二元小波轉換

二元小波轉換(Dyadic Wavelet Transform)是縮放以二的級數為基底且取樣過後的小波轉換，但時間沒有取樣。

定義

$\mathrm {f}$的二元小波轉換的定義為：

$Wf(u,2^{i})=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\frac {1}{\sqrt {2^{i}}}}\psi ({\frac {t-u}{2^{i}}})\mathrm {d} t=f*{\bar {\psi }}_{2^{i}}(u)\,$

其中${\bar {\psi }}_{2^{i}}=\psi _{2^{i}}(-t)={\frac {1}{\sqrt {2^{i}}}}\psi ({\frac {-t}{2^{i}}})\,$

它也定義了一個穩定(stable)、完整(complete)的表示式，如果它的Heisenberg boxes囊括了所有的頻率軸，也就是存在一個$\mathrm {A}$和$\mathrm {B}$使得

$\forall \omega \in \mathbb {R} ,\mathrm {A} \leqslant \sum _{i=-\infty }^{\infty }\left|{\hat {\psi (2^{i}u)}}\right|^{2}\leqslant \mathrm {B}$

所有的二元小波都是$L^{2}(R)$ 的 frame (Frames are a stable, possibly redundant, representation of signals.)。

應用

快速二元小波轉換 (Fast Dyadic Wavelet Transform, FDWT) 使用與快速小波轉換(Fast Wavelet Transform)相同的濾波器來進行轉換，但是差別在於不需要再進行次採樣(subsampling)，時常用在擷取音樂訊號的Onset。

參考資料

• Dyadic Wavelet Transform http://cas.ensmp.fr/~chaplais/Wavetour_presentation/ondelettes%20dyadiques/Dyadic_Transform.html