Differente

Die Differente ist ein Begriff aus der algebraischen Zahlentheorie.

Vorbereitung

Es sei $K$ ein Zahlkörper und $S:K\to \mathbb {Q}$ die Spur. Dann ist $M^{\star }=\{{\widetilde {\omega }}\in K;\,S({\widetilde {\omega }}M)\subset \mathbb {Z} \}$ das duale Gitter von $M$ in $K$ bezüglich der nicht ausgearteten $\mathbb {Q}$ -Bilinearform $\langle \alpha ,\beta \rangle =S(\alpha \beta )$ mit $\alpha ,\beta \in K$ . Die duale Basis besitzt bezüglich der Basis $\omega _{i}$ des Gitters $M$ die Kronecker-Eigenschaft $S(\omega _{i}{\widetilde {\omega }}_{j})=\delta _{ij}$ . Weiterhin bezeichnet ${\mathfrak {a}}^{-1}$ das Inverse eines Ideals ${\mathfrak {a}}$ .

Definition

Die Differente eines Zahlkörpers $K$ ist definiert als ${\mathfrak {D}}_{K}=({\mathcal {O}}^{\star })^{-1}$ , wobei ${\mathcal {O}}$ der Ganzheitsring (die Hauptordnung ${\mathfrak {o}}$ ) des Zahlkörpers ist.

Erster Dedekindscher Hauptsatz

Die Absolutnorm der Differente eines algebraischen Zahlkörpers ist gleich dem Betrag der Diskriminante

{\mathfrak {N}}({\mathfrak {D}}_{K})=|d_{K}|

.

Beispiel

Für den Zahlkörper $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$ ist der Ganzheitsring ${\mathcal {O}}$ die gaußischen Zahlen mit der $\mathbb {Z}$ -Basis $(1,{\sqrt {-1}})$ . Das dazu duale Gitter besitzt die $\mathbb {Z}$ -Basis $\left({\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {-1}}{2}}\right)$ dessen gebrochenes Ideal sich zu ${\frac {1}{2}}(1)$ bestimmen lässt. Trivialerweise ist das inverse Ideal dazu $(2)$ was ein Hauptideal ist, für das gilt ${\mathfrak {N}}(\,(2)\,)=N_{K/\mathbb {Q} }(2)=4$ oder man kann die Restklassen zu $0,1,{\sqrt {-1}}$ und $1+{\sqrt {-1}}$ bestimmen. Dieses Ergebnis entspricht auch wie zu erwarten der Diskriminante des Zahlkörper $|d_{K}|=4$ .