| Property |
Value |
| dbo:abstract
|
- En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur ℂ, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1. Le temps a rendu l'expression de théorème fondamental de l'algèbre un peu paradoxale. Il n'existe en effet aucune démonstration purement algébrique de ce théorème. Il est nécessaire de faire usage de résultats topologiques ou analytiques pour sa démonstration. L'expression provient d'une époque où l'algèbre s'identifiait essentiellement avec la théorie des équations, c'est-à-dire la résolution des équations polynomiales. Les frontières de l'algèbre ont maintenant changé mais le nom du théorème est resté. Les conséquences du théorème sont nombreuses ; en algèbre linéaire ce résultat est essentiel pour la réduction d'endomorphisme ; en analyse, il intervient dans la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles utilisée pour trouver une primitive. On les retrouve aussi en théorie algébrique des nombres, dans un résultat basique indiquant que toute extension algébrique du corps des rationnels peut être considérée comme un sous-corps de celui des complexes. L'histoire du théorème indique l'importance du résultat aux yeux des mathématiciens du XVIIIe siècle. Les plus grands noms, comme ceux de d'Alembert, Euler, Lagrange ou Gauss se sont attelés à sa démonstration, avec des fortunes diverses. La variété et la richesse des méthodes conçues dans ce but fut un moteur puissant pour l'évolution de la recherche en mathématiques et particulièrement pour une meilleure compréhension des nombres complexes. (fr)
- En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur ℂ, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1. Le temps a rendu l'expression de théorème fondamental de l'algèbre un peu paradoxale. Il n'existe en effet aucune démonstration purement algébrique de ce théorème. Il est nécessaire de faire usage de résultats topologiques ou analytiques pour sa démonstration. L'expression provient d'une époque où l'algèbre s'identifiait essentiellement avec la théorie des équations, c'est-à-dire la résolution des équations polynomiales. Les frontières de l'algèbre ont maintenant changé mais le nom du théorème est resté. Les conséquences du théorème sont nombreuses ; en algèbre linéaire ce résultat est essentiel pour la réduction d'endomorphisme ; en analyse, il intervient dans la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles utilisée pour trouver une primitive. On les retrouve aussi en théorie algébrique des nombres, dans un résultat basique indiquant que toute extension algébrique du corps des rationnels peut être considérée comme un sous-corps de celui des complexes. L'histoire du théorème indique l'importance du résultat aux yeux des mathématiciens du XVIIIe siècle. Les plus grands noms, comme ceux de d'Alembert, Euler, Lagrange ou Gauss se sont attelés à sa démonstration, avec des fortunes diverses. La variété et la richesse des méthodes conçues dans ce but fut un moteur puissant pour l'évolution de la recherche en mathématiques et particulièrement pour une meilleure compréhension des nombres complexes. (fr)
|
| dbo:thumbnail
| |
| dbo:wikiPageExternalLink
| |
| dbo:wikiPageID
| |
| dbo:wikiPageLength
|
- 56407 (xsd:nonNegativeInteger)
|
| dbo:wikiPageRevisionID
| |
| dbo:wikiPageWikiLink
| |
| prop-fr:année
|
- 1991 (xsd:integer)
- 1998 (xsd:integer)
- 2001 (xsd:integer)
|
| prop-fr:auteur
| |
| prop-fr:auteursOuvrage
|
- , , F. Hirzebruch, , , , J. Neukirch, A. Prestel et R. Remmert (fr)
- , , F. Hirzebruch, , , , J. Neukirch, A. Prestel et R. Remmert (fr)
|
| prop-fr:contenu
|
- ⇒ : Démontrons par récurrence sur n, le degré d'un polynôme, à partir de . Si n est égal à 0, il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat établi pour tout polynôme de degré n et soit P un polynôme de degré n + 1. implique l'existence d'une racine α de P. Le polynôme s'écrit alors P = Q avec Q de degré n donc scindé par hypothèse de récurrence, si bien que P est également scindé, donc est démontré.
⇒ : D'après , tout polynôme P à coefficients réels est scindé sur ℂ. Si α est une racine complexe de P, son conjugué l'est aussi, avec même ordre de multiplicité, et (fr)
- est à coefficients réels. On obtient donc en regroupant les termes pour chaque racine complexe.
⇒ : D'après , si P est irréductible, il ne peut être que de degré 1 ou 2. S'il est de degré 1, il est en effet irréductible. S'il est de degré 2, il est irréductible si, et seulement si son discriminant est strictement négatif.
⇒ : Un polynôme P non constant à coefficients réels admet au moins un diviseur R irréductible sur ℝ. Un tel R est, d'après , de degré 1 ou 2, et admet donc une racine complexe, qui est alors aussi racine de P.
⇒ : Soit P un polynôme à coefficients complexes, et P* le polynôme obtenu en remplaçant chaque coefficient de P par son conjugué. Alors P'P* = R est à coefficients réels. D'après , R admet une racine complexe α, donc P'P* = 0. Donc, si α n'est pas une racine de P, alors P* = 0, ce qui donne P = = = 0. Donc, α ou son conjugué est une racine de P, ce qui prouve . (fr)
- ⇒ : Démontrons par récurrence sur n, le degré d'un polynôme, à partir de . Si n est égal à 0, il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat établi pour tout polynôme de degré n et soit P un polynôme de degré n + 1. implique l'existence d'une racine α de P. Le polynôme s'écrit alors P = Q avec Q de degré n donc scindé par hypothèse de récurrence, si bien que P est également scindé, donc est démontré.
