| dbo:abstract
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- En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps commutatif K est une extension algébrique L de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire telle que tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans L, admet au moins une racine dans L. Une clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme une extension algébrique maximale de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors une clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans une clôture algébrique de K. Une clôture algébrique de K est également un corps algébriquement clos minimal (pour l’inclusion) contenant K, puisque si M est un corps algébriquement clos contenant K alors, parmi les éléments de M, ceux qui sont algébriques sur K forment une clôture algébrique de K. Une clôture algébrique d'un corps K a le même cardinal que K si K est infini ; elle est dénombrable si K est fini. En dehors du cas où K est séparablement clos (donc algébriquement clos en caractéristique nulle), entre deux clôtures algébriques de K il n'y a pas unicité d'isomorphismes. Il vaut donc mieux éviter l’expression « la clôture algébrique » et privilégier l’article indéfini « une » (une autre façon de le voir est qu’il n’existe pas de foncteur de la catégorie des corps dans elle-même qui envoie tout corps K sur une clôture algébrique de K). L'existence d'une clôture algébrique pour tout corps nécessite l'axiome du choix. (fr)
- En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps commutatif K est une extension algébrique L de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire telle que tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans L, admet au moins une racine dans L. Une clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme une extension algébrique maximale de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors une clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans une clôture algébrique de K. Une clôture algébrique de K est également un corps algébriquement clos minimal (pour l’inclusion) contenant K, puisque si M est un corps algébriquement clos contenant K alors, parmi les éléments de M, ceux qui sont algébriques sur K forment une clôture algébrique de K. Une clôture algébrique d'un corps K a le même cardinal que K si K est infini ; elle est dénombrable si K est fini. En dehors du cas où K est séparablement clos (donc algébriquement clos en caractéristique nulle), entre deux clôtures algébriques de K il n'y a pas unicité d'isomorphismes. Il vaut donc mieux éviter l’expression « la clôture algébrique » et privilégier l’article indéfini « une » (une autre façon de le voir est qu’il n’existe pas de foncteur de la catégorie des corps dans elle-même qui envoie tout corps K sur une clôture algébrique de K). L'existence d'une clôture algébrique pour tout corps nécessite l'axiome du choix. (fr)
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- En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps commutatif K est une extension algébrique L de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire telle que tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans L, admet au moins une racine dans L. Une clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme une extension algébrique maximale de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors une clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans une clôture algébrique de K. (fr)
- En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps commutatif K est une extension algébrique L de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire telle que tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans L, admet au moins une racine dans L. Une clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme une extension algébrique maximale de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors une clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans une clôture algébrique de K. (fr)
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