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整数规划是指变量取值要为整数的問題，是数学规划中的一个分支。整数规划分为纯整数规划（所有变量取值均为整数）和混合整数规划（变量中有一部分取值为整数）。還有一类整数规划问题，其变量只取0或1值，称之为0-1规划。 候福均，吴祺宗编著,运筹学与最优化方法  第3版,机械工业出版社,2022.06,第170页…

车辆路径问题（VRP）是一个组合优化和整数规划问题（英语：Integer_programming）（回答了“为了交付给定的一组客户，车辆车队的最佳路线集是什么？”）。它概括了众所周知的旅行推销员问题（TSP）。它最初出现在1959年George Dantzig和John…

动态规划（英語：Dynamic programming，简称DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。 动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构（英语：Optimal substructure）性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。…

离散优化是应用数学和计算机科学中优化问题的一个分支。 在此种数学规划中，变量被限制为离散变量，比如整数。与此相对的是连续优化。 离散优化存在两个主要的分支。 组合优化：指关于图，拟阵等数学结构的问题。 整数规划 此两分支也有着很紧密的关系，许多组合优化问题可以以整数规划来模拟，整数规划问题也可有对应的组合优化版本。…

整数线性规划（MILP）问题的整数解，也可以用来解决常规的、未必可微的凸优化问题。利用切割平面法求解 MILP 由 Ralph E. Gomory 引入。 MILP 的切割平面法通过将整数问题线性松弛为非整数线性问题，并对其进行求解，来求解 MILP 问题。线性规划…

在数学中，非线性规划是求解由一系列未知实函数组成的组方程和不等式（统称为约束）定义的最佳化問題，伴随着一个要被最大化或最小化的目标函数，只是一些约束或目标函数是非線性的。它是最优化处理非线性问题的一个子领域。 从一系列运输方法中选择优化运输成本的一个或多个表现规模经济的连通性和容量约束不同的非凸问题…

城市的子集中间找到一条路径，使得总成本（旅行成本 + 购买成本）最小，并且能够买到所有需求的商品。 单钻头的运动可以看成是典型的TSP问题。TSP可以用整数线性规划来形式化。 用数字 0, ..., n 标记这些城市（打孔位置），并定义： x i j = { 1 the path goes from…

\ y)} 组成的集合。问题的可行集与目标函数是分离的，后者是要优化的对象，上例中目标函数是 x 2 + y 4 {\displaystyle x^{2}+y^{4}} 。 很多问题中，可行集反映了变量必须非负的约束。在整数规划问题中，可行集是整数集（或其子集）。线性规划问题…

数学、工程学、计算机科学和经济学領域中，最佳化问题，或称优化问题（英語：Optimization problem）是指从所有可行解（英语：feasible solution）中找到最优良的解的问题。 根据变量是连续的或离散的，可将最佳化问题分为两类： 具有离散变量的最佳化问题称为离散优化，其中必须找到可数集合中的整数、排列或图等对象。…

线性规划：当目标函数f是线性函数而且集合A是由线性等式函数和线性不等式函数来确定的， 我们称这一类问题为线性规划 整数规划：当线性规划问题的部分或所有的变量局限于整数值时， 我们称这一类问题為整数规划问题 二次规划：目标函数是二次函数，而且集合A必须是由线性等式函数和线性不等式函数来确定的。 分数规划…

0-1整數規劃是整數規劃的特殊情況，所有的變量都要是0或1（而非任意整數）。這類問題亦被分類為NP困難問題。 只要求當中某幾個未知數為整數的線性規劃問題叫做混合整數規劃（mixed integer programming, MIP）問題。這類問題通常亦被分類為NP困難問題。…

在数学中，0-1整数规划的线性规划的松弛是这样的问题：把每个变量必须为0或1的约束，替换为较弱的每个变量属于区间[0,1]的约束。 也就是说，对于原整数规划的每个下列形式的约束： x i ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle x_{i}\in \{0,1\}} 我们转而使用一对线性约束来代替：…

如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。 各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。 在计算机科学领域，人们对背包问题感兴趣的原因在于： 利用动态规划，背包问题存在一个伪多项式时间算法 把上面算法作为子程序，背包问题存在完全逼近多项式时间方案 作为NP完全问题，背包问题没有一种既准确又快速（多项式时间）的算法…

确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 全局最短路径问题 - 也叫多源最短路问题…

5}的數字和是0。這個問題是NP完全问题，且或許是最容易描述的NP完全問題。 一個等價的問題是：給一個整數集合和另一個整數s，問是否存在某個非空子集，使得子集中的數字和為s。子集合加总问题可以想成是背包問題的一個特例。 用动态规划的方法，能够以伪多项式时间解决子集合加总问题。我们假定输入序列为： x1…

MOSEK是一个优化软件包，可用于求解线性规划、混合整数线性规划、二次规划、混合整数二次规划、二次约束规划、非线性锥优化和凸优化等数学最优化问题。MOSEK的一个重要的特点是它可以求解大规模稀疏问题，特别是其内点法求解器可以高效求解线性、二次锥（即二阶锥规划）和半正定优化问题（即半正定规划）。…

可以在多项式时间内做整数分解吗？ 可以在多项式时间内计算离散对数吗？ 可以在多项式时间内解决图同构问题（英语：graph isomorphism problem）吗？ 可以在多项式时间内解决奇偶校验游戏（英语：parity game）吗？ 线性规划问题是否存在强多项式时间的解法？这是Smale问题列表（英语：Smale's…

未解決的計算機科學問題：如果一个问题的解可以快速检验正确性，那么这个问题一定可以快速求解吗？ P/NP问题是理论计算机科学中计算复杂度理论领域至今未解决的问题，是克雷数学研究所七題千禧年大奖难题之一。P/NP问题包括复杂度类P与NP的关系。1971年由史提芬·古克（Stephen A. Cook）和列昂尼德·列文（英语：Leonid…

分支切割法是用于解决整数线性问题（ILPs），即部分或全部未知数为整数值的线性规划（LP）的问题的组合优化方法。该方法在分支定界法的基础上，使用切割平面以收紧线性规划松弛。如果切割平面仅用来收紧初始的 LP 松弛，则改称为切割分支法。 以下假设 ILP 问题为最大化问题。 该方法首先使用单纯形法解决无整数…

問題（一般直接叫做SAT） 0-1整數規劃（0-1 integer programming） 分團問題（Clique，參考獨立集） Set packing（Set packing） 最小顶点覆盖问题（Vertex cover） 集合覆盖问题（Set covering） Feedback…