⇒ : D'après , tout polynôme P à coefficients réels est scindé sur ℂ. Si α est une racine complexe de P, son conjugué l'est aussi, avec même ordre de multiplicité, et (fr)
- est à coefficients réels. On obtient donc en regroupant les termes pour chaque racine complexe.
⇒ : D'après , si P est irréductible, il ne peut être que de degré 1 ou 2. S'il est de degré 1, il est en effet irréductible. S'il est de degré 2, il est irréductible si, et seulement si son discriminant est strictement négatif.
⇒ : Un polynôme P non constant à coefficients réels admet au moins un diviseur R irréductible sur ℝ. Un tel R est, d'après , de degré 1 ou 2, et admet donc une racine complexe, qui est alors aussi racine de P.
⇒ : Soit P un polynôme à coefficients complexes, et P* le polynôme obtenu en remplaçant chaque coefficient de P par son conjugué. Alors P'P* = R est à coefficients réels. D'après , R admet une racine complexe α, donc P'P* = 0. Donc, si α n'est pas une racine de P, alors P* = 0, ce qui donne P = = = 0. Donc, α ou son conjugué est une racine de P, ce qui prouve . (fr)
|
| prop-fr:date
| |
| prop-fr:fr
|
- Cours d'Analyse (fr)
- méthode de Durand-Kerner (fr)
- Cours d'Analyse (fr)
- méthode de Durand-Kerner (fr)
|
| prop-fr:isbn
| |
| prop-fr:jstor
| |
| prop-fr:langue
| |
| prop-fr:lienAuteur
|
- Reinhold Remmert (fr)
- Reinhold Remmert (fr)
|
| prop-fr:lireEnLigne
| |
| prop-fr:nom
|
- Remmert (fr)
- Gilain (fr)
- Remmert (fr)
- Gilain (fr)
|
| prop-fr:numéro
| |
| prop-fr:oldid
| |
| prop-fr:p.
| |
| prop-fr:pagesTotales
| |
| prop-fr:passage
| |
| prop-fr:plume
| |
| prop-fr:prénom
|
- Christian (fr)
- Reinhold (fr)
- Christian (fr)
- Reinhold (fr)
|
| prop-fr:revue
| |
| prop-fr:site
| |
| prop-fr:titre
|
- Démonstration des équivalences (fr)
- Analyse mathématique (fr)
- Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre : théorie des équations et calcul intégral (fr)
- Le théorème fondamental de l'algèbre (fr)
- C. F. Gauss's proofs of the fundamental theorem of algebra (fr)
- Complex Analysis Project for Undergraduate Students — The Fundamental Theorem of Algebra: Internet Resources and Bibliography (fr)
- Démonstration des équivalences (fr)
- Analyse mathématique (fr)
- Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre : théorie des équations et calcul intégral (fr)
- Le théorème fondamental de l'algèbre (fr)
- C. F. Gauss's proofs of the fundamental theorem of algebra (fr)
- Complex Analysis Project for Undergraduate Students — The Fundamental Theorem of Algebra: Internet Resources and Bibliography (fr)
|
| prop-fr:titreOuvrage
|
- Les nombres, leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles (fr)
- Les nombres, leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles (fr)
|
| prop-fr:trad
|
- Durand–Kerner method (fr)
- Durand–Kerner method (fr)
|
| prop-fr:url
|
- http://math.huji.ac.il/~ehud/MH/Gauss-HarelCain.pdf|site=Université hébraïque de Jérusalem (fr)
- http://math.univ-lyon1.fr/~frabetti/TMB/TMB-CM1-complexes.pdf|titre=Formulaire sur les nombres complexes (fr)
- http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/FunTheoremAlgebraBib.html|site=CSU, Fullerton (fr)
- http://math.huji.ac.il/~ehud/MH/Gauss-HarelCain.pdf|site=Université hébraïque de Jérusalem (fr)
- http://math.univ-lyon1.fr/~frabetti/TMB/TMB-CM1-complexes.pdf|titre=Formulaire sur les nombres complexes (fr)
- http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/FunTheoremAlgebraBib.html|site=CSU, Fullerton (fr)
|
| prop-fr:vol
| |
| prop-fr:volume
| |
| prop-fr:vote
| |
| prop-fr:wikiPageUsesTemplate
| |
| prop-fr:éditeur
|
- Springer (fr)
- Vuibert (fr)
- Springer (fr)
- Vuibert (fr)
|
| dct:subject
| |
| rdfs:comment
|
- En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur ℂ, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1. (fr)
- En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur ℂ, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1. (fr)
|
| rdfs:label
|
- Aljebraren oinarrizko teorema (eu)
- Fundamental theorem of algebra (en)
- Fundamentalsatz der Algebra (de)
- Hoofdstelling van de algebra (nl)
- Teorema fonamental de l'àlgebra (ca)
- Teorema fondamentale dell'algebra (it)
- Teorema fundamental del álgebra (es)
- Théorème fondamental de l'algèbre (fr)
- Основна теорема алгебри (uk)
- 代数学の基本定理 (ja)
|
| rdfs:seeAlso
| |
| owl:sameAs
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| foaf:depiction
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is dbo:wikiPageDisambiguates
of | |
| is dbo:wikiPageRedirects
of | |
| is dbo:wikiPageWikiLink
of | |
| is oa:hasTarget
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
