狭义相对论中的质量

质量这一名词在狭义相对论中通常是指物质在静止时所测量的质量（静质量）。这个意义的质量与牛顿力学的质量相同。不变质量是静质量的另一名称，但它通常是指由许多粒子构成的系统。

相对论性质量这一名词也被使用，而这是一个物体所具有的总能量。物体的相对论性质量包括了它所具有的动能，因此取决于观察者所处于的参考系。

用词

如果一个盒子装有许多粒子，它的重量会随着这些粒子的速率的增加而增加。盒子里的任何能量被加入盒子的质量中，因此这个盒子的质量受到这些粒子的相对运动的影响。然而，如果这整个盒子在运动，那么这盒子所具有的动能是不是应该包括在物体的质量当中呢？不变质量不包括盒子的动能，而相对论性质量则包括了盒子的动能。

相对论性质量和静质量都是物理学中的传统概念，但相对论性质量只是总共能量的多余的名称。一个系统只有在静止时其质量才有可能被测量，但当物体静止时，物体的相对论性质量就是物体的静质量。

物体的不变质量是在一个特定参考系中它所具有的总共能量，而在这个参考系中，该物体是静止的。这也是不变质量也被称作静质量的缘故。这个特定的参考系也被称作动量的质心系。质心系被定义成系统的总动量为零时所处于的参考系。对于一个合成的物体（由许多更小的物体组成，这些物体可能在运动）和一组没有结合在一起的物体，只要总共的动量是零，相对论性质量便与不变质量相同。

如果一个物体以光速运动，它在任何参考系中都不会静止。当观察者朝着与这个物体运动的方向加速，该物体所具有的能量会越来越少。因此，我们可以推测这个物体的静质量是零，而这个物体所具有的质量仅是相对论性质量，一个取决于观察者的质量。

相对论性质量的概念

早期的发展：横向与纵向质量

约瑟夫·汤姆森在1881年^[1] 承认一个带电的物体比一个没有带电的物体更难加速。因此静电能量表现成某种电磁质量，增加了物体的机械质量。之后威廉·维恩（1900）^[2]和 Max Abraham （1902）^[3] 认为一个物体的总共质量与它的电磁质量相同。因为电磁质量取决于电磁能量，维恩所提出的质能关系是 $m=(4/3)E/c^{2}$ 。

George Frederick Charles Searle 和汤姆森也指出，电磁质量随着物体的速度而增加。亨德里克·洛伦兹在他的洛伦兹以太理论的框架中承认这个说法。他将质量定义成所用力与加速度的比值而不是动量与速度的比值，因此他必须区分横向质量（ $\gamma ^{3}m_{0}$ ）（当物体运动的方向与加速度相同或相反）和纵向质量（ $\gamma m_{0}$ ）（当物体运动的方向与加速度垂直）。只有当加速度与物体运动的方向垂直时，洛伦兹的质量才会等于现在被称作相对论性质量的质量。（ $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ 是洛伦兹因子，v是物体与以太的相对速度，c是光速）。因此，根据这一理论没有物体可以到达光速，因为物体的质量将趋于无限大。^[4]^[5]

而对于一个具有非零静质量的粒子在x方向运动时所受到的作用力和加速度的准确表达是：

f_{x}=\gamma ^{3}m_{0}a_{x},\,

f_{y}=\gamma m_{0}a_{y},\,

f_{z}=\gamma m_{0}a_{z}.\,

爱因斯坦在他1905年的论文中计算了横向质量和纵向质量。^[6]^[7]然而，在他第一篇关于 $E=mc^{2}$ 的论文中（1905），m所代表的是现在认为的静质量。^[8]一些人后来声称他不喜欢相对论性质量的想法。^[9]

现代相对论的概念

在狭义相对论中，就像洛伦兹以太理论，一个静质量非零的物体无法以光速运动。当物体趋近于光速时，它的能量和动量将无限制的增加。

横向质量和纵向质量被相对论性质量的概念取代。Richard C. Tolman 在1912年表示m₀(1 - v²/c²)^-1/2最适合用来表示运动物体的质量。^[10]

在1934年，Tolman也定义相对论性质量为：^[11]

m={\frac {E}{c^{2}}}\!

这一定义对于所有粒子都适用，包括以光速运动的粒子。

对于以低于光速运动的粒子，即具有非零的静质量的粒子，这方程变成

m=\gamma m_{0}\!

当相对速度为零时， $\gamma$ 将等于1。当相对速度趋近光速时， $\gamma$ 将趋近无限大。

在动量的方程中

p=mv

m所代表的质量是相对论性质量

牛顿第二定律以 $\mathbf {f} ={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}},\!$ 的形式表达仍然正确。但 ${\frac {dm}{dt}}$ 并不是零，因为相对论性质量是速率的函数，因此牛顿第二定律不能以 $f=ma$ 来表示。

一个系统的质量

一个系统的静质量并不等于组成这一系统的所有物体的静质量的和，除非在这一系统中的所有物体在质心系是静止的而不具有其它形式的能量（如场能）。一个系统所具有的静质量等于它在质心系所具有的能量（包括场能）。所以许多系统的总质量小于其中每个物体质量的和，如1个氢原子的静止质量小于1电子质量＋1质子质量（由于电场能为负）。

相对论能量-动量方程

上述E和p的相对论表示式可以转写成基础的“相对论能量-动量方程”：

E^{2}-(pc)^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}\,\!

注意到此方程里的 $m_{0}$ 表示静质量。这条方程对无(静)质量的光子而言也适用：

E^{2}-(pc)^{2}=0\,\!

E^{2}=(pc)^{2}\,\!

E=pc\,\!

p=E/c\,\!

因此一颗光子的动量是其能量的函数，而非与其速度成正比，真空中的光速是常数。

考虑一个静止的物体，上面第一条方程中的动量p为零，我们得到：

E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}\,\!

可以简化为

E=m_{0}c^{2}\,\!

显示出这项知名的关系式仅在物体静止时适用，并给出“静止能量”的观念。如果物体在运动，我们得到：

E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}\,\!

从这里，我们可以看到物体总能E和它的静能量以及动量相依；一旦动量随速度v增加而增加，总能量也会发生一样的事。

这里的E实际上等同于前面段落中的相对论性能量方程，而那条能量方程和相对论性质量方程只差了一个因子c²。因此“相对论性质量本质上等于总能量”—，但是量值与单位有些差别。当采用c = 1的单位(称作自然单位系统)时，能量-动量方程即简化为：

E^{2}-p^{2}=m_{0}^{2}\,,\!

一旦 $v=0$ ，其简化到 $E^{2}=m_{0}^{2}$ ,或 $E=m_{0}$ 。