صيغة جمع أبيل

في الرياضيات ، تُستخدم صيغة جمع أبيل ، التي قدمها نيلز هنريك أبيل ، بشكل متكرر ومٌكثف في نظرية الأعداد ودراسة الدوال الخاصة لحساب المتسلسلات .

الصيغة

لتكن $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ متتالية من الأعداد الحقيقية أو المركبة . تُعرف دالة الجمع الجزئي $A$ بواسطة

A(t)=\sum _{0\leq n\leq t}a_{n}

لأي عدد حقيقي $t$ . ليكن $x<y$ ، ولتكن $\phi$ دالة قابلة للإشتقاق بشكل متصل في $[x,y]$ . إذاً:

\sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,du.

يعتمد برهان الصيغة على تطبيق التكامل بالتجزئة لكل من الدوال $A$ و $\phi$ .

أشكال مختلفة

إذا كان المتتالية $(a_{n})$ مفهرسة من $n=1$ ، يمكننا أن نعرف $a_{0}=0$ . لتصبح الصيغة السابقة على الشكل الآتي :

\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,du.

من الطرق الشائعة لتطبيق صيغة جمع أبيل هي أن تأخذ $x\to \infty$ . فتصبح الصيغة على الشكل الآتي :

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du,\\\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int _{1}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du.\end{aligned}}

هذه المعادلات صحيحة متى ما وُجدت كلتا النهايتين على الجانب الأيمن وكانتا منتهيتين.

أمثلة

الأعداد التوافقية

إذا كانت $a_{n}=1$ بلكل $n\geq 1$ و $\phi (x)=1/x,$ فإن $A(x)=\lfloor x\rfloor$ وتنتج الصيغة

\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,du.

الطرف الأيسر هو العدد التوافقي $H_{\lfloor x\rfloor }$ .

تمثيل دالة زيتا

ليكن $s$ عددا عقديا. إذا توفر $a_{n}=1$ حيث $n\geq 1$ و $\phi (x)=x^{-s},$ إذن $A(x)=\lfloor x\rfloor$ وتصير الصيغة

\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s}}}+s\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.

إذا توفر $\Re (s)>1$ , إذن النهاية عندما $x\to \infty$ موجودة فتصير الصيغة

\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.

قد تستعمل هذه المسألة من أجل استنتاج مبرهنة ديريكليه والتي تنص على أن $\zeta (s)$ تملك قطبا بسيطا مع باق مساو لواحد عند $s = 1$ .

تمثيل مقلوب دالة زيتا

يمكن أن تستعمل التقنية المستعملة في المثال السابق على متسلسلات دركليه أخرى. إذا كانت $a_{n}=\mu (n)$ هي دالة موبيوس و $\phi (x)=x^{-s}$ , إذن $A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)$ هي دالة ميرتنز و