中分球

多面體和其中分球。紅色圓圈表示可以從每個頂點能見到的中分球球冠之球冠表面的邊界。藍色圓形表示中分球與多面體相交的截面

中分球（midsphere）或稜切球（又譯中交球）是指與多面體每條稜相切的球。並非每個多面體都有中分球，但均勻多面體，包括正多面體、擬正多面體和半正多面體及其對偶多面體都具有中分球。中分球的半徑稱為中分半徑或中分球半徑。如果一個多面體存在中分球則稱這個多面體和這顆球中分（midscribed，又譯中交）。（相對於內切球的內切和外接球的外接）

當多面體具有中分球時，可以在中分球上形成兩個垂直的圓形堆疊，一個對應於多面體頂點之間的鄰接，另一個對應於具有相同中分球的極多面體。每個多面體邊的長度是其兩個端點到該圓形堆疊中相應圓的距離總和。

每一個多面體都有一個等效組合（相同拓樸結構）的規範多面體（canonical polyhedron）。對應的規範多面體確實會存在中分球，中心點位於所有中分球與稜相切之點集的幾何中心。可以用數值方法近似地求出規範多面體與其中分球，但其座標不能精確地以解析式表示。任何規範多面體和其極對偶都可以用來構建四維反棱鏡的兩個相對維面。

在二維空間中沒有「中分」的概念，僅有「內切」和「外接」。

定義和範例

三維凸多面體的中分球定義為與多面體的每條邊相切的球體。也就是說，每條邊都恰好與該球交於一點，而沒有邊的線段「穿過球體」的情況發生。此時，這個球體與多面體之面相交的部分恰好為該面的內切圓。 當中分球存在時，它是唯一的。並非每個凸多面體都有中分球；有中分球的多面體每個面都必須有一個內切圓（即這個多面體每個面必須都是圓外切多邊形），並且這些內切圓共球，也就是它們都同屬於一個球體。例如，長方體僅有當所有邊等長變為立方體時才具有中分球，否則邊不等長的長方體，其矩形面不存在內切圓。

幾何中心位於笛卡爾座標系原點的单位立方体，其八個頂點為${\textstyle (\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}})}$，邊的中點與原點的距離為$1/{\sqrt {2}}$。因此這個立方體的中分球以原點為中心，半徑為${\textstyle 1/{\sqrt {2}}}$。這個半徑大於其內切球半徑${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$，並小於外接球半徑${\textstyle {\sqrt {3/4}}}$。更一般地，任何邊長為$\ell$的柏拉圖立體，其中分球半徑為：

• ${\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\ell$（正四面體）
• ${\tfrac {1}{2}}\ell$（正八面體）
• ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\ell$（立方體）
• ${\tfrac {\varphi }{2}}\ell$（正二十面體，其中$\varphi$為黃金比例）
• ${\tfrac {\varphi ^{2}}{2}}\ell$（正十二面體）

凸均勻多面體，包括凸正多面體、擬正多面體和半正多面體及其對偶多面體都具有中分球。在凸正多面體中，內切球、中分球和外接球都存在且同心，其中分球與凸正多面體每條邊的中點相切。

參見

• 內切球
• 外接球