相干邏輯中。

實質蘊涵的其他性質：

• 左分配律：$A\rightarrow (B\rightarrow C)\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))$

• 傳遞律：($A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))$

• 冪等律：$A\rightarrow A$

• 真理保持:在其下所有變量被指派為真值‘真’的釋義生成真值‘真’作為實質蘊涵的結果。

• 前交換律：($A\rightarrow (B\rightarrow C))\equiv (B\rightarrow (A\rightarrow C))$

注意$A\rightarrow (B\rightarrow C)$ 邏輯等價於$(A\land B)\rightarrow C$；這個性質有時叫做柯里化。由於這些性質，對→符號採用右結合約定是合適的。

對自然語言的符号表示

在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本，学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的，这通常包括实质条件、析取、合取、否定和（经常的）双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号、存在量词和全称量词。

用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括，“如果/当”、“仅当”、“假定”、“假如”、“假设”、“蕴涵”、“即使”和“万一”。很多这些短语指示前件，另一些指示后件。正确识别“蕴涵方向”是重要的。比如，“A仅当B”被如下陈述捕获

A → B

而“A当B”被如下陈述正确捕获

B → A

蕴涵算符的中文意思包括“那么”“则”“是因为”“如果……就……”。

中文	数学表达式
如果天下雨，我就带伞	天下雨→我带伞
学生只有喜欢数学，才会学好物理 学生物理学得好是因为他喜欢数学	喜欢数学→物理学得好
如果老婆說對，我就要聽	老婆說對→我就聽

同其他条件陈述的比较

使用这个算子是逻辑学家规定的，作为结果，它产生了一些有爭議的真值推理陳述句。比如前件明顯为假設的，任何实质条件的整句陈述結果都是真值成立的。所以陈述句如“假設 $2$是奇数，則蕴涵了 $2$是偶数”這樣違反自然語言直覺的推理蕴涵是真的。类似的，后件为真的任何实质条件陳述都是真的。所以陈述“如果猪接管了农场并谋杀了农民，则巴黎是在法国”是真的。

这些有爭議的真值推理陳述句出现，是因为自然口语的人經常易受诱惑，而把实质条件和直陈条件或其他条件陈述如反事实条件，混淆在一起了。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把 A → B读做“要么不是情况 $A$ 要么是情况 $B$（或二者）”，或更简单的“要么 $A$为假 要么 $B$为真（或二者）”。（當 $A$为假，此式即已被淺薄的（trivial）滿足。这种陈述等价的自然口語方式，即是使用否定和析取(或)的逻辑符号 $\neg A\vee B$而获得的。）

引用

• Brown, Frank Markham（2003）, Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.

• Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.

• Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eprint.

• Quine, W.V.（1982）, Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.

• Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. Philosophia 5（1975）: 269–286.

外部链接

• 陳力恒：〈如言、選言發微〉
• 陳力恒：〈關聯詞之邏輯關聯〉